Propiedades de permutación y combinación
Cuando se habla de permutación y combinación, ya que se trata de selección y ordenación con o sin consideraciones de orden, según la situación existen diferentes tipos y propiedades para la permutación y combinación, estas diferencias entre permutaciones y combinaciones las explicaremos aquí con ejemplos justificados.
permutaciones sin repetición
Esta es la permutación normal que organiza n objetos tomados r a la vez, es decir, nPr
n Pr= n! / (nr)!
número de ordenaciones de n objetos diferentes tomados todos a la vez n Pn = n!
Además, tenemos
nP0 = n! / n! = 1
nPr = norten-1Pr-1
0! = 1
1 / (- r)! = 0 o (-r)! = ∞
permutaciones con repetición
Número de permutaciones (arreglos) para diferentes elementos, tomados r a la vez, donde cada elemento puede suceder una, dos, tres veces, …… .. r-veces tantos en cualquier arreglo = Número de formas de llenar r áreas donde cada El elemento se puede completar con cualquiera de los n elementos.
El número de permutaciones = El número de formas de llenado r lugares = (n)r
El número de órdenes que se pueden organizar usando n objetos de los cuales p son iguales (y de un tipo) q son iguales (y de otro tipo), r son similares (y de otro tipo) y el resto son distintos es nPr = n! / (p! q! r!)
Ejemplo:
¿De cuántas formas se pueden distribuir 5 manzanas entre cuatro niños cuando cada niño puede tomar una o más manzanas?
Solución: Este es el ejemplo de permutación con repetición, ya que sabemos que para tales casos tenemos
El número de permutaciones = El número de formas de llenado r lugares = nr
El número requerido de vías es 45 = 10, ya que cada manzana se puede distribuir de 4 formas.
Ejemplo: Encuentra el número de palabras que se pueden organizar con las letras de la palabra MATEMÁTICAS reagrupándolas.
Solución: Aquí podemos observar que hay 2 M's, 2 A's y 2T's este es el ejemplo de permutación con repetición
= n! / (p! q! r!)
El número requerido de vías es = 11! / (2! 2! 2!) = 4989600
Ejemplo: De cuántas formas el número de cruces es igual al número de caras si seis monedas idénticas están dispuestas en una fila
Solución: Aquí podemos observar que
No. de cabezas = 3
No de colas = 3
Y dado que las monedas son idénticas, este es el ejemplo de permutación con repetición = n! / (P! Q! R!)
Número requerido de vías = 6! / (3! 3!) = 720 / (6X6) = 20
Permutación circular:
En la permutación circular, lo más importante es el orden del objeto con respecto a los demás.
Entonces, en la permutación circular, ajustamos la posición de un objeto y colocamos los otros objetos en todas las direcciones.
La permutación circular se divide en dos formas:
(i) Permutación circular donde los ajustes en sentido horario y antihorario sugieren permutación diferente, por ejemplo, arreglos para sentar a las personas alrededor de la mesa.
(ii) Permutación circular donde se muestran los ajustes en sentido horario y antihorario misma permutación, por ejemplo, disponer determinadas cuentas para crear un collar.
Disposición en sentido horario y antihorario
Si el orden y el movimiento en sentido antihorario y horario son No es diferente p. ej., arreglo de cuentas en un collar, arreglo floral en una guirnalda, etc., luego el número de permutaciones circulares de n elementos distintos es (n-1)! / 2
- El número de permutación circular para n elementos diferentes, tomados r a la vez, cuando se considera que los órdenes para el sentido horario y antihorario son una experiencia diferente by nPr /r
- El número de permutación circular para n elementos diferentes, tomados r a la vez, cuando los órdenes en sentido horario y antihorario son No es diferente en nPr / 2r
- ¡El número de permutaciones circulares de n objetos diferentes es (n-1)!
- El número de formas en que n diferentes niños pueden sentarse alrededor de una mesa circular es (n-1)!
- El número de formas en que n se pueden configurar diferentes gemas para formar un collar, es (n-1)! / 2
Ejemplo:
¿De cuántas formas se pueden colocar cinco llaves en el anillo?
Solución:
Dado que en sentido horario y antihorario son iguales en caso de anillo.
Si la secuencia y el movimiento en sentido antihorario y horario se No es diferente entonces el número de permutaciones circulares de n elementos distintos es
= (n-1)! / 2
Número requerido de vías = (5-1)! / 2 = 4! / 2 = 12
Ejemplo:
¿Cuál sería el número de arreglos? Si once miembros de un comité se sientan en una mesa redonda para que el presidente y el secretario siempre se sienten juntos.
Solución:
Por propiedad fundamental de la permutación circular
¡El recuento de permutaciones circulares de n cosas diferentes es (n-1)!
Dado que dos posiciones son fijas, tenemos
Número requerido de vías (11-2)! * 2 = 9! * 2 = 725760
Ejemplo: ¿Cuál sería el número de formas en que 6 hombres y 5 mujeres pueden comer en una mesa redonda si dos mujeres no pueden sentarse juntas?
Solución: Por propiedad fundamental de permutación circular.
¡El recuento de permutaciones circulares de n cosas diferentes es (n-1)!
Número de formas en que se pueden organizar 6 hombres en una mesa redonda = (6 - 1)! = 5!
¡Ahora las mujeres se pueden arreglar en 6! vías y número total de vías = 6! × 5!
Combinaciones sin repetición
Esta es la combinación habitual que es "El número de combinaciones (selecciones o grupos) que se pueden formar a partir de n diferentes objetos tomados de uno en uno es nCr = n! / (nr)! r!
También nCr =nCrr
n Pr / r! = n! / (nr)! =nCr
Ejemplo: Encuentre el número de opciones para cubrir 12 vacantes si hay 25 candidatos y cinco de ellos son de la categoría programada, siempre que se reserven 3 vacantes para los candidatos del SC mientras que las restantes estén abiertas para todos.
Solución: Dado que se cubren 3 puestos vacantes de 5 solicitantes en 5 C3 formas (es decir, 5 ELIGE 3) y ahora los candidatos restantes son 22 y los asientos restantes son 9, por lo que sería 22C9 (22 ELEGIR 9) La selección se puede realizar en 5 C3 X 22C9 ={5!/3!(5-3)! }X{22!/9!(22-9)!}
5 C3 X 22C9 = {(3!X4X5)/(3!X2!)}X {22!/(9!X13!)}=4974200
Por tanto, la selección se puede realizar de 4974200 formas.
Ejemplo: Hay 10 candidatos y tres vacantes en la elección. ¿De cuántas formas un votante puede emitir su voto?
Solución: Dado que solo hay 3 vacantes para 10 candidatos, este es el problema de 10 ELEGIR 1, 10 ELEGIR 2 y 10 ELEGIR 3 Ejemplos,
Un votante puede votar 10C1+10C2+10C3 = {10!/1!(10-1)!}+{10!/2!(10-2)!}+{10!/3!(10-3)!} =10+45+120= 175 ways.
Entonces, de 175 maneras los votantes pueden votar.
Ejemplo:Hay 9 sillas en una habitación para 4 personas, una de las cuales es un invitado de un solo asiento con una silla específica. ¿De cuántas formas pueden sentarse?
Solución: Dado que se pueden seleccionar 3 sillas en 8C3 y luego 3 personas se pueden arreglar en 3! formas.
3 personas deben sentarse en 8 sillas 8C3 (es decir, 8 ELEGIR 3) arreglo
=8C3 X3! = {8! / 3! (8-3)!} X3!
= 56X6 = 336
Pueden sentarse de 336 maneras.
Ejemplo: Para cinco hombres y 4 mujeres, se formará un grupo de 6. De cuántas formas se puede hacer esto para que el grupo tenga más hombres.
Solución: Aquí el problema incluye diferentes combinaciones como 5 ELIJA 5, 5 ELIJA 4, 5 ELIJA 3 para hombres y para mujeres incluye 4 ELIJA 1, 4 ELIJA 2 y 4 ELIJA 3 como se indica a continuación
1 mujer y 5 hombres =4C1 X 5C5 ={4!/1!(4-1)!} X{5!/5!(5-5)!}=4
2 mujeres y 4 hombres =4C2 X 5C4 = {4!/2!(4-2)!} X{5!/4!(5-4)!}=30
3 mujeres y 3 hombres =4C3 X 5C3 = {4!/3!(4-3)!} X {5!/3!(5-3)!} =40
Por tanto, formas totales = 4 + 30 + 40 = 74.
Ejemplo: El número de formas en que 12 niños pueden viajar en tres automóviles, de modo que 4 niños en cada automóvil, asumiendo que tres niños en particular no irán en el mismo automóvil.
Solución: Primero omita a tres niños en particular, los 9 niños restantes pueden ser 3 en cada automóvil. Esto se puede hacer en 9 ELEGIR 3 es decir 9C3 formas,
Los tres niños en particular pueden colocarse de tres maneras, una en cada automóvil. Por lo tanto, el número total de vías es = 3X9C3.
={9!/3!(9-3)!}X3= 252
así que de 252 maneras se pueden colocar.
Ejemplo: ¿De cuántas formas salieron 2 bolas verdes y 2 negras de una bolsa que contenía 7 bolas verdes y 8 negras?
Solución: Aquí la bolsa contiene 7 verdes de las que tenemos que elegir 2, por lo que es un problema 7 ELEGIR 2 y 8 bolas negras de las que tenemos que elegir 2, por lo que es un problema 8 ELEGIR 2.
De ahí el número requerido = 7C2 X 8C2 = {7!/2!(7-2)!}X{8!/2!(8-2)!}=21X28=588
así que de 588 maneras podemos seleccionar 2 verdes y 2 negros de esa bolsa.
Ejemplo: Se proporcionan doce caracteres diferentes de palabras en inglés. A partir de estas letras, se forman 2 nombres alfabéticos. Cuántas palabras se pueden crear cuando se repite al menos una letra.
Solución: aquí tenemos que elegir palabras de 2 letras de 12 letras, por lo que es un problema de 12 ELEGIR 2.
No de palabras de 2 letras en las que las letras han sido recurrentes en cualquier momento = 122
Pero no. de palabras al tener dos letras diferentes de 12 =12C2 = {12!/2!(12-2)!} =66
Número requerido de palabras = 122-66 = 144-66 = 78.
Ejemplo: Hay 12 puntos en el plano donde seis son colineales, entonces cuántas líneas se pueden dibujar al unir estos puntos.
Solución: Para que 12 puntos en un plano formen una línea, necesitamos 2 puntos iguales para seis puntos colineales, por lo que este es el problema 12 ELEGIR 2 y 6 ELEGIR 2.
El número de líneas es = 12C2 – 6C2 +1={12!/2!(12-2)!}-{6!/2!(6-2)!}+1 =66-15+1=52
Así que en 52 formas se pueden dibujar líneas.
Ejemplo: Encuentre el número de formas en que se puede configurar un gabinete de 6 miembros a partir de 8 caballeros y 4 damas de modo que el gabinete consta de al menos 3 damas.
Solución: Para formar el comité, podemos elegir entre 3 hombres y mujeres y 2 hombres 4 mujeres, por lo que el problema incluye 8 ELEGIR 3, 4 ELEGIR 3, 8 ELEGIR 2 y 4 ELEGIR 4.
Se pueden formar dos tipos de gabinete
(i) Tener 3 hombres y 3 mujeres
(ii) Tener 2 hombres y 4 mujeres
Posible no. de formas = (8C3 X 4C3) + (8C2 X4C4)= {8!/3!(8-3)!}X{4!/3!(4-3)!} +{8!/2!(8-2)!}X{4!/4!(4-4)!} = 56X4+ 28X1 =252
Entonces, de 252 maneras podemos formar tal gabinete.
Estos son algunos ejemplos donde podemos comparar la situación de nPr vs nCr en el caso de la permutación, la forma en que se organizan las cosas es importante. Sin embargo, en combinación, el orden no significa nada.
Conclusión
Una breve descripción de Permutación y combinación cuando se repite y no se repite con la fórmula básica y los resultados importantes se proporcionan en forma de ejemplos reales, en esta serie de artículos discutiremos en detalle los diversos resultados y fórmulas con ejemplos relevantes, si desea continuar leyendo:
BOSQUEJO DE SCHAUM DE LA TEORÍA Y PROBLEMAS DE LAS MATEMÁTICAS DISCRETAS
https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation
https://en.wikipedia.org/wiki/Combination
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Soy DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. He completado mi doctorado. en Matemáticas y trabajando como profesor asistente en Matemáticas. Contando con 12 años de experiencia en la docencia. Teniendo amplios conocimientos en Matemática Pura, precisamente en Álgebra. Tener la inmensa capacidad de diseño y resolución de problemas. Capaz de motivar a los candidatos para mejorar su desempeño.
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