Más de 40 problemas críticos resueltos de secciones de puntos o fórmulas de relación

Ejemplos básicos de las fórmulas "Secciones de puntos o proporción"

Caso-I

Problemas 21: Encuentre las coordenadas del punto P (x, y) que divide internamente el segmento de recta que une los dos puntos (1,1) y (4,1) en la razón 1: 2.

Solución:   Ya sabemos,

Si un punto P (x, y) divide el segmento de línea AB internamente en la proporción Minnesota,donde las coordenadas de A y B son (x1,y1) y (x2,y2) respectivamente. Entonces las coordenadas de P son 

\ textbf {} \ textbf {x} \ textbf {=} \ frac {\ textbf {m} \ textbf {x} _ {2} \ textbf {+} \ textbf {n} \ textbf {x} _ {1} } {\ textbf {m} \ textbf {+} \ textbf {n}}

y

\ textbf {} \ textbf {y} \ textbf {=} \ frac {\ textbf {m} \ textbf {y} _ {2} \ textbf {+} \ textbf {n} \ textbf {y} _ {1} } {\ textbf {m} \ textbf {+} \ textbf {n}}

(Ver cuadro de fórmulas)

Usando esta fórmula podemos decir, (x1,y1) ≌ (1,1) es decir   x1= 1, y1=1;

(x2,y2)≌ (4,1) es decir   x2= 4, y2=1   

y

Minnesota  ≌ 1: 2 es decir   m = 1, n = 2

Representación grafica

Por lo tanto,       

x =\ mathbf {\ frac {\ left (1 \ times x2 \ right) + \ left (2 \ times x1 \ right)} {1 + 2}} ( poner valores de m & n en     \ textbf {} \ textbf {x} \ textbf {=} \ frac {\ textbf {m} \ textbf {x} _ {2} \ textbf {+} \ textbf {n} \ textbf {x} _ {1} } {\ textbf {m} \ textbf {+} \ textbf {n}} )

O, x =\mathbf{\textbf{}\tfrac{1x4+2x1}{3}} ( poniendo valores de x1 &  x2 muy )

O, x = \ mathbf {\ tfrac {4 + 2} {3}}

O, x = \ mathbf {\ textbf {} \ tfrac {6} {3}}

 Or, x = 2

Del mismo modo obtenemos,  

y =\ mathbf {\ frac {\ left (1 \ times y2 \ right) + \ left (2 \ times y1 \ right)} {1 + 2}} ( poner valores de m & n en     y =\ mathbf {\ frac {my2 + ny1} {m + n}})

O, y =\ mathbf {\ frac {\ left (1 \ times 1 \ right) + \ left (2 \ times 1 \ right)} {3}} ( poniendo valores de y1 &  y2 muy )

O, y = \ mathbf {\ frac {\ left (1 \ times 1 + 2 \ right)} {3}}

O, y =  \ mathbf {\ frac {3} {3}}

O, y = 1

 Por lo tanto, x = 2 y y = 1 son las coordenadas del punto P, es decir (2,1).   (Respuesta)

A continuación se proporcionan más problemas con respuestas para practicar más utilizando el procedimiento descrito en el problema 21 anterior: -

22 problema: Encuentre las coordenadas del punto que divide internamente el segmento de línea que une los dos puntos (0,5) y (0,0) en la relación 2: 3.

                     Resp. (0,2)

23 problema: Encuentre el punto que divide internamente el segmento de recta que une los puntos (1,1) y (4,1) en la relación 2: 1.

Resp. (3,1)

24 problema: Encuentre el punto que se encuentra en el segmento de línea que une los dos puntos (3,5,) y (3, -5,) dividiéndolo en la razón 1: 1

Resp. (3,0)

25 problema: Encuentre las coordenadas del punto que divide internamente el segmento de línea que une los dos puntos (-4,1) y (4,1) en la relación 3: 5

Ans. (-1,1)

26 problema: Encuentre el punto que divide internamente el segmento de línea que une los dos puntos (-10,2) y (10,2) en la relación 1.5 : 2.5.

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Caso II

Problemas 27:   Encuentre las coordenadas del punto Q (x, y) que divide externamente el segmento de línea que une los dos puntos (2,1) y (6,1) en la relación 3: 1.

Solución:  Ya sabemos,

Si un punto Q (x, y) divide el segmento de línea AB externamente en la proporción Minnesota,dónde coordenadas of A y B son (x1,y1) y (x2,y2) respectivamente, entonces las coordenadas del punto P son 

\ textbf {} \ textbf {x} \ textbf {=} \ frac {\ textbf {m} \ textbf {x} _ {2} \ textbf {-} \ textbf {n} \ textbf {x} _ {1} } {\ textbf {m} \ textbf {-} \ textbf {n}}

y

\ textbf {} \ textbf {y} \ textbf {=} \ frac {\ textbf {m} \ textbf {y} _ {2} \ textbf {-} \ textbf {n} \ textbf {y} _ {1} } {\ textbf {m} \ textbf {-} \ textbf {n}}

(Ver cuadro de fórmulas)

Usando esta fórmula podemos decir,  (x1,y1) ≌ (2,1) es decir  x1= 2, y1=1;

                                                    (x2,y2)≌ (6,1) es decir   x2= 6, y2= 1 y   

                                                    Minnesota  ≌ 3: 1 es decir    m=3, n =1   

Secciones de puntos
Representación grafica

Por lo tanto, 

x =\ mathbf {\ frac {\ left (3 \ times x2 \ right) - \ left (1 \ times x1 \ right)} {3-1}} ( poner valores de m & n en     x  =\ mathbf {\ frac {mx2-nx1} {mn}})

O, x =\ mathbf {\ frac {\ left (3 \ times 6 \ right) - \ left (1 \ times 2 \ right)} {2}} ( poniendo valores de x1 &  x2 muy )

O, x\ mathbf {\ frac {18-2} {2}}

O, x  =  \ mathbf {\ frac {16} {2}}

O, x = 8

Del mismo modo obtenemos,  

y =\ mathbf {\ frac {\ left (3 \ times y2 \ right) - \ left (1 \ times y1 \ right)} {3-1}} ( poner valores de m & n en     y =\ mathbf {\ frac {my2-ny1} {mn}})

O, y =\ mathbf {\ frac {\ left (3 \ times 1 \ right) - \ left (1 \ times 1 \ right)} {2}} ( poniendo valores de y1 &  y2 muy )

O, y = \ mathbf {\ frac {3-1} {2}}

O, y =  \ mathbf {\ frac {2} {2}}

O, y = 1

 Por lo tanto, x = 8 y y = 1 son las coordenadas del punto Q es decir (8,1).   (Respuesta)

A continuación se proporcionan más problemas con respuestas para practicar más utilizando el procedimiento descrito en el problema 27 anterior: -

28 problema: Encuentre el punto que divide externamente el segmento de línea que une los dos puntos (2,2) y (4,2) en la relación 3 : 1.

Resp. (5,2)

29 problema: Encuentre el punto que divide externamente el segmento de línea que une los dos puntos (0,2) y (0,5) en la relación 5:2.

Resp. (0,7)

30 problema: Encuentre el punto que se encuentra en la parte extendida del segmento de línea que une los dos puntos (-3, -2) y (3, -2) en la razón 2 : 1.

Resp. (9, -2)

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Caso III

Problemas 31:  Encuentre las coordenadas del punto medio del segmento de línea que une los dos puntos (-1,2) y (1,2).

Solución:   Ya sabemos,

Si un punto R (x, y) ser el punto medio de la unión del segmento de línea Hacha1,y1) y B (x2,y2).Entonces las coordenadas de R son

\ textbf {} \ textbf {x} \ textbf {=} \ frac {\ textbf {x} _ {1} \ textbf {+} \ textbf {x} _ {2}} {\ textbf {2}}

y

\ textbf {} \ textbf {y} \ textbf {=} \ frac {\ textbf {y} _ {1} \ textbf {+} \ textbf {y} _ {2}} {\ textbf {2}}

(Ver cuadro de fórmulas)

El caso III es la forma del caso I mientras que m = 1 y n = 1

Usando esta fórmula podemos decir,  (x1,y1) ≌ (-1,2) es decir  x1=-1, y1=2 y

                                                    (x2,y2)≌ (1,2) es decir   x2= 1, y2=2

Representación grafica

Por lo tanto,

x =\ mathbf {\ frac {\ left (-1 \ right) +1} {2}} ( poniendo valores de x1 &  x2  in x =\ mathbf {\ frac {x1 + x2} {2}})

O, x  =  \ mathbf {\ frac {0} {2}}

O, x = 0

Del mismo modo obtenemos, 

y =\ mathbf {\ frac {2 + 2} {2}} ( poniendo valores de y1 &  y2  in y =\ mathbf {\ frac {x1 + x2} {2}})

O, y \ mathbf {\ frac {4} {2}}

O, y = 2

Por lo tanto, x = 0 y y = 2 son las coordenadas del punto medio R, es decir, (0,2).   (Respuesta)

A continuación se proporcionan más problemas con respuestas para practicar más utilizando el procedimiento descrito en el problema 31 anterior: -

32 problema: Encuentra las coordenadas del punto medio de la línea que une los dos puntos (-1, -3) y (1, -4).

Resp. (0,3.5)

33 problema: Encuentre las coordenadas del punto medio que divide el segmento de línea que une los dos puntos (-5, -7) y (5,7).

Resp. (0,0)

34 problema: Encuentre las coordenadas del punto medio que divide el segmento de línea que une los dos puntos (10, -5) y (-7,2).

Resp. (1.5, -1.5)

35 problema: Encuentre las coordenadas del punto medio que divide el segmento de línea que une los dos puntos (3, √2) y (1,32).

Resp. (2,2√2)

36 problema: Encuentre las coordenadas del punto medio que divide el segmento de línea que une los dos puntos (2 + 3i, 5) y (2-3i, -5).

Resp. (2,0)

Nota: Cómo comprobar si un punto divide una línea (longitud = d unidades) interna o externamente por la relación m: n

Si (m × d) / (m + n) + (n × d) / (m + n) = d, entonces dividiendo internamente y

Si (m × d) / (m + n) - (n × d) / (m + n) = d, entonces dividiendo externamente

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Ejemplos básicos de las fórmulas "Área de un triángulo"

Caso-I 

Problemas 37: ¿Cuál es el área del triángulo con dos vértices? A (1,2) y B (5,3) y altura con respecto a AB be 3 unidades en el plano de coordenadas?

 Solución:   Ya sabemos,

If "H" ser la altura y "segundo" ser la base de Triangle, entonces  El área del triángulo es = ½ × b × h

(Ver cuadro de fórmulas)

Representación grafica

Usando esta fórmula podemos decir, 

 h = 3 unidades y b = √ [(x2-x1)2+ (y2-y1)2 ] es decir  √ [(5-1)2+ (3-2)2 ]

                    O, b = √ [(4)2+ (1)2 ]

                    O, b = √ [(16 + 1 ]

                    O,  b = √ 17 unidades

Por lo tanto, el área requerida del triángulo es   = ½ × b × h es decir

= ½ × (√ 17) × 3 unidades

= 3⁄2 × (√ 17) unidades (Respuesta)

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Caso II

Problemas 38:¿Cuál es el área del triángulo con vértices? A (1,2), B (5,3) y C (3,5) en el plano de coordenadas?

 Solución:   Ya sabemos,

If  Hacha1,y1), B (x2,y2) y C (x3,y3) ser los vértices de un triángulo,

El área del triángulo es  =|½[x1 (y2,  y3) + x2 (y3,  y2) + x3 (y2- y1)]|

(Ver cuadro de fórmulas)

Usando esta fórmula tenemos, 

                                              (x1,y1) ≌ (1,2) es decir   x1= 1, y1=2;

                                              (x2,y2) ≌ (5,3) es decir   x2= 5, y2= 3 y

                                              (x3,y3) ≌ (3,5) es decir    x3= 3, y3=5

Representación grafica

Por lo tanto, el área del triángulo es = | ½ [x1 (y2,  y3) + x2 (y3,  y1) + x3 (y1-y2)] | es decir, 

= | ½ [1 (3-5) + 5 (5-3) + 3 (3-2)] |  unidades cuadradas 

= | ½ [1x (-2) + (5 × 2) + (3 × 1)] |    unidades cuadradas

= | ½ [-2 + 10 + 3] |    unidades cuadradas

= | ½ x 11|     unidades cuadradas

= 11/2     unidades cuadradas

= 5.5      unidades cuadradas         (Resp.)

A continuación, se proporcionan más problemas resueltos para practicar más utilizando el procedimiento descrito en los problemas anteriores:

39 problema: Calcula el área del triángulo cuyos vértices son (1,1), (-1,2) y (3,2).

Resp. 2 unidades cuadradas

40 problema: Calcula el área del triángulo cuyos vértices son (3,0), (0,6) y (6,9).

Resp. 22.5 unidades cuadradas

41 problema: Calcula el área del triángulo cuyos vértices son (-1, -2), (0,4) y (1, -3).

Resp. 6.5 unidades cuadradas

42 problema: Encuentra el área del triángulo cuyos vértices son (-5,0,), (0,5) y (0, -5).                                 Resp. 25 unidades cuadradas

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Sobre NASRINA PARVIN

Soy Nasrina Parvin, con 10 años de experiencia trabajando en el Ministerio de tecnología de la información y las comunicaciones de la India. Me gradué en Matemáticas. En mi tiempo libre me encanta enseñar, resolver problemas de matemáticas. Desde mi infancia las matemáticas son la única asignatura que más me fascina.