Variable aleatoria normal: 3 hechos importantes

Variable aleatoria normal y distribución normal

      Se sabe que la variable aleatoria con un conjunto de valores incontables es una variable aleatoria continua, y la función de densidad de probabilidad con la ayuda de la integración como área bajo la curva da la distribución continua.Ahora nos centraremos en una de las variables aleatorias continuas más utilizadas y frecuentes. es decir, variable aleatoria normal que tiene otro nombre como variable aleatoria gaussiana o distribución gaussiana.

Variable aleatoria normal

      La variable aleatoria normal es la variable aleatoria continua con función de densidad de probabilidad

tener mala μ y varianza σ² como los parámetros estadísticos y geométricamente la función de densidad de probabilidad tiene la curva en forma de campana que es simétrica con respecto a la media μ.

Sabemos que la función de densidad de probabilidad tiene la probabilidad total como uno, por lo que

poniendo y = (x-μ) / σ

esta doble integración se puede resolver convirtiéndola en forma polar

que es el valor requerido por lo que se verifica para la integral I.

• Si X se distribuye normalmente con el parámetro μ  y σ² entonces Y = aX + b también se distribuye normalmente con los parámetros aμ + b y a²μ²

Expectativa y varianza de la variable aleatoria normal

El valor esperado de la variable aleatoria normal y la varianza que obtendremos con la ayuda de

donde X se distribuye normalmente con la media de los parámetros μ y desviación estándar σ.

dado que la media de Z es cero, entonces tenemos la varianza como

mediante el uso de la integración por partes

para la variable Z la interpretación gráfica es la siguiente

y el área bajo la curva para esta variable Z que se conoce como variable normal estándar, se calcula para la referencia (dada en la tabla), ya que la curva es simétrica, por lo que para el valor negativo el área será la misma que la de los valores positivos

z	0.00	0.01	0.02	0.03	0.04	0.05	0.06	0.07	0.08	0.09
0.0	0.50000	0.50399	0.50798	0.51197	0.51595	0.51994	0.52392	0.52790	0.53188	0.53586
0.1	0.53983	0.54380	0.54776	0.55172	0.55567	0.55962	0.56356	0.56749	0.57142	0.57535
0.2	0.57926	0.58317	0.58706	0.59095	0.59483	0.59871	0.60257	0.60642	0.61026	0.61409
0.3	0.61791	0.62172	0.62552	0.62930	0.63307	0.63683	0.64058	0.64431	0.64803	0.65173
0.4	0.65542	0.65910	0.66276	0.66640	0.67003	0.67364	0.67724	0.68082	0.68439	0.68793
0.5	0.69146	0.69497	0.69847	0.70194	0.70540	0.70884	0.71226	0.71566	0.71904	0.72240
0.6	0.72575	0.72907	0.73237	0.73565	0.73891	0.74215	0.74537	0.74857	0.75175	0.75490
0.7	0.75804	0.76115	0.76424	0.76730	0.77035	0.77337	0.77637	0.77935	0.78230	0.78524
0.8	0.78814	0.79103	0.79389	0.79673	0.79955	0.80234	0.80511	0.80785	0.81057	0.81327
0.9	0.81594	0.81859	0.82121	0.82381	0.82639	0.82894	0.83147	0.83398	0.83646	0.83891
1.0	0.84134	0.84375	0.84614	0.84849	0.85083	0.85314	0.85543	0.85769	0.85993	0.86214
1.1	0.86433	0.86650	0.86864	0.87076	0.87286	0.87493	0.87698	0.87900	0.88100	0.88298
1.2	0.88493	0.88686	0.88877	0.89065	0.89251	0.89435	0.89617	0.89796	0.89973	0.90147
1.3	0.90320	0.90490	0.90658	0.90824	0.90988	0.91149	0.91308	0.91466	0.91621	0.91774
1.4	0.91924	0.92073	0.92220	0.92364	0.92507	0.92647	0.92785	0.92922	0.93056	0.93189
1.5	0.93319	0.93448	0.93574	0.93699	0.93822	0.93943	0.94062	0.94179	0.94295	0.94408
1.6	0.94520	0.94630	0.94738	0.94845	0.94950	0.95053	0.95154	0.95254	0.95352	0.95449
1.7	0.95543	0.95637	0.95728	0.95818	0.95907	0.95994	0.96080	0.96164	0.96246	0.96327
1.8	0.96407	0.96485	0.96562	0.96638	0.96712	0.96784	0.96856	0.96926	0.96995	0.97062
1.9	0.97128	0.97193	0.97257	0.97320	0.97381	0.97441	0.97500	0.97558	0.97615	0.97670
2.0	0.97725	0.97778	0.97831	0.97882	0.97932	0.97982	0.98030	0.98077	0.98124	0.98169
2.1	0.98214	0.98257	0.98300	0.98341	0.98382	0.98422	0.98461	0.98500	0.98537	0.98574
2.2	0.98610	0.98645	0.98679	0.98713	0.98745	0.98778	0.98809	0.98840	0.98870	0.98899
2.3	0.98928	0.98956	0.98983	0.99010	0.99036	0.99061	0.99086	0.99111	0.99134	0.99158
2.4	0.99180	0.99202	0.99224	0.99245	0.99266	0.99286	0.99305	0.99324	0.99343	0.99361
2.5	0.99379	0.99396	0.99413	0.99430	0.99446	0.99461	0.99477	0.99492	0.99506	0.99520
2.6	0.99534	0.99547	0.99560	0.99573	0.99585	0.99598	0.99609	0.99621	0.99632	0.99643
2.7	0.99653	0.99664	0.99674	0.99683	0.99693	0.99702	0.99711	0.99720	0.99728	0.99736
2.8	0.99744	0.99752	0.99760	0.99767	0.99774	0.99781	0.99788	0.99795	0.99801	0.99807
2.9	0.99813	0.99819	0.99825	0.99831	0.99836	0.99841	0.99846	0.99851	0.99856	0.99861
3.0	0.99865	0.99869	0.99874	0.99878	0.99882	0.99886	0.99889	0.99893	0.99896	0.99900
3.1	0.99903	0.99906	0.99910	0.99913	0.99916	0.99918	0.99921	0.99924	0.99926	0.99929
3.2	0.99931	0.99934	0.99936	0.99938	0.99940	0.99942	0.99944	0.99946	0.99948	0.99950
3.3	0.99952	0.99953	0.99955	0.99957	0.99958	0.99960	0.99961	0.99962	0.99964	0.99965
3.4	0.99966	0.99968	0.99969	0.99970	0.99971	0.99972	0.99973	0.99974	0.99975	0.99976
3.5	0.99977	0.99978	0.99978	0.99979	0.99980	0.99981	0.99981	0.99982	0.99983	0.99983

ya que hemos usado la sustitución

Aquí tenga en cuenta que Z es una variación normal estándar donde como la variable aleatoria continua X se distribuye normalmente variable aleatoria normal con media μ y desviación estándar σ.

Entonces, para encontrar la función de distribución para la variable aleatoria, usaremos la conversión a la variable normal estándar como

por cualquier valor de a.

Ejemplo: En la curva normal estándar, encuentre el área entre los puntos 0 y 1.2.

Si seguimos la tabla, el valor de 1.2 debajo de la columna 0 es 0.88493 y el valor de 0 es 0.5000,

Ejemplo: encuentre el área de la curva normal estándar entre -0.46 y 2.21.

Desde la región sombreada podemos bifurcar esta región de -0.46 a 0 y de 0 a 2.21 porque la curva normal es simétrica con respecto al eje y, por lo que el área de -0.46 a 0 es la misma que la de 0 a 0.46, por lo tanto, de la tabla.

y

para que podamos escribirlo como

Área total = (área entre z = -0.46 yz = 0) + (área entre z = 0 yz = 2.21)

= 0.1722 + 0.4864

= 0.6586

Ejemplo: Si X es una variable aleatoria normal con media 3 y varianza 9, encuentre las siguientes probabilidades

P2

P{X>0}

P|X-3|>6

Solución: Desde que tenemos

así que bifurcando en los intervalos -1/3 a 0 y 0 a 2/3 obtendremos la solución de los valores tabulares

or

= 0.74537 -1 + 0.62930 = 0.37467

y

Ejemplo: Un observador en el caso de paternidad afirma que la duración (en días) del crecimiento humano

se distribuye normalmente con los parámetros media 270 y varianza 100. En este caso, el sospechoso que es el padre del niño proporcionó la prueba de que estuvo fuera del país durante un período que comenzó 290 días antes del nacimiento del niño y terminó 240 días antes. el nacimiento. Calcule la probabilidad de que la madre haya tenido un embarazo muy largo o muy corto indicado por el testigo.

Sea X la variable aleatoria distribuida normalmente para la gestación y considere que el sospechoso es el padre del niño. En ese caso, el nacimiento del niño ocurrió dentro del tiempo especificado tiene la probabilidad

Relación entre variable aleatoria normal y variable aleatoria binomial

      En el caso de la distribución binomial, la media es np y la varianza es npq, por lo que si convertimos dicha variable aleatoria binomial con tal media y desviación estándar con n muy grandes y p o q son muy pequeños acercándose a cero, entonces la variable normal estándar Z ayuda de estas medias y varianza es

aquí en términos de Ensayos de Bernouli X considera el número de éxitos en n ensayos. A medida que n aumenta y se acerca al infinito, esta variante normal pasa de la misma manera a convertirse en una variante normal estándar.

La relación de binomio y variable normal estándar la podemos encontrar con la ayuda del siguiente teorema.

Teorema del límite de DeMoivre Laplace

If S_n denota el número de éxitos que ocurren cuando n  ensayos independientes, cada uno de los cuales resultó en un éxito con probabilidad p , se realizan, entonces, para cualquier a <b,

Ejemplo: Con la ayuda de una aproximación normal a la variable aleatoria binomial, calcule la probabilidad de que ocurra una cola de 20 veces cuando una moneda justa se lanza 40 veces.

Solución: Suponga que la variable aleatoria X representa la aparición de la cola, ya que la variable aleatoria binomial es una variable aleatoria discreta y la variable aleatoria normal es una variable aleatoria continua, por lo que para convertir la discreta en continua, la escribimos como

y si resolvemos el ejemplo dado con la ayuda de la distribución binomial lo obtendremos como

Ejemplo: Para decidir la eficacia de un alimento definido en la disminución de la cantidad de colesterol en la circulación sanguínea, se colocan 100 personas en el alimento. El recuento de colesterol se observó durante el tiempo definido después de proporcionar el alimento. Si de esta muestra el 65 por ciento tiene un recuento bajo de colesterol, se aprobará la nutrición. ¿Cuál es la probabilidad de que el nutricionista apruebe el nuevo alimento si, en realidad, no tiene ninguna consecuencia sobre el nivel de colesterol?

solución:  Deje que la variable aleatoria exprese el nivel de colesterol si está por debajo de la nutrición, de modo que la probabilidad de dicha variable aleatoria sea ½ para cada persona, si X denota el número bajo de personas, entonces la probabilidad de que el resultado sea aprobado incluso si no hay efecto de la nutrición para reducir el nivel de colesterol es

Conclusión:

   En este artículo, el concepto de variable aleatoria continua es normal. variable aleatoria y su distribución con la función de densidad de probabilidad se discutieron y se da la media del parámetro estadístico, la varianza para la variable aleatoria normal. La conversión de la variable aleatoria distribuida normalmente a la nueva variable normal estándar y el área bajo la curva para dicha variable normal estándar se dan en forma tabulada en uno de los la relación con la variable aleatoria discreta también se menciona con el ejemplo , si desea leer más, vaya a través de:

Esquemas de probabilidad y estadística de Schaum

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability.

Para obtener más temas sobre matemáticas, consulte esta página.