Variable aleatoria normal | Sus propiedades importantes

Variable aleatoria normal y distribución normal

      Se sabe que la variable aleatoria con un conjunto de valores incontables es una variable aleatoria continua, y la función de densidad de probabilidad con la ayuda de la integración como área bajo la curva da la distribución continua.Ahora nos centraremos en una de las variables aleatorias continuas más utilizadas y frecuentes. es decir, variable aleatoria normal que tiene otro nombre como variable aleatoria gaussiana o distribución gaussiana.

Variable aleatoria normal

      La variable aleatoria normal es la variable aleatoria continua con función de densidad de probabilidad

f (x) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} e ^ {- (x- \ mu) ^ {^ {2} / 2 \ sigma ^ {^ {2}}}} \ \ - \ infty <x <\ infty

tener mala μ y varianza σ2 como los parámetros estadísticos y geométricamente la función de densidad de probabilidad tiene la curva en forma de campana que es simétrica con respecto a la media μ.

Variable aleatoria normal
Variable aleatoria normal

Sabemos que la función de densidad de probabilidad tiene la probabilidad total como uno, por lo que

\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- (x- \ mu) ^ {^ {2} / 2 \ sigma ^ { ^ {2}}}} dx = 1

poniendo y = (x-μ) / σ

\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi} \ sigma} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- (x- \ mu) ^ {^ {2} / 2 \ sigma ^ { ^ {2}}}} dx = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- y ^ {^ {2} / 2}} dy

\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- y ^ {^ {2} / 2}} dy = {\ sqrt {2 \ pi}}

deje \ \ I = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- y ^ {^ {2} / 2}} dy \ \ entonces

I ^ {2} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- y ^ {^ {2} / 2}} dy \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {^ {2} / 2}} dx

= \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ - ({y ^ 2 + x ^ 2}) / 2 \ \ dy dx

esta doble integración se puede resolver convirtiéndola en forma polar

x = r \ cos \ theta, y = r \ sin \ theta, dydx = rdrd \ theta

I ^ {^ {2}} = \ int_ {0} ^ {\ infty} \ int_ {0} ^ {2 \ pi} e ^ - {r ^ {2} / 2} rd \ theta dr

= 2 \ pi \ int_ {0} ^ {\ infty} re ^ - {r ^ {2} / 2} \ \ dr

= - 2 \ pi e ^ {- r ^ {2} / 2} \ lvert _ {\ infty} ^ {0} = 2 \ pi

que es el valor requerido por lo que se verifica para la integral I.

  • Si X se distribuye normalmente con el parámetro μ  y σ2 entonces Y = aX + b también se distribuye normalmente con los parámetros aμ + b y a2μ2

Expectativa y varianza de la variable aleatoria normal

El valor esperado de la variable aleatoria normal y la varianza que obtendremos con la ayuda de

Z = \ frac {X- \ mu} {\ sigma}

donde X se distribuye normalmente con la media de los parámetros μ y desviación estándar σ.

E [Z] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xfZ (x) dx

= \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xe ^ {- x ^ {2} / 2} dx

= - \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} e ^ {- x ^ {2} / 2} \ lvert _ {- \ infty} ^ {\ infty} = 0

dado que la media de Z es cero, entonces tenemos la varianza como

Var (Z) = E [Z ^ {2}]

= \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x ^ {2} e ^ {- x ^ {2} / 2} dx

mediante el uso de la integración por partes

Var (Z) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} (- xe ^ {- x ^ {2} / 2} \ lvert _ {- \ infty} ^ {\ infty} + \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2} / 2} dx)

= \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2} / 2} dx = 1

para la variable Z la interpretación gráfica es la siguiente

Variable aleatoria normal
Variable aleatoria normal

y el área bajo la curva para esta variable Z que se conoce como variable normal estándar, se calcula para la referencia (dada en la tabla), ya que la curva es simétrica, por lo que para el valor negativo el área será la misma que la de los valores positivos

P \ left {Z \ leq -x \ right} = P \ left {Z> x \ right} \ \ - \ infty <x <\ infty

z0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.09
0.00.500000.503990.507980.511970.515950.519940.523920.527900.531880.53586
0.10.539830.543800.547760.551720.555670.559620.563560.567490.571420.57535
0.20.579260.583170.587060.590950.594830.598710.602570.606420.610260.61409
0.30.617910.621720.625520.629300.633070.636830.640580.644310.648030.65173
0.40.655420.659100.662760.666400.670030.673640.677240.680820.684390.68793
0.50.691460.694970.698470.701940.705400.708840.712260.715660.719040.72240
0.60.725750.729070.732370.735650.738910.742150.745370.748570.751750.75490
0.70.758040.761150.764240.767300.770350.773370.776370.779350.782300.78524
0.80.788140.791030.793890.796730.799550.802340.805110.807850.810570.81327
0.90.815940.818590.821210.823810.826390.828940.831470.833980.836460.83891
1.00.841340.843750.846140.848490.850830.853140.855430.857690.859930.86214
1.10.864330.866500.868640.870760.872860.874930.876980.879000.881000.88298
1.20.884930.886860.888770.890650.892510.894350.896170.897960.899730.90147
1.30.903200.904900.906580.908240.909880.911490.913080.914660.916210.91774
1.40.919240.920730.922200.923640.925070.926470.927850.929220.930560.93189
1.50.933190.934480.935740.936990.938220.939430.940620.941790.942950.94408
1.60.945200.946300.947380.948450.949500.950530.951540.952540.953520.95449
1.70.955430.956370.957280.958180.959070.959940.960800.961640.962460.96327
1.80.964070.964850.965620.966380.967120.967840.968560.969260.969950.97062
1.90.971280.971930.972570.973200.973810.974410.975000.975580.976150.97670
2.00.977250.977780.978310.978820.979320.979820.980300.980770.981240.98169
2.10.982140.982570.983000.983410.983820.984220.984610.985000.985370.98574
2.20.986100.986450.986790.987130.987450.987780.988090.988400.988700.98899
2.30.989280.989560.989830.990100.990360.990610.990860.991110.991340.99158
2.40.991800.992020.992240.992450.992660.992860.993050.993240.993430.99361
2.50.993790.993960.994130.994300.994460.994610.994770.994920.995060.99520
2.60.995340.995470.995600.995730.995850.995980.996090.996210.996320.99643
2.70.996530.996640.996740.996830.996930.997020.997110.997200.997280.99736
2.80.997440.997520.997600.997670.997740.997810.997880.997950.998010.99807
2.90.998130.998190.998250.998310.998360.998410.998460.998510.998560.99861
3.00.998650.998690.998740.998780.998820.998860.998890.998930.998960.99900
3.10.999030.999060.999100.999130.999160.999180.999210.999240.999260.99929
3.20.999310.999340.999360.999380.999400.999420.999440.999460.999480.99950
3.30.999520.999530.999550.999570.999580.999600.999610.999620.999640.99965
3.40.999660.999680.999690.999700.999710.999720.999730.999740.999750.99976
3.50.999770.999780.999780.999790.999800.999810.999810.999820.999830.99983

ya que hemos usado la sustitución

Z = \ frac {X- \ mu} {\ sigma} \ \ X = \ mu + \ sigma Z

E [X] = \ mu + \ sigma E [Z] = \ mu

Var (X) = \ sigma ^ {2} Var (Z) = \ sigma ^ {2}

Aquí tenga en cuenta que Z es una variable normal estándar donde, como variable aleatoria continua, X es una variable aleatoria normal distribuida normalmente con media μ y desviación estándar σ .

Entonces, para encontrar la función de distribución para la variable aleatoria, usaremos la conversión a la variable normal estándar como

FX (a) = P \ left {X \ leq a \ right} = P (\ frac {X- \ mu} {\ sigma} \ leq \ frac {a- \ mu} {\ sigma}) = \ Phi \ izquierda (\ frac {a- \ mu} {\ sigma} \ right)

por cualquier valor de a.

Ejemplo: En la curva normal estándar, encuentre el área entre los puntos 0 y 1.2.

Si seguimos la tabla, el valor de 1.2 debajo de la columna 0 es 0.88493 y el valor de 0 es 0.5000,

Variable aleatoria normal
Variable aleatoria normal

P \ left (0 \ leq Z \ leq 1.2 \ right) = \ Phi \ left (1.2 \ right) - \ Phi \ left (0 \ right) = 0.88493 -0.50000 = 0.38493

Ejemplo: encuentre el área de la curva normal estándar entre -0.46 y 2.21.

Variable aleatoria normal
Variable aleatoria normal

Desde la región sombreada podemos bifurcar esta región de -0.46 a 0 y de 0 a 2.21 porque la curva normal es simétrica con respecto al eje y, por lo que el área de -0.46 a 0 es la misma que la de 0 a 0.46, por lo tanto, de la tabla.

P \ left (-0.46 \ leq Z \ leq 0 \ right) = P \ left (0 \ leq Z \ leq 0.46 \ right) = 0.1772

y

P \ left (0 \ leq Z \ leq 2.21 \ right) = 0.4864

para que podamos escribirlo como

Área total = (área entre z = -0.46 yz = 0) + (área entre z = 0 yz = 2.21)

= 0.1722 + 0.4864

= 0.6586

Ejemplo: Si X es una variable aleatoria normal con media 3 y varianza 9, encuentre las siguientes probabilidades

P \ left {2 <X <5 \ right}

P \ left \ {X> 0 \ right \}

P \ left {\ left | X - 3 \ derecha | > 6 \ right}

solución: Desde que tenemos

FX (a) = P \ left {X \ leq a \ right} = P \ left (\ frac {X- \ mu} {\ sigma} \ leq \ frac {a- \ mu} {\ sigma} \ right) = \ Phi \ left (\ frac {a- \ mu} {\ sigma} \ right)

P \ left {2 <X <5 \ right} = P \ left {\ frac {2-3} {3} <\ frac {X-3} {3} <\ frac {5-3} {3} \ derecho }

= P \ left {- \ frac {1} {3} <Z <\ frac {2} {3} \ right}

Variable aleatoria normal
Variable aleatoria normal

así que bifurcando en los intervalos -1/3 a 0 y 0 a 2/3 obtendremos la solución de los valores tabulares

P \ left {- \ frac {1} {3} <Z <\ frac {2} {3} \ right} = P \ left {- \ frac {1} {3} <Z <0 \ right} + P \ left (0 <Z <\ frac {2} {3} \ right)

or

= \ Phi \ left (\ frac {2} {3} \ right) - \ Phi \ left (- \ frac {1} {3} \ right)

= \ Phi \ left (\ frac {2} {3} \ right) - \ left [1- \ Phi \ left (\ frac {1} {3} \ right) \ right]

= 0.74537 -1 + 0.62930 = 0.37467

y

P \ left {X> 0 \ right} = P \ left {\ frac {X-3} {3}> \ frac {0-3} {3} \ right} = P \ left {Z> -1 \ right }

= 1- \ Phi \ left (-1 \ right) = \ Phi \ left (1 \ right) \ approx 0.8413

Variable aleatoria normal
Variable aleatoria normal

P \ left {\ left | X -3 \ right | > 6 \ right} = P \ left {X> 9 \ right} + P \ left {X <-3 \ right}

= P \ left {\ frac {X-3} {3}> \ frac {9-3} {3} \ right} + P \ left {\ frac {X-3} {3} <\ frac {-3 -3} {3} \ right}

= P \ left {Z> 2 \ right} + P \ left {Z <-2 \ right}

= 1- \ Phi \ left (2 \ right) + \ Phi \ left (-2 \ right)

= 2 [1- \ Phi \ left (2 \ right)] \ aprox .0456

Variable aleatoria normal
Variable aleatoria normal

Ejemplo: Un observador en el caso de paternidad afirma que la duración (en días) del crecimiento humano

se distribuye normalmente con los parámetros media 270 y varianza 100. En este caso, el sospechoso que es el padre del niño proporcionó la prueba de que estuvo fuera del país durante un período que comenzó 290 días antes del nacimiento del niño y terminó 240 días antes. el nacimiento. Calcule la probabilidad de que la madre haya tenido un embarazo muy largo o muy corto indicado por el testigo.

Sea X la variable aleatoria distribuida normalmente para la gestación y considere que el sospechoso es el padre del niño. En ese caso, el nacimiento del niño ocurrió dentro del tiempo especificado tiene la probabilidad

P \ left {X> 290 \ \ o \ \ X 290 \ right} + P \ left {X <240 \ right}

= P \ left {\ frac {X-270} {10}> 2 \ right} + P \ left {\ frac {X-270} {10} <-3 \ right}

= 1- \ Phi \ left (2 \ right) +1 - \ Phi \ left (3 \ right) \ approx .0241

Relación entre variable aleatoria normal y variable aleatoria binomial

      En el caso de la distribución binomial, la media es np y la varianza es npq, por lo que si convertimos dicha variable aleatoria binomial con tal media y desviación estándar con n muy grandes y p o q son muy pequeños acercándose a cero, entonces la variable normal estándar Z ayuda de estas medias y varianza es

Z = \ frac {X - np} {\ sqrt {npq}}

aquí en términos de Ensayos de Bernouli X considera el número de éxitos en n ensayos. A medida que n aumenta y se acerca al infinito, esta variante normal pasa de la misma manera a convertirse en una variante normal estándar.

La relación de binomio y variable normal estándar la podemos encontrar con la ayuda del siguiente teorema.

Teorema del límite de DeMoivre Laplace

If Sn denota el número de éxitos que ocurren cuando n  ensayos independientes, cada uno de los cuales resultó en un éxito con probabilidad p , se realizan, entonces, para cualquier a <b,

P \ left {a \ leq \ frac {S_ {n} -np} {\ sqrt {np \ left (1-p \ right)}} \ leq b \ right} \ rightarrow \ Phi \ left (b \ right) - \ Phi \ left (a \ right)

como \ \ n \ rightarrow \ infty

 En otras palabras

\ lim_ {n \ to \ infty} P \ left (a \ leq \ frac {X -np} {\ sqrt {np \ left (1 -p \ right)}} \ leq b \ right) = \ frac {1 } {\ sqrt {2 \ pi}} \ int_ {a} ^ {b} e ^ {- u ^ {2} / 2} du

Ejemplo: Con la ayuda de una aproximación normal a la variable aleatoria binomial, calcule la probabilidad de que ocurra una cola de 20 veces cuando una moneda justa se lanza 40 veces.

Solución: Suponga que la variable aleatoria X representa la aparición de la cola, ya que la variable aleatoria binomial es una variable aleatoria discreta y la variable aleatoria normal es una variable aleatoria continua, por lo que para convertir la discreta en continua, la escribimos como

P \ left (X = 20 \ right) = P \ left {19.5 \ leq X \ leq 20.5 \ right}

= P \ left {\ frac {19.5-20} {\ sqrt {10}} <\ frac {X-20} {\ sqrt {10}} <\ frac {20.5-20} {\ sqrt {10}} \ derecho }

\ approx P \ left {-.16 <\ frac {X-20} {\ sqrt {10}} <.16 \ right}

\ approx \ Phi \ left (.16 \ right) - \ Phi \ left (-.16 \ right) \ approx .1272

y si resolvemos el ejemplo dado con la ayuda de la distribución binomial lo obtendremos como

P \ left {X = 20 \ right} = \ binom {40} {20} \ left (\ frac {1} {2} \ right) ^ {40} \ approx .1254

Ejemplo: Para decidir la eficacia de un alimento definido en la disminución de la cantidad de colesterol en la circulación sanguínea, se colocan 100 personas en el alimento. El recuento de colesterol se observó durante el tiempo definido después de proporcionar el alimento. Si de esta muestra el 65 por ciento tiene un recuento bajo de colesterol, se aprobará la nutrición. ¿Cuál es la probabilidad de que el nutricionista apruebe el nuevo alimento si, en realidad, no tiene ninguna consecuencia sobre el nivel de colesterol?

solución:  Deje que la variable aleatoria exprese el nivel de colesterol si está por debajo de la nutrición, de modo que la probabilidad de dicha variable aleatoria sea ½ para cada persona, si X denota el número bajo de personas, entonces la probabilidad de que el resultado sea aprobado incluso si no hay efecto de la nutrición para reducir el nivel de colesterol es

\ sum_ {i = 65} ^ {100} \ binom {100} {i} \ left (\ frac {1} {2} \ right) ^ {100} = P \ left {X \ geq 64.5 \ right}

= P \ left {\ frac {X- (100) \ left (\ frac {1} {2} \ right)} {\ sqrt {100 \ left (\ frac {1} {2} \ right) \ left ( \ frac {1} {2} \ right)}} \ geq 2.9 \ right}

\ approx 1- \ Phi \ left (2.9 \ right) \ approx .0019

Conclusión:

   En este artículo, el concepto de variable aleatoria continua es normal. variable aleatoria y se discutió su distribución con la función de densidad de probabilidad y se da la media del parámetro estadístico, la varianza para la variable aleatoria normal. La conversión de la variable aleatoria normalmente distribuida a la nueva variable normal estándar y el área bajo la curva para dicha variable normal estándar se da en forma tabulada, una de las relaciones con la variable aleatoria discreta también se menciona con un ejemplo, si desea leer más, consulte :

Esquemas de probabilidad y estadística de Schaum

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability.

Para obtener más temas sobre matemáticas, consulte consulta en esta página.

Acerca de DR. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Yo soy DR. Mohammed Mazhar Ul Haque, profesor asistente de Matemáticas. Tener 12 años de experiencia en la docencia. Tener un vasto conocimiento en Matemática Pura, precisamente en Álgebra. Tener la inmensa capacidad de diseñar y resolver problemas. Capaz de motivar a los candidatos para mejorar su desempeño.
Me encanta contribuir a Lambdageeks para hacer que las matemáticas sean simples, interesantes y autoexplicativas tanto para principiantes como para expertos.
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