La probabilidad condicional | Resumen completo

La probabilidad condicional

La teoría de la probabilidad condicional surge del concepto de asumir un riesgo enorme. Hay muchos problemas hoy en día que se alejan del juego de azar, como lanzar monedas, lanzar un dado y jugar a las cartas. 

La teoría de la probabilidad condicional se aplica en muchos dominios diferentes y la flexibilidad de La probabilidad condicional proporciona herramientas para casi tantas necesidades diferentes. teoría de la probabilidad y muestras relacionadas con el estudio de la probabilidad de ocurrencia de eventos.

Considere que X e Y son dos eventos de un experimento incidental. Posteriormente, la probabilidad de los sucesos de X bajo la circunstancia de que Y ya ha sucedido con P (Y) ≠ 0, se conoce como probabilidad condicional y se denota por P (X / Y).

Por tanto, P (X / Y) = La probabilidad de que ocurra X, siempre que Y ya haya sucedido.

\ frac {P (X \ cap Y)} {P (Y)} = \ frac {n (X \ cap Y)} {n (Y)}

De manera similar, P (Y / X) = La probabilidad de que ocurra Y, ya que X ya sucedió.

\ frac {P (X \ cap Y)} {P (X)} = \ frac {n (X \ cap Y)} {n (Y)}

En resumen, para algunos casos, P (X / Y) se utiliza para especificar la probabilidad de que ocurra X cuando Y ocurra. De manera similar, P (Y / X) se usa para especificar la probabilidad de que ocurra Y mientras ocurre X.

¿Qué es el teorema de la multiplicación de la probabilidad?

Si X e Y son eventos autosuficientes (independientes) de un experimento arbitrario, entonces

P (X \ cap Y) = P (X) .P \ left (X / Y \ right), \ \ if P (X) \ neq 0

P (X \ cap Y) = P (Y) .P \ left (Y / X \ right), \ \ if P (Y) \ neq 0

¿Qué son los teoremas de multiplicación para eventos independientes? 

If X e Y son eventos autosuficientes (independientes) conectados a un experimento arbitrario, entonces P (X ∩ Y) = P (X). P (Y)

es decir, la probabilidad de que ocurran simultáneamente dos eventos independientes es igual a la multiplicación de sus probabilidades. Al usar el teorema de la multiplicación, tenemos P (X ∩ Y) = P (Y) .P (Y / X)

 Como X e Y son eventos independientes, entonces P (Y / X) = P (Y)

Implica, P (X ∩ Y) = P (X) .P (Y)

Si bien los eventos son mutuamente excluyentes: 

Si X e Y son eventos mutuamente excluyentes, entonces ⇒ n (X ∩ Y) = 0, P (X ∩ Y) = 0

P (XUY) = P (X) + P (Y)

Para cualesquiera tres eventos X, Y, Z que sean mutuamente excluyentes, 

P (X ∩ Y) = P (Y ∩ Z) = P (Z ∩ X) = P (X ∩ Y ∩ Z) = 0

P (X \ taza Y \ taza Z) = P (X) + P (Y) + P (Z)

Si bien los eventos son independientes: 

Si X e Y son eventos no restringidos (o independientes), entonces

P (X \ cap Y) = P (X) .P (Y)

P (X \ taza Y) = P (X) + P (Y) -P (X) .P (Y)

Sean X e Y dos eventos conectados con un experimento arbitrario (o aleatorio), entonces

(a) \ \ P (\ overline {X} \ cap Y) = P (Y) -P (X \ cap Y)

(b) \ \ P (X \ cap \ overline {Y}) = P (Y) -P (X \ cap Y)

Si Y⊂ X, entonces

(a) \ \ P (X \ cap \ overline {Y}) = P (X) -P (Y)

(b) \ \ P (Y) \ leq P (X)

De manera similar, si X⊂ Y, entonces

(a) \ \ P (\ overline {X} \ cap Y) = P (Y) -P (X)

(b) \ \ P (X) \ leq P (Y)

La probabilidad de que ocurra ni X ni Y es 

P (\ overline {X} \ cap \ overline {Y}) = P (\ overline {X \ cup Y}) = 1- P (X \ cup Y)

Ejemplo: Si de un paquete de cartas se elige una sola carta. ¿Cuál es la posibilidad de que sea una espada o un rey?

solución:

P (A) = P (una carta de espadas) = ​​13/52

P (B) = P (una carta de rey) = 4/52

P (ya sea una carta de espada o de rey) = P (A o B)

= P (A∪B) = P (A) + P (B) -P (A∩B)

= P (A) + P (B) -P (A) P (B)

=13/52+4/52-{(13/52)*(4/52)}

= 4 / 13

Ejemplo: Se sabe que alguien da en el blanco con 3 de cada 4 posibilidades, mientras que otra persona se sabe que da en el blanco con 2 de cada 3 posibilidades. Averigüe si existe la probabilidad de que ese objetivo sea alcanzado cuando ambas personas lo intentan.

solución:

 probabilidad de que el objetivo sea alcanzado por primera persona = P (A) = 3/4

probabilidad de que el objetivo sea alcanzado por una segunda persona = P (B) = 2/3

Los dos eventos no son mutuamente excluyentes, ya que ambas personas alcanzan el mismo objetivo = P (A o B)

= P (A∪B) = P (A) + P (B) -P (A∩B)

= P (A) + P (B) -P (A) P (B)

=3/4+2/3-{(3/4)*(2/3)}

= 11 / 12

Ejemplo: If  A  y B ¿Hay dos eventos tales que P (A) = 0.4, P (A + B) = 0.7 y P (AB) = 0.2 entonces P (B)?

solución: Ya que tenemos P (A + B) = P (A) + P (B) -P (AB)

=> 0.7 = 0.4 + P (B) -0.2

=> P (B) = 0.5

Ejemplo: Una carta se selecciona arbitrariamente de un paquete de cartas. ¿Cuál es la posibilidad de que la carta sea una carta de color rojo o una reina?

Solución: La probabilidad requerida es

P (Rojo + Reina) -P (Rojo ⋂ Reina)

= P (rojo) + P (reina) -P (rojo ⋂ reina)

=26/52+4/52-2/52=28/52=7/13

Ejemplo: Si la probabilidad de que X falle en la prueba es 0.3 y que la probabilidad de Y es 0.2, entonces calcule la probabilidad de que X o Y fallaran en la prueba.

Solución: Aquí P (X) = 0.3, P (Y) = 0.2

Ahora P (X ∪ Y) = P (X) + P (Y) -P (X ⋂ Y)

Dado que estos son eventos independientes, entonces

P (X ⋂ Y) = P (X). P (Y)

Por lo tanto, la probabilidad requerida es 0.3 + 0.2 -0.06 = 0.44

Ejemplo: Las posibilidades de fallar en Física son del 20% y las posibilidades de fallar en Matemáticas son del 10%. ¿Cuáles son las posibilidades de reprobar al menos una asignatura?

Solución: Sea P (A) = 20/100 = 1/5, P (B) = 10/100 = 1/10

Dado que los eventos son independientes y tenemos que encontrar 

P (UNA ∪ B) = P (A) + P (B) -P (A). P (B)

=(1/5)+(1/10)-(1/5). (1/10)= (3/10)-(1/50)=14/50

Entonces, la probabilidad de fallar en una asignatura es (14/50) X 100 = 28%

Ejemplo: La probabilidad de que tres estudiantes resuelvan una pregunta es 1 / 2,1 / 4 y 1/6 respectivamente. ¿Cuál será la posibilidad de responder a la pregunta?

Solución:

(i) Esta pregunta también puede ser resuelta por un estudiante

(ii) Esta pregunta puede ser respondida por dos estudiantes al mismo tiempo.

(iii) Esta pregunta puede ser respondida por tres estudiantes en total.

P(A)=1/2, P(B)=1/4, P(C)=1/6

P (UNA ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) - [P (A) .P (B) + P (B) .P (C) + P (C). P (A)] + [P (A) .P (B) .P (C)]

=(1/2)+(1/4)+(1/6)-[(1/2).(1/4)+(1/4).(1/6)+(1/6).(1/2)] +[(1/2).(1/4).(1/6)] =33/48

Ejemplo: Una variable aleatoria X tiene la distribución de probabilidad

X12345678
P(X)0.150.230.120.100.200.080.070.05
Probabilidad condicional: ejemplo

Para los eventos E = {X es el número primo} y F = {X <4}, encuentre la probabilidad de P (E ∪ F).

Solución:

E = {X es un número primo}

P (E) = P (2) + P (3) + P (5) + P (7) = 0.62

F = {X <4}, P (F) = P (1) + P (2) + P (3) = 0.50

y P (E ⋂ F) = P (2) + P (3) = 0.35

P (E ∪ F) = P (E) + P (F) - P (E ⋂ F)

      = 0.62 + 0.50 - 0.35 = 0.77

Ejemplo: Se lanzan tres monedas. Si una de ellas parece cola, ¿cuál sería la posibilidad de que las tres monedas aparezcan cola?

Solución: Imagine E es el evento donde las tres monedas aparecen cola y F es el evento donde una moneda aparece cola. 

F = {HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}

y E = {TTT}

Probabilidad requerida = P (E / F) = P (E ⋂F) / P (E) = 1/7

Probabilidad total y regla de Baye

La ley de la probabilidad total:

Para el espacio muestral S y n eventos mutuamente excluyentes y exhaustivos E1 E2 ….MIn relacionado con un experimento aleatorio. Si X es un evento específico que ocurre con los eventos E1 mineral2 o o En, entonces 

P (X) = P (E_ {1}). P (\ frac {X} {E_ {1}}) + P (E_ {2}) P (\ frac {X} {E_ {2}}) + …… .. + P (E_ {n}). P (\ frac {X} {E_ {n}})

Regla de Baye: 

Imagine S ser un espacio muestral y E1, Y2,… ..En be n eventos incongruentes (o mutuamente excluyentes) tales que

\ sum \ limits_ {i = 1} ^ nE_ {i} = S \ \ y \ \ P (Ei) \ \> 0 \ \ para \ \ i = 1,2, ……, n

Podemos pensar en Eies como los factores que conducen al resultado de un experimento. Las probabilidades P(Ei), i = 1, 2,… .., n se conocen como probabilidades previas (o anteriores). Si la evaluación resulta en un resultado del evento X, donde P(X)> 0. Entonces tenemos que percibir la posibilidad de que la percepción del evento X se deba a la causa Ei, es decir, buscamos la probabilidad condicional P (Ei/X) . Estas probabilidades se conocen como probabilidades posteriores, dadas por la regla de Baye como

P (E_ {i} / X) = \ frac {P (E_ {i}). P (X / E_ {i})} {\ sum \ limits_ {k = 1} ^ nP (E_ {k}) P (X / E_ {k})}

Ejemplo: Hay 3 cajas que se sabe que contienen 2 canicas azules y 3 verdes; 4 canicas azules y 1 verde y 3 canicas azules y 7 verdes respectivamente. Se saca una canica al azar de una de las cajas y se descubre que es una bola verde. Entonces, ¿cuál es la probabilidad de que se haya extraído de la caja que contiene la mayor cantidad de canicas verdes?

Solución: Considere los siguientes eventos:

A -> la canica dibujada es verde;

E1 -> Se elige la casilla 1;

E2 Se elige la casilla 2

E3 Se elige la casilla 3.

EDUCACIÓN FÍSICA1) = P (E2) = P (E3) = 1/3, p (A / E1) = 3/5

Entonces

P (A / E2) = 1/5, P (A / E3) = 7/10

Probabilidad requerida = P (E3/A)

=\frac{P(E_{3})P(A/E_{3})}{P(E_{1})P(A/E_{1})+P(E_{2})P(A/E_{2})+P(E_{3})P(A/E_{3})}  =\frac{7}{15}

Ejemplo: En una prueba de ingreso hay preguntas de opción múltiple. Hay cuatro probables respuestas correctas para cada pregunta, de las cuales tiene la razón. La posibilidad de que un alumno perciba la respuesta correcta a una pregunta en particular es del 90%. Si obtiene la respuesta correcta a una pregunta en particular, ¿cuál es la probabilidad probable de que estuviera prediciendo?

Solución: Definimos los siguientes eventos:

A1 : Él conoce la respuesta.

A2 : Puede que no sepa la respuesta.

E: Conoce la respuesta correcta.

PENSILVANIA1) = 9/10, P (A2) = 1-9 / 10 = 1/10, P (E / A1) = 1,

P (A_ {1}) = \ frac {9} {10} \ \, P (A_ {2}) = 1- \ frac {9} {10} = \ frac {1} {10} \ \, \ \ P (\ frac {E} {A_ {1}}) \ \,

Entonces \ \ P (\ frac {E} {A_ {2}}) = \ frac {1} {4}

Entonces la probabilidad esperada

La probabilidad condicional
La probabilidad condicional

Ejemplo: Cubo A contiene 4 canicas amarillas y 3 negras y un cubo B contiene 4 canicas negras y 3 amarillas. Se toma un cubo al azar y se saca una canica y se observa que es amarilla. ¿Cuál es la probabilidad de que venga Bucket B.

Solución: Se basa en el teorema de Baye. 

Probabilidad de cubo elegido A , P (A) = 1/2

Probabilidad de cubo elegido B , P (B) = 1/2

Probabilidad de mármol amarillo recogido del balde A  =P(A). P(G/A)=(1/2)x (4/7)=2/7 

Probabilidad de mármol amarillo recogido del balde B = P(B).P(G/B)=(1/2)x(3/7)=3/14

Probabilidad total de canicas amarillas = (2/7) + (3/14) = 1/2

Probabilidad de hecho de que Yellow Marbles se extraiga de Bucket B  

P(G/B)={P(B).P(G/B)}/{P(A).P(G/A)+P(B).P(G/B)}={(1/2)x(3/7)}/{[(1/2)x(4/7)]+[(1/2)+(3/7)]} =3/7

Conclusión:

 En este artículo discutimos principalmente sobre la probabilidad condicional y el teorema de Bayes con los ejemplos de estos, la consecuencia directa y dependiente del ensayo que discutimos hasta ahora, ahora en los artículos consecutivos relacionamos la probabilidad con la variable aleatoria y algunos términos familiares relacionados con la teoría de la probabilidad que discutiremos, si desea leer más, vaya a través de:

Esquemas de probabilidad y estadística de Schaum y Wpágina de ikipedia.

Para un estudio más detallado, consulte nuestro página de matemáticas.

Acerca de DR. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Yo soy DR. Mohammed Mazhar Ul Haque, profesor asistente de Matemáticas. Tener 12 años de experiencia en la docencia. Tener un vasto conocimiento en Matemática Pura, precisamente en Álgebra. Tener la inmensa capacidad de diseñar y resolver problemas. Capaz de motivar a los candidatos para mejorar su desempeño.
Me encanta contribuir a Lambdageeks para hacer que las matemáticas sean simples, interesantes y autoexplicativas tanto para principiantes como para expertos.
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