Permutaciones y combinaciones | Resumen completo con problema y solución.

Permutaciones y combinaciones

Ilustración del concepto Permutaciones y Combinaciones con ejemplos

En este artículo, hemos discutido algunos ejemplos que fortalecerán la base de los estudiantes en Permutaciones y Combinaciones para obtener la aclaración del concepto, es muy consciente de que las Permutaciones y combinaciones son el proceso para calcular las posibilidades, el La diferencia entre ellos es si el orden importa o no, por lo que aquí, repasando el número de ejemplos, aclararemos la confusión sobre dónde usar cuál.

Los métodos para organizar o seleccionar un número pequeño o igual de personas o elementos a la vez de un grupo de personas o elementos provistos con la debida consideración para organizarse en el orden de planificación o selección se denominan permutaciones.

Cada grupo o selección diferente que se puede crear tomando algunos o todos los elementos, sin importar cómo estén organizados, se llama un combinación.

Permutación básica (fórmula nPr) Ejemplos

            Aquí estamos haciendo un grupo de n objetos diferentes, seleccionados r a la vez equivalente a llenar r lugares de n cosas.

Combinaciones
Permutaciones y combinaciones

El número de formas de organizar = El número de formas de llenar r lugares.

^ {n} P_ {r} = n. (n-1). (n-2)… (n-r + 1) = \ frac {n!} {(nr)!}

\ frac {n. (n-1). (n-2)… (n-r + 1). (nr)!} {(nr)!} = \ frac {n!} {(nr)!} = ^ {n} P_ {r}

so fórmula nPr tenemos que usar es

^ {n} P_ {r} = \ frac {n!} {(nr)!}

Ejemplo 1): Hay un tren cuyos 7 asientos se mantienen vacíos, entonces, ¿de cuántas maneras pueden sentarse tres pasajeros?

solución: Aquí n = 7, r = 3

por lo que se requiere número de formas =

^ {n} P_ {r} = \ frac {n!} {(nr)!}

^{7}P_{3}=\frac{7!}{(7-3)!}=\frac{4!.5.6.7}{4!} =210

De 210 maneras pueden sentarse 3 pasajeros.

Ejemplo 2) ¿De cuántas formas se puede elegir a 4 personas de cada 10 mujeres como líderes de equipo?

solución: Aquí n = 10, r = 4

por lo que se requiere número de formas =

^ {n} P_ {r} = \ frac {n!} {(nr)!}

^{10}P_{4}=\frac{10!}{(10-4)!}=\frac{6!.7.8.9.10}{6!}=5040

De 5040 maneras se pueden elegir 4 mujeres como líderes de equipo.

Ejemplo 3) ¿Cuántas permutaciones son posibles de 4 letras diferentes, seleccionadas de las veintiséis letras del alfabeto?

solución: Aquí n = 26, r = 4

por lo que se requiere número de formas =

^ {n} P_ {r} = \ frac {n!} {(nr)!}

^{26}P_{4}=\frac{26!}{(26-4)!}=\frac{22!.23.24.25.26}{22!}=358800

En 358800 formas, se encuentran disponibles 4 permutaciones de letras diferentes.

Ejemplo 4) ¿Cuántas permutaciones diferentes de tres dígitos están disponibles, seleccionadas entre diez dígitos del 0 al 9 combinados? (Incluidos 0 y 9).

solución: Aquí n = 10, r = 3

por lo que se requiere número de formas =

^ {n} P_ {r} = \ frac {n!} {(nr)!}

^{10}P_{3}=\frac{10!}{(10-3)!}=\frac{7!.8.9.10}{7!}=720

En 720 formas, están disponibles permutaciones de tres dígitos.

Ejemplo 5) Descubra la cantidad de formas en que un juez puede otorgar un primer, segundo y tercer lugar en un concurso con 18 competidores.

solución: Aquí n = 18, r = 3

por lo que se requiere número de formas =

^ {n} P_ {r} = \ frac {n!} {(nr)!}

^{18}P_{3}=\frac{18!}{(18-3)!}=\frac{15!.16.17.18}{15!}=4896

Entre los 18 concursantes, de 4896 maneras, un juez puede otorgar un primer, segundo y tercer lugar en un concurso.

Ejemplo

6) Encuentra la cantidad de formas en que 7 personas pueden organizarse seguidas.

solución: Aquí n = 7, r = 7

por lo que se requiere número de formas =

^ {n} P_ {r} = \ frac {n!} {(nr)!}

^{7}P_{7}=\frac{7!}{(7-7)!}=\frac{7!}{0!}=5040

De 5040 formas, 7 personas pueden organizarse seguidas.

Ejemplos basados ​​en combinación (fórmula nCr / n elegir fórmula k)

El número de combinaciones (selecciones o grupos) que se pueden configurar a partir de n objetos diferentes tomados r (0 <= r <= n) a la vez es

^ {n} C_ {r} = \ frac {n!} {r! (nr)!} = \ frac {^ {n} P_ {r}} {r!} = \ binom {n} {k}

Esto se conoce comúnmente como nCr o n elige k fórmula.

^ {n} C_ {k} = \ frac {n!} {k! (nk)!}

Ejemplos:

1) Si tiene tres vestidos con diferentes colores en rojo, amarillo y blanco, ¿puede encontrar una combinación diferente si tiene que elegir dos de ellos?

Solución: aquí n = 3, r = 2 esto es 3 ELIGE 2 problema

^ {n} C_ {r} = \ frac {n!} {r! (nr)!}

^{3}C_{2}=\frac{3!}{2!(3-2)!}=\frac{2!.3}{2!.1}=3

En 3 combinaciones diferentes obtienes dos de ellos.

2) ¿Cuántas combinaciones diferentes se pueden hacer si tienes 4 elementos diferentes y tienes que elegir 2?

Solución: aquí n = 4, r = 2 esto es 4 ELIGE 2 problema

^ {n} C_ {r} = \ frac {n!} {r! (nr)!}

^{4}C_{2}=\frac{4!}{2!(4-2)!}=\frac{2!.3.4}{2!.2!}=6

En 6 combinaciones diferentes obtienes dos de ellos.

3) ¿Cuántas combinaciones diferentes se pueden hacer si solo tienes 5 personajes y tienes que elegir 2 entre ellos?

Solución: aquí n = 5, r = 2 esto es 5 ELIGE 2 problema

^ {n} C_ {r} = \ frac {n!} {r! (nr)!}

^{5}C_{2}=\frac{5!}{2!(5-2)!}=\frac{3!.4.5}{2!.3!}=10

En 10 combinaciones diferentes obtienes dos de ellos.

4) Calcula el número de combinaciones 6 elige 2.

Solución: aquí n = 6, r = 2 esto es 6 ELIGE 2 problema

^ {n} C_ {r} = \ frac {n!} {r! (nr)!}

^{6}C_{2}=\frac{6!}{2!(6-2)!}=\frac{4!.5.6}{2!.4!}=15

En 15 combinaciones diferentes obtienes dos de ellos.

5) Encuentre la cantidad de formas de elegir 3 miembros de 5 socios diferentes.

Solución: aquí n = 5, r = 3 esto es 5 ELIGE 3 problema

^ {n} C_ {r} = \ frac {n!} {r! (nr)!}

^{5}C_{3}=\frac{5!}{3!(5-3)!}=\frac{3!.4.5}{3!.2!}=10

En 10 combinaciones diferentes obtienes tres de ellos.

6) Caja de crayones de color rojo, azul, amarillo, naranja, verde y morado. ¿Cuántas formas diferentes puedes usar para dibujar solo tres colores?

Solución: aquí n = 6, r = 3 esto es 6 ELIGE 3 problema

^ {n} C_ {r} = \ frac {n!} {r! (nr)!}

^{6}C_{3}=\frac{6!}{3!(6-3)!}=\frac{3!.4.5.6}{3!.3.2.1}=20

En 20 combinaciones diferentes obtienes tres de ellos.

7) Encuentra el número de combinaciones para 4, elige 3.

Solución: aquí n = 4, r = 3 esto es 4 ELIGE 3 problema

^ {n} C_ {r} = \ frac {n!} {r! (nr)!}

^{4}C_{3}=\frac{4!}{3!(4-3)!}=\frac{3!.4}{3!.1!}=4

En 4 combinaciones diferentes obtienes tres de ellos.

8) ¿Cuántos comités diferentes de cinco personas se pueden elegir entre 10 personas?

Solución: aquí n = 10, r = 5 esto es 10 ELIGE 5 problemas

^ {n} C_ {r} = \ frac {n!} {r! (nr)!}

^{10}C_{5}=\frac{10!}{5!(10-5)!}=\frac{10!}{5!.5!}=\frac{5!.6.7.8.9.10}{5!.5.4.3.2}=7.4.9=252

Por lo tanto, se pueden elegir 252 comités diferentes de 5 personas entre 10 personas.

9) Hay 12 jugadores de voleibol en total en la universidad, que estarán compuestos por un equipo de 9 jugadores. Si el capitán se mantiene consistente, el equipo se puede formar de muchas maneras.

Solución: aquí, como el capitán ya ha sido seleccionado, ahora entre 11 jugadores se deben elegir 8 n = 11, r = 8 esto es 11 ELIGE 8 problema

^ {n} C_ {r} = \ frac {n!} {r! (nr)!}

^{11}C_{8}=\frac{11!}{8!(11-8)!}=\frac{11!}{8!.3!}=\frac{8!.9.10.11}{8!.3.2.1}=3.5.11=165

Entonces, si el capitán se mantiene consistente, el equipo se puede formar de 165 maneras.

10) Calcula el número de combinaciones 10 elige 2.

Solución: aquí n = 10, r = 2 esto es 10 ELIGE 2 problema

^ {n} C_ {r} = \ frac {n!} {r! (nr)!}

^{10}C_{2}=\frac{10!}{2!(10-2)!}=\frac{10!}{2!.8!}=\frac{8!.9.10}{2!.8!}=5.9=45

En 45 combinaciones diferentes obtienes dos de ellos.

Tenemos que ver la diferencia de que nCr es la cantidad de formas en que las cosas se pueden seleccionar de la forma r y nPr es la cantidad de formas en que las cosas se pueden clasificar mediante r. Debemos tener en cuenta que para cualquier caso de escenario de permutación, la forma en que se organizan las cosas es muy importante. Sin embargo, en combinación, el orden no significa nada.

Conclusión

En este artículo se ha proporcionado una descripción detallada con ejemplos de las permutaciones y combinaciones con algunos ejemplos de la vida real, en una serie de artículos discutiremos en detalle los diversos resultados y fórmulas con ejemplos relevantes si está interesado en un estudio adicional, revise esto enlace.

Referencia

  1. BOSQUEJO DE SCHAUM DE LA TEORÍA Y PROBLEMAS DE LAS MATEMÁTICAS DISCRETAS
  2. https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation
  3. https://en.wikipedia.org/wiki/Combination

Acerca de DR. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Permutaciones y combinaciones | Resumen completo con problema y solución.Yo soy DR. Mohammed Mazhar Ul Haque, profesor asistente de Matemáticas. Tener 12 años de experiencia en la docencia. Tener un vasto conocimiento en Matemática Pura, precisamente en Álgebra. Tener la inmensa capacidad de diseñar y resolver problemas. Capaz de motivar a los candidatos para mejorar su desempeño.
Me encanta contribuir a Lambdageeks para hacer que las matemáticas sean simples, interesantes y autoexplicativas tanto para principiantes como para expertos.
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