Probabilidad Función de masa | Su descripción completa con 5 ejemplos

Variable aleatoria discreta y expectativa matemática-II

Como ya estamos familiarizados con el variable aleatoria discreta, es la variable aleatoria que toma un número contable de valores posibles en una secuencia. Los dos conceptos importantes relacionados con las variables aleatorias discretas son la probabilidad de la variable aleatoria discreta y la función de distribución, restringimos el nombre a la función de probabilidad y distribución como,

Función de probabilidad de masa (pmf)

                La Función de probabilidad es la probabilidad de la variable aleatoria discreta, por lo que para cualquier variables aleatorias discretas  x1, X2, X3, X4,……, Xk  las probabilidades correspondientes P (x1), P (x2), P (x3), P (x4) ……, P (xk) son las funciones de masa de probabilidad correspondientes.

Específicamente, para X = a, P (a) = P (X = a) es su pmf

Nosotros aquí en adelante usamos función de probabilidad para probabilidad de variables aleatorias discretas. Todas las características de probabilidad para la probabilidad serán obviamente aplicables a la función de masa de probabilidad como la positividad y la suma de todas las pmf será una, etc.

Función de distribución acumulativa (cdf) / Función de distribución

  La función de distribución definida como

F (x) = P (X <= x)

para la variable aleatoria discreta con función de masa de probabilidad es la función de distribución acumulativa (CDF) de la variable aleatoria.

y la expectativa matemática para la variable aleatoria que definimos fue

E (g (x)) = \ suma \ límites_ {i} x_ {i} p_ {i}

ahora vemos algunos de los resultados de las expectativas matemáticas

  1. Si x1, X2, X3, X4,… .. son las variables aleatorias discretas con probabilidades respectivas P (x1), P (x2), P (x3), P (x4)… La expectativa para la función de valor real g será

E (g (x)) = \ sum \ límites_ {i} g (x_ {i}) p (x_ {i})

Ejemplo: para las siguientes funciones de masa de probabilidad, encuentre la E (X3)

función de probabilidad

Aquí el g (X) = X3

¿Entonces

E (g (x)) = \ sum \ límites_ {i} g (x_ {i}) p (x_ {i})

E (X ^ {3}) = \ suma \ límites_ {i} x_ {i} ^ {3} p (x_ {i})

E(X^{3}) = (-1)^{3}<em>0.2+(0)^{3}</em>0.5+(1)^{^{3}}*0.3

E (X ^ {3}) = 0.1

De manera similar para cualquier orden n, podemos escribir

E [X ^ {n}] = \ sum \ limits_ {x: p (x)> 0} x ^ {n} p (x)

Lo que se conoce como enésimo momento.

2. Si ayb son constantes, entonces

E [aX + b] = aE [X] + b

Esto lo podemos entender fácilmente como

E [aX + b] = \ sum \ limits_ {x: p (x)> 0} (ax + b) p (x)

= a \ suma \ límites_ {x: p (x)> 0} xp (x) + b \ suma \ límites_ {x: p (x)> 0} p (x)

= aE [X] + b

Varianza en términos de expectativa.

                Para la media denotada por μ, la varianza de la variable aleatoria discreta X denotada por var (X) o σ en términos de expectativa será

Var (X) = E [(X- μ)2]

y esto lo podemos simplificar aún más como

Var (X) = E [(X- μ)2]

= \ suma \ límites_ {x} (x- \ mu) ^ {2} p (x)

= \ suma \ límites_ {x} (x ^ {2} -2x \ mu + \ mu ^ {2}) p (x)

= \ suma \ límites_ {x} (x ^ {2} p (x) -2 \ mu \ sum \ límites_ {x} xp (x) + \ mu ^ {2} \ sum \ límites_ {x} p (x )

= E [X ^ {2}] -2 \ mu ^ {2} + \ mu ^ {2}

= E [X ^ {2}] - \ mu ^ {2}

esto significa que podemos escribir la varianza como la diferencia de la expectativa del cuadrado de la variable aleatoria y el cuadrado de la expectativa de la variable aleatoria.

es decir, Var (X) = E [X2] - (EX])2

Ejemplo:  cuando se lanza un dado, calcula la varianza.

Solución:  Aquí sabemos que cuando se arroje la muerte, las probabilidades de cada cara serán

p(1)=p(2)=p(3)=p(4)=p(5)=p(6)=1/6

por lo tanto, para calcular la varianza encontraremos la expectativa de la variable aleatoria y su cuadrado como

E[X]=1.(1/6)+2.(1/6)+3.(1/6)+4.(1/6)+5.(1/6)+6.(1/6)=(7/2)

EX2] = 12. (1/6) +22. (1/6) +32. (1/6) +42. (1/6) +52. (1/6) +62.(1/6) =(1/6)(91)

y obtuvimos la varianza como

Var (X) = E [X2] - (EX])2

so

Var (X) = (91/6) - (7/2)2 = 35 / 12

Una de las identidades importantes para la varianza es

  1. Para las constantes arbitrarias ayb tenemos

Var (aX + b) = a2 Var (X)

Esto lo podemos mostrar fácilmente como

Var (aX + b) = E [(aX + b -aμ-b)2 ]

= E [a2(X - μ)2]

=a2 E [(X-μ)2]

=a2 Var (X)

Variable aleatoria de Bernoulli

      Un matemático suizo James Bernoulli definió el Variable aleatoria de Bernoulli como una variable aleatoria que tiene éxito o fracaso como sólo dos resultados para el experimento aleatorio.

es decir, cuando el resultado es el éxito X = 1

Cuando el resultado es el fracaso X = 0

Entonces, la función de masa de probabilidad para la variable aleatoria de Bernoulli es

p (0) = P {X = 0} = 1-p

p (1) = P {X = 1} = p

donde p es la probabilidad de éxito y 1-p será la probabilidad de fracaso.

Aquí podemos tomar 1-p = q también donde q es la probabilidad de falla.

Como este tipo de variable aleatoria es obviamente discreta, esta es una variable aleatoria discreta.

Ejemplo: Tirando una moneda.

Variable aleatoria binomial

Si para un experimento aleatorio que solo tiene un resultado como éxito o fracaso, tomamos n ensayos, por lo que cada vez obtendremos éxito o fracaso, entonces la variable aleatoria X que representa el resultado de dicho experimento aleatorio de n ensayos se conoce como Variable aleatoria binomial.

                En otras palabras, si p es la función de masa de probabilidad para el éxito en el único ensayo de Bernoulli y q = 1-p es la probabilidad de fallo, entonces la probabilidad de que ocurra el evento 'x o i' veces en n ensayos será

f (x) = P (X = x) = \ binom {n} {x} p ^ {x} q ^ {nx} = \ frac {n!} {x! (nx!)} p ^ {x} q ^ {nx}

or

p (i) = \ binom {n} {i} p ^ {i} (1-p) ^ {ni} donde i = 0,1,2,… .n

Ejemplo: Si lanzamos dos monedas seis veces y sacar cara es un éxito y las ocurrencias restantes son fracasos, entonces su probabilidad será

f (x) = P (X = x) = \ binom {n} {x} p ^ {x} q ^ {nx} = \ frac {n!} {x! (nx!)} p ^ {x} q ^ {nx}

P(X=2)=\binom{6}{2}(\frac{1}{2})^{2}(\frac{1}{2})^{6-2}=\frac{6!}{2!4!}(\frac{1}{2})^{2}(\frac{1}{2})^{4}=\frac{15}{64}

de manera similar, podemos calcular para cualquier experimento de este tipo.

La Variable aleatoria binomial tiene el nombre Binomio porque representa la expansión de

látex^{n}=q^{n}+\binom{n}{1}q^{n-1}p+\binom{n}{2}q^{n-2}p^{2}+…….+p^{n}=\sum\limits_{i = 1}^n\binom{n}{x}p^{x}q^{n-x}[/latex]

Si ponemos en lugar de n = 1, esto se convertiría en la variable aleatoria de Bernoulli.

Ejemplo: Si se lanzaran cinco monedas y el resultado se tomara de forma independiente, ¿cuál sería la probabilidad de que ocurriera el número de caras?

Aquí, si tomamos la variable aleatoria X como el número de caras, se convertiría en la variable aleatoria binomial con n = 5 y la probabilidad de éxito como ½

Entonces, siguiendo la función de masa de probabilidad para la variable aleatoria binomial, obtendremos

P{X=0}=\binom{5}{0}(\frac{1}{2})^{0}(\frac{1}{2})^{5}=\frac{1}{32}

P{X=1}=\binom{5}{1}(\frac{1}{2})^{1}(\frac{1}{2})^{4}=\frac{5}{32}

P{X=2}=\binom{5}{2}(\frac{1}{2})^{2}(\frac{1}{2})^{3}=\frac{10}{32}

P{X=3}=\binom{5}{3}(\frac{1}{2})^{3}(\frac{1}{2})^{2}=\frac{10}{32}

P{X=4}=\binom{5}{4}(\frac{1}{2})^{4}(\frac{1}{2})^{1}=\frac{5}{32}

Ejemplo:

En una determinada empresa, la probabilidad de avería es de 0.01 de la producción. La empresa fabrica y vende el producto en un paquete de 10 y ofrece a sus clientes la garantía de devolución de dinero de que como máximo 1 de los 10 productos está defectuoso, por lo tanto, ¿qué proporción del paquete de productos vendidos debe reemplazar la empresa?

Aquí, si X es la variable aleatoria que representa los productos defectuosos, entonces es del tipo binomial con n = 10 yp = 0.01, entonces la probabilidad de que el paquete regrese es

P({X\geq 1})=1-P(X=0)-P(X=1)=1-\binom{10}{0}(0.01)^{0}(0.99)^{10}-\binom{10}{1}(0.01)^{1}(0.99)^{9}

\ aproximadamente 0.004

Ejemplo: (chuck-a-luck / wheel of fortune) En un juego específico de fortuna en el hotel, un jugador apuesta a cualquiera de los números del 1 al 6, luego se tiran tres dados y si el número aparece, el jugador apuesta una, dos o tres veces el jugador significa que muchas unidades si aparecen una vez, luego 1 unidad, si con dos dados, luego con 2 unidades y si con tres dados, luego con 3 unidades, verifique con la ayuda de la probabilidad de que el juego sea justo para el jugador o no.

Si asumimos que no habrá medios injustos con los dados y las técnicas de estafa, suponiendo que el resultado de los dados de forma independiente, la probabilidad de éxito para cada dado es 1/6 y el fracaso será

 1-1 / 6 por lo que resulta ser el ejemplo de una variable aleatoria binomial con n = 3

así que primero calcularemos las probabilidades de ganar asignando x cuando los jugadores ganen

P(X=0)=\binom{3}{0}(\frac{1}{6})^{0}(\frac{5}{6})^{3}=\frac{125}{216}

P(X=1)=\binom{3}{1}(\frac{1}{6})^{1}(\frac{5}{6})^{2}=\frac{75}{216}

P(X=2)=\binom{3}{2}(\frac{1}{6})^{2}(\frac{5}{6})^{1}=\frac{15}{216}

P(X=3)=\binom{3}{3}(\frac{1}{6})^{3}(\frac{5}{6})^{0}=\frac{1}{216}

Ahora, para calcular si el juego es justo para el jugador o no, calcularemos la expectativa de la variable aleatoria.

E[X]=\frac{-125+75+30+3}{216}

= - \ frac {17} {216}

Esto significa que la probabilidad de perder el juego para el jugador cuando juega 216 veces es 17.

Conclusión:

   En este artículo discutimos algunas de las propiedades básicas de una variable aleatoria discreta, función de masa de probabilidad y varianza. Además, hemos visto algunos tipos de una variable aleatoria discreta.Antes de comenzar con la variable aleatoria continua, tratamos de cubrir todos los tipos y propiedades de la variable aleatoria discreta, si desea leer más, siga con:

Esquemas de probabilidad y estadística de Schaum

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability

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Acerca de DR. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Yo soy DR. Mohammed Mazhar Ul Haque, profesor asistente de Matemáticas. Tener 12 años de experiencia en la docencia. Tener un vasto conocimiento en Matemática Pura, precisamente en Álgebra. Tener la inmensa capacidad de diseñar y resolver problemas. Capaz de motivar a los candidatos para mejorar su desempeño.
Me encanta contribuir a Lambdageeks para hacer que las matemáticas sean simples, interesantes y autoexplicativas tanto para principiantes como para expertos.
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