Estrés principal | Son hechos importantes y el estado de estrés en 3D.

Estrés principal

¿Cómo definir el estrés principal? | ¿Qué es el estrés principal? Explique con un ejemplo. ?

Definición de estrés principal:

La tensión principal es la tensión máxima y mínima derivada de la tensión normal en un ángulo en un plano donde el esfuerzo cortante es cero.

¿Cómo calcular la tensión principal?

Ecuación de tensión principal | Fórmula de estrés principal:
Ecuaciones de tensión principal máxima y mínima:

\ sigma 1 = \ frac {\ sigma x + \ sigma y} {2} + \ sqrt {(\ frac {\ sigma x- \ sigma y} {2}) ^ {2} + \ tau xy ^ {2}}

\ sigma 1 = \ frac {\ sigma x + \ sigma y} {2} - \ sqrt {(\ frac {\ sigma x- \ sigma y} {2}) ^ {2} + \ tau xy ^ {2}}

Derivación de tensión principal | Determine los planos principales y las tensiones principales.

Tensiones normales:

\ sigma x '= \ frac {\ sigma x + \ sigma y} {2} + \ frac {(\ sigma x- \ sigma y) (cos2 \ Theta)} {2} + \ sigma xysin2 \ Theta

\ sigma y '= \ frac {\ sigma x + \ sigma y} {2} - \ frac {(\ sigma x- \ sigma y) (sin2 \ Theta)} {2} + \ sigma xycos2 \ Theta

- \ frac {(\ sigma x- \ sigma y) (cos2 \ Theta)} {2} + \ sigma xysin2 \ Theta

Diferenciar,

\ frac {dx '} {d \ Theta} = 0

tan2 \ Theta = \ frac {\ sigma xy} {\ frac {(\ sigma x- \ sigma y)} {2}}

tan2 \ Theta_ {p} = \ frac {\ sigma xy} {\ frac {(\ sigma x- \ sigma y)} {2}}

"P" representa el plano principal.

Hay dos tensiones principales,
uno en ángulo 2 \ Theta
y otro en 2 \ Theta + 180
Tensiones principales máximas y mínimas:

R=\ sqrt {(\ frac {\ sigma x- \ sigma y} {2}) ^ {2} + \ tau xy ^ {2}}

cos2 \ Theta = \ frac {\ left (\ sigma x- \ sigma y \ right)} {2R}

sin2 \ Theta = \ frac {\ sigma xy} {R}

sustituto en la ecuación 1:

\ sigma x '= \ frac {\ left (\ sigma x + \ sigma y \ right)} {2} + \ frac {1} {R} [\ left (\ frac {\ sigma x- \ sigma y} {2 } \ right) ^ {2} + \ sigma xy ^ {2}]

valor sustituto de R

Las tensiones normales máximas y mínimas son las tensiones principales:

\ sigma max = \ frac {\ sigma x + \ sigma y} {2} + \ sqrt {(\ frac {\ sigma x- \ sigma y} {2}) ^ {2} + \ tau xy ^ {2}}

\ sigma min = \ frac {\ sigma x + \ sigma y} {2} - \ sqrt {(\ frac {\ sigma x- \ sigma y} {2}) ^ {2} + \ tau xy ^ {2}}

El estado de estrés:

La tensión principal son los ejes de coordenadas de referencia para la representación de la matriz de tensiones y estos componentes de tensión son la importancia del estado de tensión que podría representarse como,

Medidor de estrés:

\ tau ij = \ begin {bmatrix} \ sigma 1 & 0 & 0 \\ 0 & \ sigma 2 & 0 \\ 0 & 0 & \ sigma 3 \ end {bmatrix}

Principales tensiones del tensor de tensiones e invariantes de tensiones | tensiones principales invariantes

Hay tres planos principales en cualquier cuerpo sometido a esfuerzos, con vectores normales n, llamados direcciones principales donde el vector de esfuerzos está en la misma dirección que el vector normal n sin esfuerzos cortantes y estos componentes dependen de la alineación del sistema de coordenadas.


Un vector de tensión paralelo al vector unitario normal n se especifica como,

\ tau ^ {\ left (n \ right)} = \ lambda n = \ sigma _ {n} n

Dónde,
\ lambda representa la constante de proporcionalidad.

Los principales vectores de estrés representados como,

\ sigma ij nj = \ lambda ni

\ sigma ij nj- \ lambda nij = 0

La magnitud de tres tensiones principales da tres ecuaciones lineales.
El determinante de la matriz de coeficientes es igual a cero y se representa como,

\ begin {vmatrix} \ sigma ij- \ lambda \ delta ij \ end {vmatrix} = \ begin {bmatrix} \ sigma 11- \ lambda & \ sigma 12 & \ sigma 13 \\\ sigma 21 & \ sigma 22- \ lambda & \ sigma 23 \\\ sigma 31 & \ sigma 32 & \ sigma 33- \ lambda \ end {bmatrix}

Las tensiones principales tienen la forma de tensiones normales, y el vector de tensión en el sistema de coordenadas se representa en la forma matricial de la siguiente manera:

\ sigma ij = \ begin {bmatrix} \ sigma 1 & 0 & 0 \\ 0 & \ sigma 2 & 0 \\ 0 & 0 & \ sigma 3 \ end {bmatrix}

I1, I2, I3 son las tensiones invariantes de las tensiones principales,
Los invariantes de tensión dependen de las tensiones principales y se calculan de la siguiente manera,

I1 = \ sigma 1+ \ sigma 2+ \ sigma 3

I2 = \ sigma 1 \ sigma 2+ \ sigma 2 \ sigma 3+ \ sigma 3 \ sigma 1

I3 = \ sigma 1. \ sigma 2. \ sigma 3

La ecuación de tensiones principal para invariantes de tensión:

\ sigma 1 = \ frac {\ sigma x + \ sigma y} {2} + \ sqrt {(\ frac {\ sigma x- \ sigma y} {2}) ^ {2} + \ tau xy ^ {2}}

\ sigma 1 = \ frac {\ sigma x + \ sigma y} {2} - \ sqrt {(\ frac {\ sigma x- \ sigma y} {2}) ^ {2} + \ tau xy ^ {2}}

Principales trayectorias de tensión | Direcciones principales del estrés

Las trayectorias de las tensiones muestran las direcciones principales de las tensiones y su magnitud variable de las tensiones principales.

Estrés de von mises vs estrés principal

Ecuación de tensión principal de von mises

Von Mises es la medida teórica del criterio de falla de deformación por tensión en materiales dúctiles.
El signo positivo o negativo depende de las tensiones principales.
Tensiones principales Condiciones de contorno:

\ sigma 12 = \ sigma 23 = \ sigma 31 = 0

Las teorías de falla dan las tensiones de fluencia de los componentes sometidos a cargas multiaxiales. Además, cuando se compara con el límite elástico de los componentes, muestra el margen de seguridad del componente.

La tensión principal máxima se considera para elementos frágiles como componentes de fundición (es decir, carcasa de embrague, caja de cambios, etc.)
La teoría de la tensión de Von-mises se basa en la teoría de la energía de deformación cortante que se sugiere para materiales dúctiles como aluminio, componentes de acero.

¿Por qué se recomienda la tensión de von mises para materiales dúctiles y la tensión principal para materiales quebradizos?


La falla de los materiales frágiles usados ​​para la prueba uniaxial es a lo largo de un plano vertical al eje de carga. Entonces, la falla se debe al estrés normal en general. De todas las teorías del fracaso, la teoría del estrés principal se basa en el estrés normal. Por lo tanto, para materiales frágiles, se recomienda la teoría de la tensión principal,

Los materiales dúctiles fallan a 45 grados inclinados en el plano de carga. Entonces, la falla se debe al esfuerzo cortante. De todas las teorías de la energía de deformación por corte o la teoría de von-mises y la teoría del esfuerzo cortante máximo se basa en el esfuerzo cortante. En comparación, von mises da mejores resultados. Por tanto, para materiales dúctiles, se recomienda la teoría de von mises.

Diferentes tipos de estrés.

Estrés principal absoluto | Estrés principal efectivo:

Las tensiones principales se basan en la tensión máxima y la tensión mínima. Por lo tanto, el rango de estrés se encuentra entre el esfuerzo máximo y mínimo (el rango de estrés es limitado y menor) y podría conducir a una mayor vida de fatiga. Por lo tanto, es importante averiguar el Estrés principal efectivo que da el valor máximo de los dos durante el período de tiempo dado.

¿Qué es la teoría del estrés normal máximo?

Esto establece que la falla frágil ocurre cuando la tensión principal máxima excede la compresión o la resistencia a la tracción del material. Suponga que en el diseño se considera un factor de seguridad n. Las condiciones seguras de diseño así lo requieren.

Ecuación de tensión principal máxima

- \ frac {Suc} {n} <{\ sigma 1, \ sigma 2, \ sigma 3} <\ frac {Sut} {n}

Donde σ1, σ2, σ3 son tres esfuerzos principales, máximo, mínimo e intermedio, en las tres direcciones, Sut y Suc son la resistencia máxima a la tracción y la resistencia máxima a la compresión, respectivamente.

Para evitar una falla frágil, las tensiones principales en cualquier punto de una estructura deben estar dentro de la envolvente cuadrada de la falla según la teoría de la tensión normal máxima.


Teoría de la tensión principal máxima |Definición de tensión principal máxima

considere el estado de tensión bidimensional y las tensiones principales correspondientes como σ1> σ2> σ3
Donde σ3 = 0, σ2 puede ser compresivo o de tracción dependiendo de las condiciones de carga donde σ2 puede ser menor o mayor que σ3.

De acuerdo con la teoría de la tensión principal máxima, la falla ocurrirá cuando
σ1 o σ2 = σy o σt
Las condiciones se representan gráficamente con coordenadas σ1, σ2. Si el estado de tensión con coordenadas (σ1, σ2) cae fuera de la región rectangular, se producirá una falla según la teoría de la tensión principal máxima.

El principal del círculo de Mohr destaca

Explique los círculos de Mohr para el estado tridimensional de tensión:

  • Considere un plano con un punto de referencia como P. Sigma se representa como tensión normal y tau por la tensión cortante en el mismo plano.
  • Tome otro plano con el punto de referencia Q que representa sigma y tau como esfuerzo normal y esfuerzo cortante, respectivamente. Diferentes planos pasan por el punto p, diferentes valores de esfuerzo principal y cortante.
  • Para cada plano n, se puede ubicar un punto Q con coordenadas como esfuerzo cortante y esfuerzo principal.
  • Determine los esfuerzos normal y cortante para el punto Q en todas las direcciones posibles de n.
  • Obtenga tres tensiones principales como tensión principal máxima, tensión principal mínima y tensión principal intermedia y represéntelas en orden ascendente de los valores de las tensiones.
  • Dibuje tres círculos con diámetros como la diferencia entre las tensiones principales.
círculo de moh: estrés principal
Crédito de la imagen:SanpazCírculo de Mohr, marcado como dominio público, más detalles sobre Wikimedia Commons
  • La región del área sombreada es la región del plano circular de Mohr.
  • Los círculos representan los círculos de Mohr.
  • (σ1-σ3) y la tensión normal asociada es (σ1 + σ3)
  • Hay tres tensiones normales, por lo que hay tres tensiones cortantes.
  • Los planos de corte principales son los planos donde actúan los esfuerzos cortantes y el esfuerzo normal principal actúa en un plano donde el esfuerzo cortante es '0' y el esfuerzo cortante actúa en un plano donde el esfuerzo principal normal es cero. El esfuerzo cortante principal actúa a 45 ° de los planos normales.


Los esfuerzos cortantes se denotan por \ tau 1, \ tau 2, \ tau 3
Y las tensiones principales se denotan por \ sigma 1, \ sigma 2, \ sigma 3

Tercer estrés principal

3rd El esfuerzo principal es relativo al esfuerzo de compresión máximo debido a las condiciones de carga.

Ejemplos de tensión principal 3D:

Para el caso tridimensional, los tres planos tienen esfuerzos cortantes cero, y estos planos son mutuamente perpendiculares, y los esfuerzos normales tienen valores de esfuerzo máximo y mínimo y estos son los esfuerzos normales que representan el esfuerzo máximo y mínimo principal.

Estas tensiones principales se denotan por:
σ1, σ2, σ3.
Ejemplo:
Tensión 3D en el buje: un eje de acero se encaja a la fuerza en el buje.
Estrés 3D en el componente de la máquina.

Estrés desviador principal:

Las tensiones desviadoras principales se obtienen restando la tensión media de cada tensión principal.

Estrés principal intermedio:

El Estrés principal, que no es ni máximo ni mínimo, se llama Estrés intermedio.

Ángulo de tensión principal | Orientación de la tensión principal: θP

La orientación del esfuerzo principal se calcula igualando el esfuerzo cortante a cero en la dirección xy en el plano principal girado en un ángulo theta. Resuelva θ para obtener θP, el ángulo de tensión principal.

Preguntas frecuentes importantes (FAQ):


¿Para qué material es aplicable la teoría de la tensión principal máxima?

Respuesta: Materiales frágiles.

¿Cuáles son las 3 tensiones principales? | ¿Qué es el estrés principal máximo y mínimo?

Estrés principal máximo | Esfuerzo principal principal: mayor tensión (σ1)
Estrés principal mínimo | Tensión principal menor: más compresiva (σ3)
Estrés principal intermedio (σ2)

Estrés principal vs estrés normal:

El estrés normal es la fuerza aplicada al cuerpo por unidad de área. La tensión principal es la tensión aplicada al cuerpo que tiene un esfuerzo cortante cero. La tensión principal tiene la forma de tensión normal que produce tensiones máximas y mínimas en el plano principal.

Tensión principal frente a tensión de flexión:

El estrés por flexión es el estrés que se produce en el cuerpo debido a la aplicación de una gran cantidad de carga que hace que el objeto se doble.

Estrés principal vs estrés axial:

El estrés axial y el estrés principal son las partes del estrés normal.

¿Cuál es el significado del estrés principal?

La tensión principal muestra la tensión normal máxima y mínima. La tensión normal máxima muestra la capacidad del componente para soportar la máxima cantidad de fuerza.

¿Cuáles son las tensiones principales en un eje con la torsión aplicada?

El esfuerzo cortante debido al par tiene una magnitud máxima en la fibra exterior. La tensión de flexión se debe a cargas horizontales (fuerzas de engranajes horizontales, fuerzas de la correa o de la cadena) que inducen tensiones de flexión que son máximas en las fibras exteriores.

¿Por qué el esfuerzo cortante es cero en el plano principal?

El esfuerzo normal es máximo o mínimo y el esfuerzo cortante es cero.

tan2 \ Theta _ {\ tau-max} = - (\ frac {\ sigma x- \ sigma y} {2 \ tau xy})

\ tau max = \ sqrt {(\ frac {\ sigma x- \ sigma y} {2}) ^ {2} + \ tau xy ^ {2}}

cuando el esfuerzo cortante = 0,

\ tau max = \ frac {\ begin {vmatrix} \ sigma x- \ sigma y \ end {vmatrix}} {2}

Principales problemas importantes de estrés:

1) Un vector de tensión rectangular que tiene un esfuerzo cortante en la dirección XY de 60Mpa y un esfuerzo de tracción normal de 40Mpa. ?

Solución:
Dado:\ sigma x = \ sigma y = 40Mpa, \ tau = 60Mpa
Las tensiones principales se calculan como,

\ sigma 1 = \ frac {\ sigma x + \ sigma y} {2} + \ sqrt {(\ frac {\ sigma x- \ sigma y} {2}) ^ {2} + \ tau xy ^ {2}}

σ1 = 100Mpa

\ sigma 1 = \ frac {\ sigma x + \ sigma y} {2} - \ sqrt {(\ frac {\ sigma x- \ sigma y} {2}) ^ {2} + \ tau xy ^ {2}}

σ2 = -20Mpa

2) ¿Cuáles son las coordenadas del centro del círculo de Mohr para un elemento sometido a dos esfuerzos mutuamente perpendiculares, uno de tensión de magnitud 80MPa y otro de compresión de magnitud 50MPa?

σx = 80 MPa,
σy = -50 MPa
Coordenadas del centro del círculo de Mohr = [½ (σx + σy), 0]
= [(30/2), 0]
= (15,0)

3) Un cuerpo se sometió a dos esfuerzos mutuamente perpendiculares de -4MPa y 20MPa, respectivamente. Calcule el esfuerzo cortante en el plano del cortante.

σx + σy / 2 = -4 + 20/2 = 8Mpa
Radio = σ1-σ2 / 2 = 20 - (- 4) / 2 = 12
donde σx, σy son tensiones principales
en esfuerzo cortante puro, σn = 0
esfuerzo cortante = raíz cuadrada12 ^ 2-8 ^ 2 = 8.94Mpa.

4) Aplicación de estrés principal | Encuentre las tensiones principales para los siguientes casos.

i) σx = 30 Mpa, σy = 0, \ tau = 15Mpa.

solución:

\ sigma 1 = \ frac {\ sigma x + \ sigma y} {2} + \ sqrt {(\ frac {\ sigma x- \ sigma y} {2}) ^ {2} + \ tau xy ^ {2}}

σ1 = 36.21Mpa

\ sigma 1 = \ frac {\ sigma x + \ sigma y} {2} - \ sqrt {(\ frac {\ sigma x- \ sigma y} {2}) ^ {2} + \ tau xy ^ {2}}

σ2 = -6.21Mpa
ii) σx = 0, σy = 80MMpa, \ tau = 60Mpa.

\ sigma 1 = \ frac {\ sigma x + \ sigma y} {2} + \ sqrt {(\ frac {\ sigma x- \ sigma y} {2}) ^ {2} + \ tau xy ^ {2}}

σ1 = 97Mpa

\ sigma 1 = \ frac {\ sigma x + \ sigma y} {2} - \ sqrt {(\ frac {\ sigma x- \ sigma y} {2}) ^ {2} + \ tau xy ^ {2}}

σ2 = 12.92Mpa


iii) \ tau = 10Mpa, σx = 50Mpa, σy = 50Mpa.

\ sigma 1 = \ frac {\ sigma x + \ sigma y} {2} + \ sqrt {(\ frac {\ sigma x- \ sigma y} {2}) ^ {2} + \ tau xy ^ {2}}

σ1 = 60Mpa

\ sigma 1 = \ frac {\ sigma x + \ sigma y} {2} - \ sqrt {(\ frac {\ sigma x- \ sigma y} {2}) ^ {2} + \ tau xy ^ {2}}

σ2 = 40Mpa

5) La tensión principal máxima se da 100 Mpa y la tensión principal mínima es 50 MPa. Calcule el esfuerzo cortante máximo y la orientación del plano principal utilizando el círculo de Mohr.

Dado:
Esfuerzo principal máximo = 100Mpa (compresivo)
Esfuerzo principal mínimo = 50 Mpa (compresivo)
Solución:
El esfuerzo cortante máximo es el radio del círculo de Mohr, entonces podemos escribir lo siguiente.

R=\ sqrt {(\ frac {\ sigma x- \ sigma y} {2}) ^ {2} + \ tau xy ^ {2}}

\ tau max = 25Mpa

2θ = 90, desde la dirección del esfuerzo principal máximo.
Entonces, la orientación en ese punto es θ = 45 desde la dirección del esfuerzo principal máximo.

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Sobre Sulochana Dorve

Yo soy Sulochana. Soy un ingeniero de diseño mecánico: M.tech en ingeniería de diseño, B.tech en ingeniería mecánica. He trabajado como pasante en Hindustan Aeronautics Limited en el diseño del departamento de armamento. Tengo experiencia trabajando en I + D y diseño. Soy experto en CAD / CAM / CAE: CATIA | CREO | ANSYS Apdl | Banco de trabajo ANSYS | HYPER MESH | Nastran Patran así como en lenguajes de programación Python, MATLAB y SQL.
Tengo experiencia en Análisis de Elementos Finitos, Diseño para Fabricación y Ensamblaje (DFMEA), Optimización, Vibraciones Avanzadas, Mecánica de Materiales Compuestos, Diseño Asistido por Computadora.
Soy un apasionado del trabajo y un gran aprendiz. Mi propósito en la vida es tener una vida con propósito y creo en el trabajo duro. Estoy aquí para sobresalir en el campo de la ingeniería trabajando en un entorno desafiante, agradable y profesionalmente brillante donde puedo utilizar completamente mis habilidades técnicas y lógicas, actualizarme constantemente y compararme con los mejores.
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