Función generadora de momentos
La función de generación de momento es una función muy importante que genera los momentos de la variable aleatoria que implican la media, la desviación estándar y la varianza, etc., por lo que con la ayuda de la función de generación de momento únicamente, podemos encontrar momentos básicos y momentos superiores. verá funciones generadoras de momento para las diferentes variables aleatorias discretas y continuas. ya que la función generadora de momento (MGF) se define con la ayuda de la expectativa matemática denotada por M (t) como
y utilizando la definición de expectativa para la variable aleatoria discreta y continua esta función será
que al sustituir el valor de t por cero genera momentos respectivos. Estos momentos tenemos que recopilar diferenciando esta función generadora de momentos, por ejemplo, para el primer momento o la media que podemos obtener diferenciando una vez
Esto da la pista de que la diferenciación es intercambiable bajo la expectativa y podemos escribirla como
y
si t = 0 los momentos anteriores serán
y
En general podemos decir que
por lo tanto
Función generadora de momento de la distribución binomial || Función generadora de momento de la distribución binomial || MGF de la distribución binomial || Media y varianza de la distribución binomial usando la función generadora de momento
La función generadora de momento para la variable aleatoria X, que es una distribución binomial, seguirá la función de probabilidad de la distribución binomial con los parámetros n y p como
que es el resultado del teorema binomial, ahora diferenciando y poniendo el valor de t = 0
que es la media o el primer momento de la distribución binomial de manera similar, el segundo momento será
por lo que la varianza de la distribución binomial será
que es la media estándar y la varianza de la distribución Binomial, de manera similar, los momentos más altos también podemos encontrar usando esta función generadora de momentos.
Función generadora de momento de Poisson distribución ||Poisson función de generación de momento de distribución || MGF de Poisson distribución || Media y varianza de la distribución de Poisson usando la función generadora de momentos
Si tenemos la variable aleatoria X que es Poisson distribuida con el parámetro Lambda, entonces la función generadora de momento para esta distribución será
ahora diferenciando esto dará
esto da
que da la media y la varianza para la distribución de Poisson, lo cual es cierto
Función generadora de momento de distribución exponencial ||Exponencial función de generación de momento de distribución || MGF de Exponencial distribución || Media y varianza de Exponencial distribución usando la función de generación de momento
La función generadora de Momento para la variable aleatoria exponencial X siguiendo la definición es
aquí el valor de t es menor que el parámetro lambda, ahora diferenciando esto dará
que proporciona los momentos
con claridad.
Cuáles son la media y la varianza de la distribución exponencial.
Función generadora de momento de distribución normal ||Normal función de generación de momento de distribución || MGF de Normal distribución || Media y varianza de Regular distribución usando la función de generación de momento
La función de generación de momento para las distribuciones continuas también es la misma que la discreta, por lo que la función de generación de momento para la distribución normal con la función de densidad de probabilidad estándar será
esta integración podemos resolver por ajuste como
ya que el valor de integración es 1. Por lo tanto, la función generadora de momentos para la variable normal estándar será
de esto podemos encontrar para cualquier variable aleatoria normal general la función generadora de momento usando la relación
así
así que la diferenciación nos da
así
entonces la varianza será
Función generadora de momento de la suma de variables aleatorias
La Función generadora de momentos de suma de variables aleatorias da la propiedad importante de que es igual al producto de la función generadora de momento de las respectivas variables aleatorias independientes que es para las variables aleatorias independientes X e Y, entonces la función generadora de momento para la suma de la variable aleatoria X + Y es
aquí las funciones generadoras de momentos de cada X e Y son independientes por la propiedad de la expectativa matemática. En la sucesión encontraremos la suma de funciones generadoras de momentos de distintas distribuciones.
Suma de variables aleatorias binomiales
Si las variables aleatorias X e Y se distribuyen por distribución binomial con los parámetros (n, p) y (m, p) respectivamente, entonces la función generadora de momentos de su suma X + Y será
donde los parámetros para la suma son (n + m, p).
Suma de variables aleatorias de Poisson
La distribución para la suma de variables aleatorias independientes X e Y con medias respectivas que se distribuyen por distribución de Poisson podemos encontrar como
Dónde
es la media de la variable aleatoria de Poisson X + Y.
Suma de variables aleatorias normales
Considere la independencia variables aleatorias normales X e Y con los parámetros
luego para la suma de variables aleatorias X + Y con parámetros
por lo que la función generadora de momento será
que es una función generadora de momentos con media y varianza aditiva.
Suma de número aleatorio de variables aleatorias
Para encontrar la función generadora de momentos de la suma del número aleatorio de variables aleatorias, supongamos la variable aleatoria
donde las variables aleatorias X1,X2, ... son una secuencia de variables aleatorias de cualquier tipo, que son independientes e idénticamente distribuidas, entonces la función generadora de momentos será
Lo que da la función de generación de momento de Y en la diferenciación como
por lo tanto
de manera similar, la diferenciación dos veces dará
que dan
por lo tanto, la varianza será
Ejemplo de variable aleatoria de chi-cuadrado
Calcule la función generadora de momentos de la variable aleatoria Chi-cuadrado con n grados de libertad.
Solución: considere la variable aleatoria Chi-cuadrado con n grados de libertad para
la secuencia de variables normales estándar, entonces la función generadora de momento será
entonces da
la densidad normal con media 0 y varianza σ2 se integra a 1
que es la función generadora de momento requerida de n grados de libertad.
Ejemplo de variable aleatoria uniforme
Encuentre la función generadora de momentos de la variable aleatoria X que se distribuye binomialmente con parámetros n y p dada la condicional variable aleatoria Y=p en el intervalo (0,1)
Solución: encontrar la función generadora de momentos de la variable aleatoria X dada Y
utilizando la distribución binomial, sin Y es la variable aleatoria uniforme en el intervalo (0,1)
Función de generación de momento conjunto
La función generadora de momentos conjuntos para el n número de variables aleatorias X1,X2,…,Xn
donde T1,t2, …… tn son los números reales, a partir de la función generadora de momentos conjuntos podemos encontrar la función generadora de momentos individuales como
Teorema: las variables aleatorias X1,X2,…,Xn son independientes si y solo si la función de generación de memento conjunto
Prueba: supongamos que las variables aleatorias dadas X1,X2,…,Xn son independientes entonces
Ahora suponga que la función generadora de momentos articulares satisface la ecuación
- para probar las variables aleatorias X1,X2,…,Xn son independientes, tenemos el resultado de que la función generadora de momentos conjuntos proporciona de forma única la distribución conjunta (este es otro resultado importante que requiere prueba), por lo que debemos tener una distribución conjunta que muestre que las variables aleatorias son independientes, por lo que se demuestra la condición necesaria y suficiente.
Ejemplo de función generadora de momento articular
Calcule la función generadora de momento articular de la variable aleatoria X + Y y XY
Solución: Dado que la suma de las variables aleatorias X + Y y la resta de las variables aleatorias XY son independientes en cuanto a las variables aleatorias independientes X e Y, la función generadora de momentos conjuntos para estas será
como esta función generadora de momentos determina la distribución conjunta, a partir de esto podemos tener X + Y y XY son variables aleatorias independientes.
2. Considere para el experimento el número de eventos contados y no contados distribuidos por distribución de Poisson con probabilidad py la media λ, demuestre que el número de eventos contados y no contados son independientes con las respectivas medias λp y λ (1-p).
Solución: Consideraremos X como el número de eventos y Xc el número de eventos contados, por lo que el número de eventos no contados es XXc, la función de generación de momento conjunto generará momento
y por el momento función generadora de distribución binomial
y quitando la expectativa de estos darán
Conclusión:
Mediante el uso de la definición estándar de función generadora de momento, se discutieron los momentos para las diferentes distribuciones como binomial, poisson, normal, etc., y la suma de estas variables aleatorias, ya sea la función generadora de momento discreta o continua para esas y la función generadora de momento conjunto, se obtuvo con ejemplos adecuados, si necesita más lectura, consulte los siguientes libros.
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Soy DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. He completado mi doctorado. en Matemáticas y trabajando como profesor asistente en Matemáticas. Contando con 12 años de experiencia en la docencia. Teniendo amplios conocimientos en Matemática Pura, precisamente en Álgebra. Tener la inmensa capacidad de diseño y resolución de problemas. Capaz de motivar a los candidatos para mejorar su desempeño.
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