Permutaciones y combinaciones Problemas y soluciones Parte II

  Después de discutir las definiciones y conceptos básicos, enumeraremos todos los resultados y relaciones de permutación y combinación, dependiendo de todos ellos nos familiarizaremos con el concepto de permutación y combinación resolviendo varios ejemplos.

Puntos para recordar (permutación)

  1. El número de formas de ordenar = nPr= {n (n-1) (n-2)… .. (n-r + 1) ((nr)!)} / (nr)! = n! / {(nr)!}
  2. El número de arreglos de n objetos diferentes tomados todos juntos a la vez es = nPn = n!
  3. nP0 = n! / n! = 1
  4. P = n. n-1Pr-1
  5. 0! = 1
  6. 1 / (- r)! = 0, (-r)! = ∞ (r N)
  7. El número de formas de llenar r lugares donde cada lugar puede ser llenado por cualquiera de n objetos, El recuento de permutaciones = El número de formas de llenar r lugares = (n)r   

Ejemplo: ¿Cuántos números entre 999 y 10000 se pueden generar con la ayuda de los números 0, 2, 3,6,7,8 donde los dígitos no deben duplicarse?

Solución: Los números entre 999 y 10000 son todos de cuatro dígitos.

                   Los números de cuatro dígitos construidos por los dígitos 0, 2, 3,6,7,8 son

Permutación
Permutación: ejemplo

  Pero aquí también están involucrados esos números que comienzan desde 0. Entonces podemos tomar los números que están formados con tres dígitos.

Tomando el dígito inicial 0, el número de formas de organizar 3 lugares pendientes de cinco dígitos 2, 3,6,7,8 son 5P3 =5!/(5-3)!=2!*3*4*5/2!= 60

Entonces los números requeridos = 360-60 = 300.

Ejemplo: ¿Cuántos libros se pueden colocar seguidos para que los dos libros mencionados no estén juntos?

Solución: Número total de pedidos de n libros diferentes = n !.                                                                                                                

           Si dos libros mencionados siempre están juntos, entonces el número de formas = (n-1)! X2

Ejemplo: ¿Cuántas formas hay divididas por 10 bolas entre dos chicos, uno consiguiendo dos y el otro ocho?

Solución: A obtiene 2, B  gets 8;  10!/2!8!=45

                  A obtiene 8, B obtiene 2; 10! / (8! 2!) = 45

eso significa 45 + 45 = 90 formas en que se dividirá la pelota.

Ejemplo: Busca el número de ordenamiento de los alfabetos de la palabra “CALCUTTA”.

Solución: Número requerido de vías = 8! / (2! 2! 2!) = 5040

Ejemplo: Se ha invitado a veinte personas a la fiesta. De cuántas formas diferentes pueden sentarse ellos y el anfitrión en una mesa redonda, si las dos personas tienen que sentarse a cada lado del guardián.

Solución: Habrá un total de 20 + 1 = 21 personas en total.

¡Las dos personas especificadas y el anfitrión se considerarán como una unidad de modo que permanezcan 21 - 3 + 1 = 19 personas que se organizarán en 18! maneras.

 ¡Pero las dos personas en particular a cada lado del anfitrión pueden organizarse en 2! formas.

  ¡Por lo tanto hay 2! * 18! formas.

Ejemplo : De cuántas formas se puede hacer una guirnalda con exactamente 10 flores.

Solución:  n ¡La guirnalda de flores se puede hacer en (n-1)! maneras.

Usando 10 flores la guirnalda se puede preparar de 9! / 2 formas diferentes.

Ejemplo: Encuentre el número específico de cuatro dígitos que debe estar formado por 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 para que todos y cada uno de los números tengan el número 1.

Solución: Después de asegurar 1 en la primera posición de 4 lugares, 3 lugares pueden ser llenados por7P3 =7!/(7-3)!=5*6*7=210 ways.

Pero algunos números cuyo cuarto dígito es cero, entonces ese tipo de formas =6P2= 6! / (6-2)! = 20.

                   Total formas = 7P3 , 6P2 = 210-20 = 180

Tenga en cuenta estos puntos para la combinación

  • El número de combinaciones de n objetos, de los cuales p son idénticos, tomados r a la vez es

notario públicoCr+notario públicoCr-1+notario públicoCr-2+ …… .. +notario públicoC0 , si r <= py  notario públicoCr+notario públicoCr-1+notario públicoCr-2+… .. +notario públicoCrp  , si r> p

  1. n elija 0 on elija n es 1, nC0 = nCn = 1, nC1 = n.
  2. nCr + nCr-1 = n + 1Cr
  3. Cx = nCy <=> x = yo x + y = n
  4. n. n-1Cr-1 = (n-r + 1) nCr-1
  5. nC0+nC2+nC4+…. =nC1+nC3+nC5… .. = 2n-1
  6. 2n + 1C0+2n + 1C1+2n + 1C2+ …… +2n + 1Cn=22n
  7. nCn+n + 1Cn+n + 2Cn+n + 3Cn+ ……… .. +2n-1Cn=2nCn + 1
  8. Número de combinaciones de n cosas diferentes tomadas todas a la vez. nCn= n! / {n! (nn)!} = 1 / (0)! = 1

A continuación resolveremos algunos ejemplos.  

Ejemplo: If 15Cr=15Cr + 5 , entonces, ¿cuál es el valor de r?

Solución: Aquí usaremos lo anterior

 nCr=nCnr en el lado izquierdo de la ecuación

15Cr=15Cr + 5 => 15C15-r =15Cr + 5

=> 15-r = r + 5 => 2r = 10 => r = 10/2 = 5

entonces el valor de r es 5 implica el problema de 15 ELEGIR 5.

Ejemplo: If 2nC3 : nC2 = 44: 3 encuentre el valor de r, de modo que el valor de nCr  serán 15.

 Solución: Aquí el término dado es la razón de 2n elija 3 yn elija 2 como

por la definición de combinación

(2n)!/{(2n-3)!x3!} X {2!x(n-2)!}/n!=44/3

=> (2n)(2n-1)(2n-2)/{3n(n-1)}=44/3

=> 4 (2n-1) = 44 => 2n = 12 => n = 6

                   AHORA 6Cr= 15 => 6Cr=6C2   or 6C4 => r = 2, 4

así que el problema resulta ser 6 elige 2 o 6 elige 4

Ejemplo:  If  nCr-1= 36 nCr= 84 y nCr + 1= 126, entonces, ¿cuál sería el valor de r?

 solución: Aquí nCr-1 / nCr = 36/84 y nCr /nCr + 1 = 84/126.

(n)! / {(n-r + 1)! x (r-1)!} X {(r)! x (nr)!} / (n)! = 36/84

r / (n-r + 1) = 3/7 => 7r = 3n-3r + 3

=> 3n-10r = -3, y de manera similar de la segunda ración obtenemos

4n-10r = 6

Al resolver, obtenemos n = 9, r = 3

así que el problema resultó ser 9 elegir 3, 9 elegir 2 y 9 elegir 4.

Ejemplo: Todos en la sala se dan la mano a todos. El recuento total de apretones de manos es 66. Calcula el número de personas en la habitación.

nC2 = 66 => n! / {2! (N-2)!} = 66 => n (n-1) = 132 => n = 12

Solución: por lo que el valor de n es 12 implica que el número total de personas en la habitación es 12 y el problema es 12, elija 2.

Ejemplo: En un torneo de fútbol se jugaron 153 partidos. Todos los equipos jugaron un juego. encuentre el número de grupos que participan en el torneo.

Solución:

aquí nC2 = 153 => n! / {2! (N-2)} = 153 => n (n-1) / 2 = 153 => n = 18

por lo que el número total de equipos que participaron en el torneo fue 18 y la combinación es 18 elige 2.

Ejemplo Durante la ceremonia de Deepawali, cada miembro del club envía tarjetas de felicitación a los demás. Si hay 20 miembros en el club, ¿cuál sería el número total de formas en que los miembros intercambian tarjetas de felicitación?

Solución: Dado que dos miembros pueden intercambiar tarjetas entre sí de dos maneras, hay 20 elegir 2 dos veces

2 x 20C2 = 2 x (20!) / {2! (20-2)!} = 2 * 190 = 380, habría 380 formas de intercambiar tarjetas de felicitación.

Ejemplo: Seis símbolos más '+' y cuatro menos '-' deben colocarse en una línea recta de modo que no se encuentren dos símbolos '-', encuentre el número total de formas.

 Solución: El pedido se puede hacer como - + - + - + - + - + - + - el (-)  los letreros se pueden colocar en 7 lugares vacantes (puntiagudos).

Por lo tanto, el número requerido de formas = 7C4 = 35.

Ejemplo: If nC21 =nC6 , entonces busca nC15 =?

Solución: Dado nC21 =nC6

21 + 6 = n => n = 27

Por lo tanto 27C15 =27!/{15!(27-15)!} =17383860

que es el 27 elige 15.

Conclusión

Se toman algunos ejemplos dependiendo de las relaciones y resultados, como cantidad de ejemplos podemos tomar de cada uno de los resultados, pero lo importante aquí que quiero mostrar es cómo podemos usar cualquier resultado dependiendo de la situación, si necesita más lectura, puede revise el contenido o si necesita ayuda personal, puede ponerse en contacto con nosotros en algunos de los contenidos relacionados que puede encontrar en:

Para obtener más temas sobre matemáticas, consulte este enlace.

BOSQUEJO DE SCHAUM DE LA TEORÍA Y PROBLEMAS DE LAS MATEMÁTICAS DISCRETAS

https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation

https://en.wikipedia.org/wiki/Combination

Acerca de DR. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Yo soy DR. Mohammed Mazhar Ul Haque, profesor asistente de Matemáticas. Tener 12 años de experiencia en la docencia. Tener un vasto conocimiento en Matemática Pura, precisamente en Álgebra. Tener la inmensa capacidad de diseñar y resolver problemas. Capaz de motivar a los candidatos para mejorar su desempeño.
Me encanta contribuir a Lambdageeks para hacer que las matemáticas sean simples, interesantes y autoexplicativas tanto para principiantes como para expertos.
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