Asimetría con 2 medidas, distribución sesgada positivamente y sus importantes propiedades

Mi contenido

 Oblicuidad

    La curva que son las observaciones trazadas representa la asimetría si la forma de la curva no es simétrica, del conjunto dado. En otras palabras, la falta de simetría en el gráfico de la información dada representa la asimetría del conjunto dado. Dependiendo de la cola a la derecha oa la izquierda, la asimetría se conoce como sesgada positivamente o sesgada negativamente. La distribución que depende de este sesgo se conoce como distribución sesgada positivamente o distribución sesgada negativamente

curva positivamente sesgada
Curva sesgada negativamente

La media, la moda y la mediana muestran la naturaleza de la distribución, por lo que si la naturaleza o la forma de la curva es simétrica, estas medidas de tendencias centrales son iguales y para las distribuciones sesgadas, estas medidas de tendencias centrales varían como media> mediana> moda o media.

Varianza y asimetría

DiferenciaOblicuidad
La cantidad de variabilidad se puede obtener usando la varianzaLa dirección de la variabilidad se puede obtener mediante la asimetría
La aplicación de la medida de variación está en los negocios y la economía.La aplicación de la medida de la asimetría se encuentra en las ciencias médicas y de la vida.
varianza y asimetría

Medida de asimetría

Para encontrar el grado y la dirección de la distribución de frecuencia, ya sea positiva o negativa, la medida de asimetría es muy útil incluso con la ayuda del gráfico, sabemos la naturaleza positiva o negativa de la asimetría, pero la magnitud no será exacta en los gráficos, por lo tanto, estos Las medidas estadísticas dan la magnitud de la falta de simetría.

Para ser específico, la medida de asimetría debe tener

  1. Unidad libre para que las diferentes distribuciones puedan ser comparables si las unidades son iguales o diferentes.
  2. Valor de medida para distribución simétrica cero y positivo o negativo para distribuciones positivas o negativas en consecuencia.
  3. El valor de la medida debería variar si pasamos de un sesgo negativo a un sesgo positivo.

Hay dos tipos de medidas de asimetría

  1. Medida absoluta de asimetría
  2. Medida relativa de asimetría

absolutoLa medida de la asimetría

En la distribución simétrica, la media, la moda y la mediana son iguales, por lo que en la medida absoluta de asimetría, la diferencia de estas tendencias centrales da el grado de simetría en la distribución y la naturaleza como distribución sesgada positiva o negativa, pero la medida absoluta para diferentes unidades no es útil al comparar dos conjuntos de información.

La asimetría absoluta se puede obtener utilizando

  1. Asimetría (Sk) = Media-Mediana
  2. Asimetría (Sk) = Modo medio
  3. Asimetría (Sk) = (Q3-Q2) - (Q2-Q1)

Medida relativa de asimetría

La medida relativa de asimetría se utiliza para comparar la asimetría en dos o más distribuciones eliminando la influencia de la variación, la medida relativa de asimetría se conoce como coeficiente de asimetría, las siguientes son las medidas relativas importantes de asimetría.

  1. Coeficiente de asimetría de Karl Pearson

Este método se utiliza con mayor frecuencia para calcular la asimetría.

S_k = \ frac {Modo medio} {\ sigma}

este coeficiente de asimetría es positivo para la distribución positiva, negativo para la distribución negativa y cero para la distribución simétrica. Este coeficiente de Karl Pearson suele estar entre +1 y -1. Si Mode no está definido, para calcular el coeficiente de Karl Pearson usamos la fórmula como

S_k = \ frac {3 (modo medio)} {\ sigma}

Si usamos esta relación, el coeficiente de Karl Pearson se encuentra entre +3 y -3.

2. Coeficiente de asimetría de Bowleys | Medida cuartil de asimetría

En el coeficiente de asimetría de Bowleys, las desviaciones de cuartiles se utilizaron para encontrar la asimetría, por lo que también se conoce como medida de asimetría de cuartiles.

S_k=\frac{(Q_3-Q_2)-(Q_2-Q_1)}{(Q_3-Q_1)} \\=\frac{(Q_3-2Q_2+Q_1)}{(Q_3-Q_1)}

o podemos escribirlo como

S_k=\frac{(Q_3-M)-(M-Q_1)}{(Q_3-Q_1)} \\=\frac{(Q_3-2M+Q_1)}{(Q_3-Q_1)}

este valor de coeficiente es cero si la distribución es simétrica y el valor para la distribución positiva es positivo, para la distribución negativa es negativo. El valor de Sk se encuentra entre -1 y +1.

3. Coeficiente de asimetría de Kelly

En esta medida de asimetría, los percentiles y deciles se utilizan para calcular la asimetría, el coeficiente es

S_k=\frac{(P_{90}-P_{50})-(P_{50}-P_{10})}{(P_{90}-P_{10})} \\=\frac{(P_{90}-2P_{50}+P_{10})}{(P_{90}-P_{10})}

donde estos sesgos involucran los percentiles 90, 50 y 10 y usando deciles podemos escribirlo como

S_k=\frac{(D_9-D_5)-(D_5-D_1)}{(D_9-D_1)} \\=\frac{(D_9-2D_5+D_1)}{(D_9-D_1)}

en el que se utilizaron deciles 9,5 y 1.

4. Coeficiente de asimetría β y γ | Medida de asimetría basada en momentos.

Usando los momentos centrales, la medida de asimetría, el coeficiente β de asimetría se puede definir como

\beta_1=\frac{{\mu_3}^2}{{\mu_2}^3}

este coeficiente de asimetría da un valor cero para la distribución simétrica, pero este coeficiente no indica específicamente la dirección positiva o negativa, por lo que este inconveniente se puede eliminar tomando la raíz cuadrada de beta como

\gamma_1=\pm \sqrt{\beta_1}=\frac{\mu_3}{{\mu_2}^{3/2}}=\frac{\mu_3}{\sigma^3}

este valor da el valor positivo y negativo de las distribuciones positiva y negativa, respectivamente.

Ejemplos de asimetría

  1.  Con la siguiente información, encuentre el coeficiente de asimetría
Salario0-1010-2020-3030-4040-5050-6060-7070-80
No. de personas121835425045208

Solución: Para encontrar el coeficiente de asimetría usaremos el coeficiente de karl Pearson

frecuenciavalor medio (x)fxfx2
0-1012560300
10-2018152704050
20-30352587521875
30-404235147051450
40-5050452250101250
50-6045552475136125
60-702065130084500
70-8087560045000
2309300444550

el coeficiente de sesgo de karl pearson es

\ begin {array} {l} \ text {Coeficiente de sesgo de la persona de Karl} = J = \ frac {\ text {Media} - \ text {Modo}} {S. D.} \\ \ begin {array} {l} \ text {Mean,} \ quad \ bar {x} = \ frac {1} {N} \ sum_ {i} f_ {i} x_ {i}, \ quad \ text {Mode} = l + \ frac {c \ left (f_ {1} -f_ {0} \ right)} {\ left (f_ {1} -f_ {0} \ right) + \ left (f_ { 1} -f_ {2} \ right)} \\ \ text {Desviación estándar} = \ sqrt {\ frac {1} {N} \ sum_ {i} f_ {i} x_ {i} ^ {2} - \ barra {x} ^ {2}} \ end {matriz} \ end {matriz}

\ begin {array} {c} \ text {Mean} = \ frac {9300} {230} = 40.43 \\ \ text {SD} = \ sqrt {\ frac {1} {N} \ sum_ {i} f_ { i} x_ {i} ^ {2} - \ bar {x} ^ {2}} = \ sqrt {\ frac {1} {230} (444550) - \ left [\ frac {9300} {230} \ right ] ^ {2}} = 17.27. \ end {matriz}

la clase modal es la clase de frecuencia máxima 40-50 y las frecuencias respectivas son

f_{0}=42, f_{1}=50,f_{2}=45

así

\text { Hence, Mode }=40+\frac{10(50-42)}{(50-42)+(50-45)}=46.15

por lo que el coeficiente de asimetría será

= \ frac {40.43-46.15} {17.27} = - 0.3312

que muestra la asimetría negativa.

2. Encuentre el coeficiente de asimetría de las calificaciones distribuidas en frecuencia de 150 estudiantes en cierto examen

marcas0-1010-2020-3030-4040-5050-6060-7070-80
frecuencia104020010401614

Solución: Para calcular el coeficiente de asimetría, necesitamos la media, la moda, la mediana y la desviación estándar de la información dada, por lo que para calcularlos formamos la siguiente tabla

intervalo de clasesfvalor medio
x
cf.d '= (x-35) / 10f * d 'f * d '2
0-1010510-3hasta el 30 90
10-20401550-2hasta el 80 160
20-30202570-1hasta el 20 20
30-4003570000
40-5010458011010
50-604055120280160
60-701665136348144
70-801475150456244
total = 64total = 828

ahora las medidas serán

\ begin {array} {l} Mediana = \ mathrm {L} + \ frac {\ left (\ frac {\ mathrm {N}} {2} - \ mathrm {C} \ right)} {\ mathrm {f} } \ times \ mathrm {h} = 40 + \ frac {75-70} {10} \ times 10 = 45 \\ Media (\ overline {\ mathrm {x}}) = \ mathrm {A} + \ frac { \ sum _ {\ mathrm {i} = 1} ^ {\ mathrm {k}} \ mathrm {fd} ^ {\ prime}} {\ mathrm {N}} \ times \ mathrm {h} = 35 + \ frac { 64} {150} \ times 10 = 39.27 \ end {matriz}

y

\ begin {align} Desviación estándar} (\ sigma) & = \ mathrm {h} \ times \ sqrt {\ frac {\ sum \ mathrm {fd} ^ {\ prime 2}} {\ mathrm {~ N}} - \ left (\ frac {\ sum \ mathrm {fd}} {\ mathrm {N}} \ right) ^ {2}} \\ & = 10 \ times \ sqrt {\ frac {828} {150} - \ left (\ frac {64} {150} \ right) ^ {2}} \\ & = 10 \ times \ sqrt {5.33} = 23.1 \ end {alineado}

por lo tanto, el coeficiente de asimetría de la distribución es

S_k=\frac{3(Mean-Median)}{\sigma} \\=\frac{3(39.27-45}{23.1}=-0.744

3. Encuentre la media, la varianza y el coeficiente de asimetría de la distribución cuyos primeros cuatro momentos alrededor de 5 son 2,20,40 y 50.

Solución: ya que los primeros cuatro momentos se dan así

\ begin {array} {c} \ mu_ {1} ^ {\ prime} (5) = \ frac {1} {N} \ sum_ {i = 1} ^ {k} f_ {i} \ left (x_ { i} -5 \ derecha) = 2; \ mu_ {2} ^ {\ prime} (5) = \ frac {1} {N} \ sum_ {i = 1} ^ {k} f_ {i} \ left (x_ {i} -5 \ right) ^ {2} = 20; \\ \ mu_ {3} ^ {\ prime} (5) = \ frac {1} {N} \ sum_ {i = 1} ^ {k} f_ {i} \ left (x_ {i} -5 \ right ) ^ {3} = 40 \ quad \ text {y} \ quad \ mu_ {4} ^ {\ prime} (5) = \ frac {1} {N} \ sum_ {i = 1} ^ {k} f_ {i} \ left (x_ {i} -5 \ right) ^ {4} = 50. \\ \ mu_ {1} ^ {\ prime} (5) = \ frac {1} {N} \ sum_ {i = 1} ^ {k} f_ {i} x_ {i} -5 = 2 \\ \ Flecha derecha \ bar {x} = 2 + 5 = 7 \ end {matriz}

para que podamos escribirlo

\ begin {matriz} {l} \ mu_ {r} = \ mu_ {r} ^ {\ prime} (A) - {} ^ {r} C_ {1} \ mu_ {r-1} ^ {\ prime} (A) \ mu_ {1} ^ {\ prime} (A) + {} ^ {r} C_ {2} \ mu_ {r-2} ^ {\ prime} (A) \ left [\ dot {\ mu } _ {1} ^ {\ prime} (A) \ right] ^ {2} - \ ldots. + (- 1) ^ {r} \ left [\ mu_ {1} ^ {\ prime} (A) \ right] ^ {r} \\ \ text {Por lo tanto} \ mu_ {2} = \ mu_ {2} ^ {\ prime} (5) - \ left [\ mu_ {1} ^ {\ prime} (5) \ derecha] ^ {2} = 20-4 = 16 \\ \ mu_ {3} = \ mu_ {3} ^ {\ prime} (5) -3 \ mu_ {2} ^ {\ prime} (5) \ mu_ {1} ^ {\ prime} (5) +2 \ left [\ mu_ {1} ^ {\ prime} (5) \ right] ^ {3} \\ 40-3 \ times 20 \ times 2 + 2 \ veces 2 ^ {3} = - 64 \ end {matriz}

entonces el coeficiente de asimetría es

\beta_{1}=\frac{\mu_{3}^{2}}{\mu_{2}^{3}}=\frac{(-64)^{2}}{(16)^{3}}=-1

POsitively skewed definición | right skewed significado

Cualquier distribución en la que la medida de las tendencias centrales, es decir, la media, la moda y la mediana tengan valores positivos y la información en la distribución carece de simetría.

En otras palabras, la distribución positivamente sesgada es la distribución en la que la medida de las tendencias centrales sigue como media> mediana> moda en el lado derecho de la curva de distribución.

Si trazamos la información de la distribución, la curva será de cola derecha por lo que la distribución con sesgo positivo también se conoce como distribución sesgada a la derecha.

distribución sesgada positivamente o distribución sesgada a la derecha
distribución sesgada positiva / derecha

a partir de la curva anterior, está claro que la moda es la medida más pequeña en la distribución sesgada positiva o hacia la derecha y la media es la medida más grande de las tendencias centrales.

ejemplo de distribución sesgada positivamente | ejemplo de distribución sesgada a la derecha

  1. Para una distribución sesgada positivamente o sesgada a la derecha si el coeficiente de asimetría es 0.64, encuentre la moda y la mediana de la distribución si la media y las desviaciones estándar son 59.2 y 13 respectivamente.

Solución: Los valores dados son media = 59.2, sk= 0.64 y  σ= 13 entonces usando la relación

S_k = \ frac {modo medio} {\ sigma} \\ 0.64 = \ frac {59.2- \ text {modo}} {13} \\ Modo = 59.20-8.32 = 50.88 \\ Modo = 3 Mediana -2 Media \ \ 50.88 = 3 Mediana -2 (59.2) \\ Mediana = \ frac {50.88 + 118.4} {3} = \ frac {169.28} {3} = 56.42

2. Encuentre la desviación estándar de la distribución sesgada positivamente cuyo coeficiente de asimetría es 1.28 con media 164 y moda 100.

Solución: De la misma manera, utilizando la información proporcionada y la fórmula para el coeficiente de distribución sesgada positivamente

S_k=\frac{mean-mode}{\sigma} \\1.28=\frac{164-100}{\sigma} \\\sigma=\frac{64}{1.28}=50

por lo que la desviación estándar será 50.

3. En las desviaciones trimestrales, si la suma del primer y tercer trimestre es 200 con una mediana de 76, encuentre el valor del tercer cuartil de la distribución de frecuencias que está sesgado positivamente con un coeficiente de asimetría de 1.2.

Ssolución: Para encontrar el tercer cuartil tenemos que usar la relación del coeficiente de asimetría y los trimestres, ya que la información dada es

S_k=1.2 \\Q_1+Q_3=200 \\Q_2=76[ \\S_{k}=\frac{\left(Q_{3}+Q_{1}-2 Q_{2}\right)}{\left(Q_{3}-Q_{1}\right)} \\1.2=\frac{(200-2 \times 76)}{\left(Q_{3}-Q_{1}\right)} \\Q_{3}-Q_{1}=\frac{48}{1.2}=40 \\Q_{3}-Q_{1}=40

de la relación dada tenemos

Q_1+Q_3=200 \\Q_1=200-Q_3

a partir de estas dos ecuaciones podemos escribir

Q_{3}-Q_{1}=40 \\ Q_{3}-(200-Q_3)=40 \\2Q_3=240 \\Q_3=120

por lo que el valor del tercer cuartil es 120.

4. Encuentre el coeficiente de asimetría para la siguiente información

x93-9798-102103-107108-112113-117118-122123-127128-132
f25121714631

Solución: aquí usaremos la medida de asimetría de Bowley usando cuartiles

clasefrecuenciafrecuencia acumulada
92.5-97.522
97.5-102.557
102.5-107.51219
107.5-112.51736
112.5-117.51450
117.5-122.5656
122.5-127.5359
127.5-132.5160
N = 60

Como Nth/ 4 = 15th la observación de la clase es 102.5-107.5 , Nth/ 2 = 30th la observación de la clase es 107.5-112.5 y 3Nth/ 4 = 45th la observación de la clase es 112.5-117.5 so

Q_{1}=l_{1}+\frac{\left(\frac{N}{4}-m_{1}\right) c_{1}}{f_{1}}=102.5+\frac{\left(\frac{60}{4}-7\right) 5}{12}=105.83

y

Q_{3}=l_{3}+\frac{\left(\frac{3 N}{4}-m_{3}\right) c_{3}}{f_{3}}=112.5+\frac{\left(\frac{3 \times 60}{4}-36\right) 5}{14}=115.714

y la mediana es

Q_{2}=l_{2}+\frac{\left(\frac{N}{2}-m_{2}\right) c_{2}}{f_{2}}=107.5+\frac{\left(\frac{60}{2}-19\right) 5}{17}=110.735

así

Q=\frac{Q_{3}+Q_{1}-2 M}{Q_{3}-Q_{1}}=\frac{115.714+105.83-2 \times 110.735}{115.714-105.83}=0.0075

que es una distribución sesgada positivamente.

¿Dónde está la media en una distribución sesgada positivamente?

Sabemos que la distribución sesgada positivamente es una distribución sesgada a la derecha, por lo que la curva tiene una cola a la derecha; el significado de esto, la mayor parte de la información estará más cerca de la cola, por lo que la media en una distribución con sesgo positivo está más cerca de la cola y, dado que es positiva o derecha media de distribución sesgada> mediana> moda, por lo que la media estará después de la mediana.

Distribución asimétrica a la derecha media mediana moda | relación entre media mediana y moda en distribución asimétrica positiva

En la distribución sesgada positivamente o sesgada a la derecha, la medida de las tendencias centrales media, mediana y moda están en el orden media> mediana> moda, como la moda es la más pequeña, entonces la mediana y la tendencia central más grande es la media que para la curva de cola derecha está más cerca de la cola de la curva para la información.

por lo que la relación entre la mediana media y la moda en la distribución sesgada positivamente está en orden creciente y con la ayuda de la diferencia de estas dos tendencias centrales se puede calcular el coeficiente de asimetría, por lo que la media, la mediana y la moda también dan la naturaleza de la asimetría.

gráfico de distribución con sesgo positivo | curva de distribución con sesgo positivo

El gráfico, ya sea en forma de curva suave o en forma de histograma para la información discreta, la naturaleza tiene una cola derecha como la media de la información recopilada alrededor de la cola de la curva, ya que la asimetría de la distribución discute la forma de la distribución. Dado que la gran cantidad de datos está a la izquierda de la curva y la cola de la curva a la derecha es más larga.

algunos de los gráficos de información distribuida positivamente son los siguientes

A partir de los gráficos anteriores, queda claro que la curva carece de simetría en cualquier aspecto.

distribución de puntuación positivamente sesgada

En cualquier distribución, si las puntuaciones están sesgadas positivamente, es la puntuación que sigue la distribución sesgada positivamente como media> mediana> moda y la curva de la puntuación de distribución tiene una curva de cola derecha en la que la puntuación se ve afectada por el valor grande.

Este tipo de distribución se conoce como distribución de puntuación con sesgo positivo. Todas las propiedades y reglas para esta distribución son las mismas de una distribución sesgada positivamente o sesgada a la derecha.

distribución de frecuencia de sesgo positivo

En la distribución de frecuencia sesgada positivamente, en promedio, la frecuencia de la información es menor en comparación con la distribución, por lo que la distribución de frecuencia sesgada positiva no es más que la distribución sesgada positivamente o sesgada a la derecha donde la curva es una curva de cola derecha.

distribución sesgada positiva vs negativa | distribución sesgada positivamente vs sesgada negativamente

distribución sesgada positivadistribución sesgada negativa
En la distribución con sesgo positivo, la información se distribuye como la media es la más grande y la moda es la más pequeña. En la distribución sesgada negativamente, la información se distribuye como la media es la más pequeña y la moda es la más grande.
la curva tiene cola a la derecha la curva tiene cola a la izquierda
media> mediana> modasignificar

Preguntas Frecuentes

¿Cómo saber si una distribución está sesgada positiva o negativamente?

La asimetría es positiva si media> mediana> moda y negativa si media

De la curva de distribución también podemos juzgar si la curva tiene cola derecha es positiva y si la curva tiene cola izquierda es negativa

¿Cómo se determina la asimetría positiva?

Calculando la medida del coeficiente de asimetría si es positiva, la asimetría es positiva o trazando la curva de distribución si es de cola derecha, entonces positiva o marcando media> mediana> modo

¿Qué representa un sesgo positivo?

La asimetría positiva representa que la puntuación de la distribución se encuentra más cerca de valores grandes y la curva es de cola derecha y la media es la medida más grande.

¿Cómo se interpreta un histograma sesgado a la derecha?

si el histograma está sesgado a la derecha, entonces la distribución es una distribución sesgada positivamente donde media> mediana> modo

En distribuciones que están sesgadas a la derecha, ¿cuál es la relación de la mediana media y la moda?

La relación es media> mediana> moda

Conclusión:

La asimetría es un concepto importante de la estadística que da la asimetría o falta de simetría presente en la distribución de probabilidad dependiendo del valor positivo o negativo se clasifica como distribución sesgada positivamente o distribución sesgada negativamente, en el artículo anterior el concepto breve con ejemplos discutidos , si necesita más lectura, consulte

https://en.wikipedia.org/wiki/skewness

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Acerca de DR. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Yo soy DR. Mohammed Mazhar Ul Haque, profesor asistente de Matemáticas. Tener 12 años de experiencia en la docencia. Tener un vasto conocimiento en Matemática Pura, precisamente en Álgebra. Tener la inmensa capacidad de diseñar y resolver problemas. Capaz de motivar a los candidatos para mejorar su desempeño.
Me encanta contribuir a Lambdageeks para hacer que las matemáticas sean simples, interesantes y autoexplicativas tanto para principiantes como para expertos.
Conectémonos a través de LinkedIn: https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

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