Una guía completa de permutaciones y combinaciones

Permutaciones y combinaciones

 Permutaciones y combinaciones, este artículo discutirá el concepto de determinar, además del cálculo directo, el número de posibles resultados de un evento en particular o el número de elementos de conjunto, permutaciones y combinaciones que son el método principal de cálculo en el análisis combinatorio.

Errores comunes al aprender permutaciones y combinaciones

Siempre hay confusión entre el estudiante entre permutaciones y combinaciones porque ambas están relacionadas con el número de arreglos de diferentes objetos y el número de posibles resultados de un evento particular o el número de formas de obtener un elemento de un conjunto. El tema de la permutación y combinación con ejemplos y la diferencia entre ellos con justificación se discutirá aquí.

Una técnica simple y práctica para recordar la diferencia entre las permutaciones y combinaciones es: una permutación está relacionada con el orden significa que la posición es importante en la permutación mientras que la combinación no está relacionada con el orden significa que la posición no es importante en combinación.

Antes de la discusión de permutaciones y combinaciones, necesitamos algunos requisitos previos, que se utilizan con frecuencia.

 Que es factorial

          Factorial es el producto de los números enteros positivos de 1 an (contando 1 y n) denotados por n! y leer como n factorial se describe a continuación

n!=1.2.3.4……(n-2).(n-1).n=n.(n-1).(n-2)…..3.2.1

^ {n} P_ {r} = n. (n-1). (n-2) ... (n-r + 1) = \ frac {n!} {(nr)!}

¡Cuidado 0! = 1 

0! = 1

1! = 1

n! = n (nl)!

por ejemplo, \ \ 3! = 3.2.1 = 6

4! = 4.3.2.1 = 24

5! = 5.4! = 5.24 = 120

Métodos de conteo (principio de multiplicación y suma)

      Principio de suma: Si no pueden ocurrir dos eventos al mismo tiempo, entonces uno de los eventos puede ocurrir en

n1 + n2 + n3 + ・ ・ ・ .ways

      Principio de multiplicación: Considerando que si los eventos ocurrieron uno tras otro, entonces todos los eventos pueden ocurrir en el orden indicado en:

n_ {1} .n_ {2} .n_ {3} …… formas

Ejemplo: Si un instituto organiza 7 cursos de arte diferentes,  3 cursos técnicos diferentes, y 4 recorridos físicos diferentes.

Si un estudiante desea inscribirse en uno de cada tipo de curso, el número de formas sería

m = 7.3.4 = 84

Si un estudiante quiere inscribirse solo en uno de los cursos, entonces el número de formas sería

n = 7 + 3 + 4 = 14

¿Qué es la permutación?

Los diferentes posicionamientos de los objetos se denominan Permutaciones, donde importa el orden del arreglo. Cualquier posicionamiento de un conjunto de n diferentes objetos en un orden dado se llama un permutación del objeto

        Considere un ejemplo del conjunto de letras {P, Q, R, S}, luego

  Algunas de las permutaciones de los cuatro alfabetos tomados 4 de un vistazo son QSRP, SRQP y PRSQ

Cualquier ordenamiento de cualquier r <= n de estos objetos particulares en un orden específico se llama "r-permutación"O"una permutación de la noobjetos tomados r a la vez.

Básicamente nos gusta ese número de tales permutaciones sin establecerlas.

Ejemplo de fórmula de permutación

El número de permutaciones de n objetos diferentes tomados r a la vez se indicará mediante

^ {n} P_ {r} = n. (n-1). (n-2) ... (n-r + 1) = \ frac {n!} {(nr)!}

En matemáticas esto se denota de diferentes maneras, algunas de ellas se mencionan a continuación:

P (n, r), nPr, Pn, r o (n) r

Ejemplo: Calcule el número m de permutaciones de seis objetos, digamos A, B, C, D, E, F tomados tres de un vistazo.

Solución: Aquí n = 6, r = 3, m =?

^ {n} P_ {r} = \ frac {n!} {(nr)!}

m=^{6}P_{3}=\frac{6!}{(6-3)!}=\frac{6!}{3!}=\frac{3!.4.5.6}{3!}=4.5.6=120

Entonces m = 120

EJEMPLO: ¿Cuántas palabras se pueden generar usando 2 letras de la palabra “MATHS”?

Solución: Aquí n = 5, r = 2, m =?

^ {n} P_ {r} = \ frac {n!} {(nr)!}

m=^{5}P_{2}=\frac{5!}{(5-2)!}=\frac{5!}{3!}=\frac{3!.4.5}{3!}=4.5=20

por lo que el número requerido de palabras es 20.

¿Qué entiendes por combinación?

A combinación para n elementos diferentes tomados r a la vez es cualquier selección de elementos r-ésimo donde no se están considerando los pedidos. Tal selección se llama r-combinación. En resumen, un Mixta es una selección en la que el orden de los objetos seleccionados no es importante.

      La Mixta indica el número de formas en que se puede organizar un conjunto en particular, donde el orden de la disposición no importa.

 Para comprender la situación de la combinación, considere el ejemplo

Veinte personas llegan a un pasillo y todos se dan la mano a los demás. ¿Cómo podemos obtener el número de apretones de manos? "A" dar la mano a B y B a A no serán dos apretones de manos diferentes. Aquí, el orden del apretón de manos no es importante. El número de apretones de manos será la combinación de 20 cosas diferentes tomadas 2 a la vez.

Fórmula combinada con un ejemplo sencillo

       El número de tales combinaciones se indicará mediante

^ {n} C_ {r} = \ frac {n!} {r! (nr)!} = \ frac {^ {n} P_ {r}} {r!} = \ binom {n} {r}

A veces también se denota por C (n, r), nCr , Cn, r o Crn

Ejemplo: Una clase contiene 10 estudiantes con 6 hombres y 4 mujeres. Encuentra el numero n de formas de elegir un comité de 4 miembros entre esos estudiantes.

Esto está relacionado con combinaciones, no permutaciones, ya que el orden no es un factor importante en un comité. Hay “10 eligen 4” de estos comités. Eso es:

^ {n} C_ {r} = \ binom {n} {r} = \ frac {n!} {r! (nr)!}

aquí n = 10, r = 4

^{10}C_{4}=\binom{10}{4}=\frac{10!}{4!(10-4)!}=\frac{10.9.8.7.6!}{4.3.2.1.6!}=210

así que de 210 maneras podemos elegir tal comité de 4 miembros.

Ejemplo: Un recipiente tiene 6 bolas azules y 8 bolas rojas. Identifica la cantidad de formas en que se pueden sacar dos bolas de cualquiera de los colores del recipiente.

Aquí posiblemente “14 eligen 2” formas de seleccionar 2 de las 14 bolas. Por lo tanto:

^ {n} C_ {r} = \ binom {n} {r} = \ frac {n!} {r! (nr)!}

Aquí n = 14, r = 2

^{14}C_{2}=\binom{14}{2}=\frac{14!}{2!(14-2)!} =\frac{14.13.12!}{2.1.12!}=91

así que de 91 maneras se pueden dibujar dos bolas de cualquier color.

Diferencia entre permutación y combinación

La diferencia entre permutación y combinación se da brevemente aquí

PermutaciónMixta
El orden es importanteEl orden no es importante
Recuentos de pedidosEl pedido no cuenta
Se usa para arreglos como elegir presidente, vicepresidente y tesoreroSe utiliza para la selección como seleccionar equipos y comités sin posiciones
Para elegir primeros, segundos y terceros cargos específicosPara seleccionar tres al azar
Para ordenar las cartas o bolas con posición y color.Para seleccionar cualquier color y posición
Diferencia entre permutaciones y combinaciones

Dónde aplicar permutaciones y combinaciones

  Este es el paso importante que debe tenerse en cuenta que siempre que la situación sea por arreglo, orden y singularidad tenemos que usar Permutación y siempre que la situación sea de selección, elección, picking y combinación sin la preocupación del orden, tenemos que utilizar Combinación. Si Si mantiene estos conceptos básicos en su mente, no habrá confusión de "qué usar y qué no" cada vez que surja una pregunta.

Uso de permutaciones y combinaciones en la vida real con ejemplos

En la vida real la permutación y la combinación se usan en casi todas partes porque sabemos que en la vida real habría una situación en la que el orden es importante y en algún lugar el orden no es importante, en esas situaciones tenemos que utilizar el método correspondiente.

Por ejemplo:

Encuentra el numero N de equipos de 11 con un capitán determinado que se puede seleccionar entre 26 jugadores.

Preguntas frecuentes - Preguntas frecuentes

¿Qué es factorial?

El producto de los números enteros positivos de 1 an (incluidos 1 & n)

n! = 1.2.3 …… .. \ left (n-2 \ right). \ left (n-1 \ right) .n

¿Qué es una permutación?

El diferente orden de los objetos se llama permutaciones

¿Qué es una combinación?

     La Mixta proporciona el número de formas en que se puede establecer un conjunto específico, donde el orden de la disposición no importa.

Aplicación de permutaciones y combinaciones en la vida práctica.

Una Permutación se usa para la disposición o selección de listas donde el orden es importante, y la Combinación se usa para la selección o elección donde el orden no es importante.

Fórmula de permutación

^ {n} P_ {r} = \ frac {n!} {(nr)!}

Fórmula combinada

^ {n} C_ {r} = \ binom {n} {r} = \ frac {n!} {r! (nr)!}

¿Existe alguna relación entre permutaciones y combinaciones?

Sí,

^ {n} C_ {r} = \ frac {^ {n} P_ {r}} {r!}

¿Podemos usar permutaciones y combinaciones en la vida real?

Sí,

En la disposición de palabras, alfabetos, números, posiciones y colores, etc., donde el orden es importante, se utilizará la permutación.

En la selección de comité, equipos, menú y temas, etc., donde el orden no es importante, se utilizará una combinación.

Conclusión

   La breve información sobre permutaciones y combinaciones con fórmula básica se lee dos o tres veces hasta que se tenga una idea del concepto, en artículos consecutivos discutiremos en detalle los diferentes resultados y fórmulas con ejemplos adecuados de permutaciones y combinaciones. Si desea más estudios, consulte:

Para obtener más temas sobre matemáticas, siga este enlace.

1. BOSQUEJO DE SCHAUM DE LA TEORÍA Y PROBLEMAS DE LAS MATEMÁTICAS DISCRETAS

2.   https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation

3.   https://en.wikipedia.org/wiki/Combination

4.   https://in.bgu.ac.il/

5. https://www.cs.bgu.ac.il/

Acerca de DR. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Yo soy DR. Mohammed Mazhar Ul Haque, profesor asistente de Matemáticas. Tener 12 años de experiencia en la docencia. Tener un vasto conocimiento en Matemática Pura, precisamente en Álgebra. Tener la inmensa capacidad de diseñar y resolver problemas. Capaz de motivar a los candidatos para mejorar su desempeño.
Me encanta contribuir a Lambdageeks para hacer que las matemáticas sean simples, interesantes y autoexplicativas tanto para principiantes como para expertos.
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