Expectativa matemática y variable aleatoria
La expectativa matemática juega un papel muy importante en la teoría de la probabilidad, la definición básica y las propiedades básicas de la expectativa matemática ya discutimos en algunos artículos anteriores ahora después de discutir las diversas distribuciones y tipos de distribuciones, en el siguiente artículo nos familiarizaremos con algunas más propiedades avanzadas de la expectativa matemática.
Expectativa de suma de variables aleatorias | Expectativa de función de variables aleatorias | Expectativa de distribución de probabilidad conjunta
Sabemos que la expectativa matemática de una variable aleatoria de naturaleza discreta es
y para el continuo es
ahora para la variable aleatoria X e Y si es discreta entonces con la articulación función de probabilidad p (x, y)
La expectativa de función de la variable aleatoria X e Y será
y si es continuo, entonces con la función de densidad de probabilidad conjunta f (x, y) la expectativa de función de la variable aleatoria X e Y será
si g es la suma de estas dos variables aleatorias en forma continua,
y si para las variables aleatorias X e Y tenemos
X>Y
entonces la expectativa también
Ejemplo
Un hospital Covid-19 se distribuye uniformemente en la carretera de la longitud L en un punto X, un vehículo que transporta oxígeno para los pacientes se encuentra en una ubicación Y que también se distribuye uniformemente en la carretera, Calcule la distancia esperada entre el hospital Covid-19 y vehículo portador de oxígeno si son independientes.
Solución:
Para encontrar la distancia esperada entre X e Y tenemos que calcular E {| XY | }
Ahora la función de densidad conjunta de X e Y será
desde
siguiendo esto tenemos
ahora el valor de la integral será
Por lo tanto, la distancia esperada entre estos dos puntos será
Expectativa de la media de la muestra
Como media muestral de la secuencia de variables aleatorias X1, X2, ………, Xn con la función de distribución F y el valor esperado de cada uno como μ es
por lo que la expectativa de esta media muestral será
que muestra que el valor esperado de la media muestral también es μ.
Desigualdad de Boole
de boole la desigualdad se puede obtener con la ayuda de las propiedades de expectativas, supongamos que la variable aleatoria X se define como
donde
Aquí uni son los eventos aleatorios, esto significa que la variable aleatoria X representa la ocurrencia del número de eventos Ai y otra variable aleatoria Y como
con claridad.
X>=Y
E[X] >= E[Y]
y tambien
ahora, si tomamos el valor de la variable aleatoria X e Y, estas expectativas serán
y
Sustituyendo estas expectativas en la desigualdad anterior, obtendremos la desigualdad de Boole como
Expectativa de la variable aleatoria binomial | Media de la variable aleatoria binomial
Sabemos que la variable aleatoria binomial es la variable aleatoria que muestra el número de éxitos en n ensayos independientes con probabilidad de éxito como p y fracaso como q = 1-p, entonces si
X = X1 + X2+ ……. + Xn
Dónde
aquí estas Xi son los bernoulli y la expectativa será
entonces la expectativa de X será
Expectativa de variable aleatoria binomial negativa | Media de la variable aleatoria binomial negativa
Sea una variable aleatoria X que representa el número de ensayos necesarios para recolectar r éxitos, entonces dicha variable aleatoria se conoce como variable aleatoria binomial negativa y se puede expresar como
aquí cada Xi denotar el número de intentos necesarios después del (i-1) st éxito para obtener el total de i éxitos.
Dado que cada uno de estos Xi representar la variable aleatoria geométrica y sabemos que la expectativa para la variable aleatoria geométrica es
so
que es el expectativa de variable aleatoria binomial negativa.
Expectativa de variable aleatoria hipergeométrica | Media de la variable aleatoria hipergeométrica
La expectativa o media de la variable aleatoria hipergeométrica la obtendremos con la ayuda de un ejemplo simple de la vida real, si se selecciona aleatoriamente n número de libros de un estante que contiene N libros de los cuales m son de matemáticas, entonces para encontrar el número esperado de Los libros de matemáticas permiten que X denote el número de libros de matemáticas seleccionados, entonces podemos escribir X como
donde
so
=n/n
lo que da
que es la media de dicha variable aleatoria hipergeométrica.
Número esperado de coincidencias
Este es un problema muy popular relacionado con la expectativa, suponga que en una habitación hay N número de personas que arrojan sus sombreros en el medio de la habitación y todos los sombreros se mezclan después de que cada persona elija al azar un sombrero y luego el número esperado de personas. que seleccionan su propio sombrero podemos obtener al dejar que X sea el número de coincidencias, por lo que
Dónde
dado que cada persona tiene la misma oportunidad de seleccionar cualquiera de los sombreros de N sombreros, entonces
so
lo que significa que exactamente una persona en promedio elige su propio sombrero.
La probabilidad de una unión de eventos.
Obtengamos la probabilidad de la unión de los eventos con la ayuda de la expectativa para los eventos Ai
con esto tomamos
así que la expectativa de esto será
y expandir usando la propiedad de expectativa como
Desde que tenemos
y
so
esto implica la probabilidad de unión como
Límites de la expectativa usando el método probabilístico
Suponga que S es un conjunto finito yf es la función sobre los elementos de S y
aquí podemos obtener el límite inferior para este m por la expectativa de f (s) donde "s" es cualquier elemento aleatorio de S cuya expectativa podemos calcular de modo
aquí obtenemos la expectativa como el límite inferior para el valor máximo
Identidad máxima-mínima
Máximo La identidad mínima es el máximo del conjunto de números al mínimo de los subconjuntos de estos números que es para cualquier número xi
Para mostrar esto, restrinjamos la xi dentro del intervalo [0,1], suponga una variable aleatoria uniforme U en el intervalo (0,1) y los eventos Ai ya que la variable uniforme U es menor que xi que sea
ya que al menos uno de los eventos anteriores ocurre cuando U es menor que uno del valor de xi
y
Claramente sabemos
y todos los eventos ocurrirán si U es menor que todas las variables y
la probabilidad da
tenemos el resultado de la probabilidad de unión como
siguiendo esta fórmula de exclusión de inclusión para la probabilidad
que consideren
esto da
desde
lo que significa
- por lo tanto, podemos escribirlo como
tomando la expectativa podemos encontrar los valores esperados de los mínimos máximos y parciales como
Conclusión:
La expectativa en términos de varias distribuciones y correlación de la expectativa con algunos de los teoría de probabilidad Los conceptos fueron el enfoque de este artículo que muestra el uso de la expectativa como una herramienta para obtener los valores esperados de diferentes tipos de variables aleatorias. Si necesita más información, consulte los libros a continuación.
Para obtener más artículos sobre matemáticas, consulte nuestro Página de matemáticas.
https://en.wikipedia.org/wiki/Expectation
Un primer curso de probabilidad de Sheldon Ross
Esquemas de probabilidad y estadística de Schaum
Una introducción a la probabilidad y la estadística por ROHATGI y SALEH
Soy DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. He completado mi doctorado. en Matemáticas y trabajando como profesor asistente en Matemáticas. Contando con 12 años de experiencia en la docencia. Teniendo amplios conocimientos en Matemática Pura, precisamente en Álgebra. Tener la inmensa capacidad de diseño y resolución de problemas. Capaz de motivar a los candidatos para mejorar su desempeño.
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