Guía completa de puntos en geometría de coordenadas en 2D | Su fórmula importante con más de 10 ejemplos

Esta es una publicación secuencial relacionada con Geometría coordinada, especialmente en Puntos. Ya discutimos algunos temas anteriormente en la publicación. "Una guía completa para coordinar la geometría". En esta publicación discutiremos los temas restantes.

Fórmulas básicas sobre puntos en geometría coordinada en 2D:

Todas las fórmulas básicas sobre puntos en Geometría analítica se describen aquí y para un aprendizaje fácil y rápido de un vistazo sobre las fórmulas a 'Tabla de fórmulas sobre puntos' con explicación gráfica se presenta a continuación.

Fórmulas de distancia de dos puntos | Geometría analítica:

La distancia es una medida para encontrar qué tan lejos están los objetos, lugares, etc. entre sí. Tiene un valor numérico con unidades. En Geometría de coordenadas o geometría analítica en 2D, existe una fórmula que se deriva del teorema de Pitágoras, para calcular la distancia entre dos puntos. podemos escribirlo como 'Distancia' d = √ [(x2-x1)2+ (y2-y1)2 ] , Donde  (x1,y1) y (x2,y2) son dos puntos en el plano xy. Una breve explicación gráfica va seguida de 'Tabla de fórmulas sobre puntos tema no 1' a continuación.

Distancia de un punto al origen | Geometría coordinada:

Si comenzamos nuestro viaje con Origen en el plano xy y terminamos con cualquier punto de ese plano, la distancia entre el origen y el punto también se puede encontrar mediante una fórmula, 'Distancia' OP = √ (x2 + y2), que también es una forma reducida de "Fórmula de distancia de dos puntos" con un punto en (0,0). Una breve explicación gráfica va seguida de 'Tabla de fórmulas sobre puntos tema no 2' a continuación.

Fórmulas de la sección de puntos | Geometría de coordenadas:

Si un punto divide un segmento de línea que une dos puntos dados con alguna razón, podemos usar fórmulas de sección para encontrar las coordenadas de ese punto, mientras que la razón por la que se divide el segmento de línea se da y viceversa. Existe la posibilidad de que el segmento de línea se pueda dividir interna o externamente por el punto. Cuando el punto se encuentra en el segmento de línea entre los dos puntos dados, se utilizan fórmulas de sección interna, es decir

\ textbf {} \ textbf {x} \ textbf {=} \ frac {\ textbf {m} \ textbf {x} _ {2} \ textbf {+} \ textbf {n} \ textbf {x} _ {1} } {\ textbf {m} \ textbf {+} \ textbf {n}}

y

\ textbf {} \ textbf {y} \ textbf {=} \ frac {\ textbf {m} \ textbf {y} _ {2} \ textbf {+} \ textbf {n} \ textbf {y} _ {1} } {\ textbf {m} \ textbf {+} \ textbf {n}}

Y cuando el punto se encuentra en la parte externa del segmento de línea que une los dos puntos dados, se utilizan fórmulas de sección externa, es decir

\ textbf {} \ textbf {y} \ textbf {=} \ frac {\ textbf {m} \ textbf {y} _ {2} \ textbf {-} \ textbf {n} \ textbf {y} _ {1} } {\ textbf {m} \ textbf {-} \ textbf {n}}

Donde (x, y) se supone que son las coordenadas requeridas del punto. Estas son fórmulas muy necesarias para encontrar el centroide, los incentros, el circuncentro de un triángulo, así como el centro de masa de los sistemas, los puntos de equilibrio, etc. en física. Debe ver la vista corta de diferentes tipos de fórmulas de sección con gráficos que se muestran a continuación en el 'Tabla de fórmulas sobre puntos, tema n. ° 3; caso-I y caso-II '.

Fórmula de punto medio | geometría coordinada:

Es una fórmula sencilla derivada de las fórmulas de la sección de puntos internos descritas anteriormente. Si bien necesitamos encontrar el punto medio de un segmento de línea, es decir, la coordenada del punto que es equidistante de los dos puntos dados en el segmento de línea, es decir, la relación se forma 1: 1, entonces se requiere esta fórmula. La fórmula tiene la forma de

Si un punto divide un segmento de línea que une dos puntos dados con alguna razón, podemos usar fórmulas de sección para encontrar las coordenadas de ese punto, mientras que la razón por la que se divide el segmento de línea se da y viceversa. Existe la posibilidad de que el segmento de línea se pueda dividir interna o externamente por el punto. Cuando el punto se encuentra en el segmento de línea entre los dos puntos dados, se utilizan fórmulas de sección interna, es decir

\ textbf {} \ textbf {x} \ textbf {=} \ frac {\ textbf {m} \ textbf {x} _ {2} \ textbf {+} \ textbf {n} \ textbf {x} _ {1} } {\ textbf {m} \ textbf {+} \ textbf {n}}

y

\ textbf {} \ textbf {y} \ textbf {=} \ frac {\ textbf {m} \ textbf {y} _ {2} \ textbf {+} \ textbf {n} \ textbf {y} _ {1} } {\ textbf {m} \ textbf {+} \ textbf {n}}

Y cuando el punto se encuentra en la parte externa del segmento de línea que une los dos puntos dados, se utilizan fórmulas de sección externa, es decir

\ textbf {} \ textbf {x} \ textbf {=} \ frac {\ textbf {m} \ textbf {x} _ {2} \ textbf {-} \ textbf {n} \ textbf {x} _ {1} } {\ textbf {m} \ textbf {-} \ textbf {n}}

        y

\ textbf {} \ textbf {y} \ textbf {=} \ frac {\ textbf {m} \ textbf {y} _ {2} \ textbf {-} \ textbf {n} \ textbf {y} _ {1} } {\ textbf {m} \ textbf {-} \ textbf {n}}

Donde (x, y) se supone que son las coordenadas requeridas del punto. Estas son fórmulas muy necesarias para encontrar el centroide, los incentros, el circuncentro de un triángulo, así como el centro de masa de los sistemas, los puntos de equilibrio, etc. en física. Debe ver la vista corta de diferentes tipos de fórmulas de sección con gráficos que se muestran a continuación en el 'Tabla de fórmulas sobre puntos, tema n. ° 3; caso-I y caso-II '.

Fórmula de punto medio | geometría coordinada:

Es una fórmula sencilla derivada de las fórmulas de la sección de puntos internos descritas anteriormente. Si bien necesitamos encontrar el punto medio de un segmento de línea, es decir, la coordenada del punto que es equidistante de los dos puntos dados en el segmento de línea, es decir, la relación se forma 1: 1, entonces se requiere esta fórmula. La fórmula tiene la forma de

x = \ frac {x_ {1} + x_ {2}} {2}

y

x = \ frac {y_ {1} + y_ {2}} {2}

Ir a través de "Tabla de fórmulas sobre puntos, tema n. ° 3, caso-III" a continuación para obtener una idea gráfica sobre esto.

Área de un triángulo en geometría de coordenadas:

Un triángulo tiene tres lados y tres vértices en el plano o en un campo bidimensional. El área del triángulo es el espacio interno rodeado por estos tres lados. La fórmula básica del cálculo del área de un triángulo es (2/1 X Base X Altura). En Geometría Analítica, si se dan las coordenadas de los tres vértices, el área del triángulo se puede calcular fácilmente mediante la fórmula, Área del triángulo   = | ½ [x1 (y2,  y3 ) + x2 (y3,  y2) + x3 (y2-y  1)] | , en realidad, esto se puede derivar de la fórmula básica del área de un triángulo usando la fórmula de distancia de dos puntos en geometría de coordenadas. Ambos casos se describen gráficamente en el 'Tabla de fórmulas sobre el tema 4 de puntos' a continuación.

Colinealidad de puntos (tres puntos) | Geometría de coordenadas:

Colineal significa 'estar en la misma línea'. En geometría, si tres puntos se encuentran en una sola línea en el plano, nunca pueden formar un triángulo con un área diferente a cero, es decir, si la fórmula del área del triángulo se sustituye por las coordenadas de los tres puntos colineales, el resultado del área de el triángulo imaginario formado por esos puntos terminará solo con cero. Entonces la fórmula se vuelve como ½ [x1 (y2,  y3 ) + x2 (y3,  y2) + x3 (y2-y  1)] = 0 Para obtener una idea más clara con representación gráfica, consulte la "Tabla de fórmulas sobre puntos, tema no 5" a continuación.

Centroide de un triángulo | Fórmula:

Las tres medianas * de un triángulo siempre se cruzan en un punto, ubicado en el interior del triángulo y divide la mediana en la razón 2: 1 desde cualquier vértice hasta el punto medio del lado opuesto. Este punto se llama centroide del triángulo. La fórmula para encontrar las coordenadas del centroide es

x = \ frac {x_ {1} + x_ {2} + x_ {3}} {3}

y

x = \ frac {y_ {1} + y_ {2} + y_ {3}} {3}

En los "Tabla de fórmulas sobre puntos, tema no 6" a continuación, el tema anterior se describe gráficamente para una mejor comprensión y una vista rápida.

Incentro de un triángulo | Fórmula:

Es el centro del círculo más grande del triángulo que encaja dentro del triángulo. También es el punto de intersección de las tres bisectrices de los ángulos interiores del triángulo. La fórmula que se usa para encontrar el incentro de un triángulo es     

x = \ frac {ax_ {1} + bx_ {2} + cx_ {3}} {a + b + c}

y

x = \ frac {ay_ {1} + by_ {2} + cy_ {3}} {a + b + c}

En los "Tabla de fórmulas sobre puntos, tema no 6" a continuación, el tema anterior se describe gráficamente para una mejor comprensión y una vista rápida.

Para una explicación gráfica fácil, la siguiente "Tabla de fórmulas sobre puntos, tema no 7" es necesario para ver.

Fórmula de cambio de origen | Geometría coordinada:

Ya lo hemos aprendido en el post anterior. "Una guía completa para coordinar la geometría" que el origen se encuentra en el punto (0,0) que es el punto de intersección de los ejes en el plano. podemos mover el origen en todos los cuadrantes del plano con respecto al origen, lo que dará un nuevo conjunto de ejes a través de él.

Para un punto en el plano anterior, sus coordenadas cambiarán junto con el nuevo origen y ejes y eso se puede calcular mediante la fórmula, nuevas coordenadas de un punto. P (x1,y1) son x1 = x- a; y1 = y-  b donde las coordenadas del nuevo origen son (a, b). Para tener una comprensión clara de este tema, es preferible ver la representación gráfica a continuación en el "Tabla de fórmulas sobre puntos, tema no 8" .

Formulae table on Points in Coordinate Geometry in 2D:

puntos

﹡ Circuncentro de un triángulo:

Es el punto de intersección de tres bisectrices perpendiculares del lado de un triángulo. También es el centro de la circunferencia de un triángulo que solo toca los vértices del triángulo.

﹡ Medianas:

La mediana es el segmento de línea que une el vértice del triángulo con el punto medio o el punto, que divide el lado opuesto del vértice. Cada triángulo tiene tres medianas que siempre se cruzan entre sí en el centroide del mismo triángulo.                                                         

Problemas resueltos en puntos en geometría de coordenadas en 2D.

Para aprender mejor acerca de los puntos en 2D, aquí se resuelve un ejemplo básico paso a paso y para practicar por su cuenta hay más problemas con respuestas en cada fórmula. Debe haber problemas desafiantes con solución en los próximos artículos justo después de tener una idea básica y clara sobre el tema de los puntos en geometría de coordenadas 2D.

Ejemplos básicos de las fórmulas "La distancia entre dos puntos"

Problemas 1:  Calcula la distancia entre los dos puntos dados (1,2) y (6, -3).

Solución: Ya sabemos, la fórmula de la distancia entre dos puntos  (x1,y1) y (x2,y2)  is d = √ [(x2-x1)2+ (y2-y1)2 ]… (1)                                                                                                                    

(Vea la tabla de fórmulas arriba)   Aquí, podemos asumir que (x1,y1) ≌ (1,2) y (x2,y2) ≌ (6, -3) es decir, x1= 1, y1= 2 y x2= 6, y2 = -3, Si ponemos todos estos valores en la ecuación (1), obtenemos la distancia requerida.

Por tanto, la distancia entre los dos puntos (1,2) y (6, -3) es

= √ [(6-1)2+ (- 3-2)2 ] unidades

= √ [(5)2+ (- 5)2 ] unidades

= √ [25 + 25 ] unidades

= √ [50 ] unidades

= √ [2 × 52 ] unidades

= 5√2 unidades (Resp.)

Nota: La distancia siempre va seguida de algunas unidades.

A continuación se proporcionan más problemas resueltos (Básico) para practicar más utilizando el procedimiento descrito anteriormente. problema 1:-

Problema 2: Encuentre la distancia entre los dos puntos (2,8) y (5,10).               

Resp. √unidades 13

Problema 3: Encuentre la distancia entre los dos puntos (-3, -7) y (1, -10).           

Ans. unidades 5

Problema 4: Encuentre la distancia entre los dos puntos (2,0) y (-3,4).               

 Resp. √unidades 41

Problema 5: Encuentre la distancia entre los dos puntos (2, -4) y (0,0).                

Ans. 2unidades 5

Problema 6: Encuentre la distancia entre los dos puntos (10,100) y (-10,100,). 

                                                                                                                               Ans. unidades 20

Problema 7: Encuentre la distancia entre los dos puntos (√5,1) y (2√5,1).          

Resp. √5 unidades

Problema 8: Encuentre la distancia entre los dos puntos (2√7,2) y (3√7, -1).       

Resp. 4 unidades

Problema 9: Encuentre la distancia entre los dos puntos (2 + √10, 0) y (2-√10, 0).   

                                                                                                                              Resp. 2√10 unidades

Problema 10: Encuentre la distancia entre los dos puntos (2 + 3i, 0) y (2-3i, 10). {i = √-1}

                                                                                                                                 Ans. unidades 8

Problema 11: Encuentre la distancia entre los dos puntos (2 + i, -5) y (2-i, -7). {i = √-1}

                                                                                                                                  Resp. 0 unidades

Problema 12: Encuentre la distancia entre los dos puntos (7 + 4i, 2i) y (7-4i, 2i). {i = √-1}

                                                                                                                                   Resp. 8i unidades

Problema 13: Encuentre la distancia entre los dos puntos (√3 + i, 3) y (2√3 + i, 5). {i = √-1}  

                                                                                                                                Resp. √7 unidades

Problema 14: Encuentre la distancia entre los dos puntos (5 + √2, 3 + i) y (2 + √2, 7 + 2i). {i = √-1} 

                                                                                                                           Resp. 2√ (6 + 2i) unidades 

Ejemplos básicos de las fórmulas "La distancia de un punto al origen"

Problemas 15: Encuentre la distancia de un punto (3,4) desde el origen.

Solución:                                                                                                

 Tenemos la fórmula de la distancia de un punto al origen,  OP = √ (x2 + y2) (Vea la tabla de fórmulas arriba) Entonces aquí podemos asumir (x, y) ≌ (3,4) es decir, x = 3 y y = 4                                                                                            

Por lo tanto, poniendo estos valores de xey en la ecuación anterior, obtenemos la distancia requerida 

=(32 + 42) unidades

= √ (9 + 16) unidades

= √ (25) unidades

= 5 unidades

Nota: La distancia siempre va seguida de algunas unidades.

Nota: La distancia de un punto desde el origen es en realidad la distancia entre el punto y el punto de origen, es decir (0,0)

A continuación, se ofrecen más problemas resueltos para practicar más utilizando el procedimiento descrito anteriormente.

Problema 15:-

Problema 16: Encuentre la distancia de un punto (1,8) desde el origen.                              

Resp. √unidades 65

Problema 17: Encuentre la distancia de un punto (0,7) desde el origen.                              

Resp. 7 unidades

Problema 18: Encuentre la distancia de un punto (-3, -4) desde el origen.                            

Resp. 5 unidades

Problema 19: Encuentre la distancia de un punto (10,0) desde el origen.                             

Resp. 10 unidades

Problema 20: Encuentre la distancia de un punto (0,0) desde el origen.                               

Resp. 0 unidades

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Ejemplos básicos sobre otras fórmulas de puntos descrito anteriormente y algunas preguntas desafiantes sobre este tema en geometría de coordenadas, son seguidos por las siguientes publicaciones.

Sobre NASRINA PARVIN

Soy Nasrina Parvin, con 10 años de experiencia trabajando en el Ministerio de tecnología de la información y las comunicaciones de la India. Me gradué en Matemáticas. En mi tiempo libre me encanta enseñar, resolver problemas de matemáticas. Desde mi infancia las matemáticas son la única asignatura que más me fascina.

Frikis Lambda