Método de Macaulay y método del área de momento: 11 datos importantes

Contenido: Método de área de momento y método de Macaulay

Método de Macaulay Definición
Método de Macaulay para pendiente y deflexión
Ejemplo 1 del método de Macaulay: Pendiente y deflexión en una viga simplemente apoyada for Carga uniformemente distribuida
Ejemplo 2 del método de Macaulay: pendiente y deflexión en una viga saliente
Método de área de momento
Teorema del área de momento
Ejemplo relacionado con el método de área de momento
Momento de flexión por partes
Aplicación del método de área de momento en la viga en voladizo con carga uniformemente distribuida para encontrar pendiente y deflexión
Deflexión máxima debido a carga asimétrica
Preguntas y respuestas sobre el método de Macaulay y el método de área de momento

El método de Macaulay

El Sr. WH Macaulay ideó el método de Macaulay. El método de Macaulay es muy eficaz para condiciones de carga discontinuas.

Macaulay Método (el método de doble integración) es una técnica utilizada en el análisis estructural para determinar la deflexión de vigas de Euler-Bernoulli y este método es muy útil para el caso de condición de carga discontinua y / o discreta.

Método de Macaulay para pendiente y deflexión

Considere una pequeña sección de una viga en la que, en una sección particular X, la fuerza de corte es Q y el momento de flexión es M Como se muestra abajo. En otra sección Y, distancia 'una' a lo largo de la Viga, una carga concentrada F se aplica lo que cambiará el momento de flexión para los puntos más allá Y.

Entre X y Y,

$\\\\M=EI \\frac{d^2 y}{dx^2}=M+Qx…………[1]\\\\\\\\EI \\frac{dy}{dx }=Mx+Q\\frac{x^2}{2} +C_1……………[2]\\\\\\\\EIy=M \\frac{x^2}{2}+Q \\frac{x^3}{6}+C_1 x+C_2…………[3]$

Y más allá de Y

$M=EI \\frac{d^2 y}{dx^2}=M+Qx-F(x-a)…………… [4]\\\\\\\\EI \\frac{d y}{ dx}=Mx+Q (x^2/2)-F (x^2/2)+Fax+C_3……………… [5]$

$EIy = M (x ^ 2/2) + Q (x ^ 3/6) -F (x ^ 3/6) + Fa (x ^ 2/2) C_3 x + C_4 …………… [6]$

Para la pendiente en Y, igualando [5] y [2] obtenemos,

$Mx + Q (x ^ 2/2) + C_1 = Mx + Q (x ^ 2/2) -F (x ^ 2/2) + Fax + C_3$

Pero en el punto Y, x = a

$C_1=-F (a^2/2)+Fa^2+C_3\\\\\\\\C_3=C_1-F (a^2/2)$

Sustituyendo la ecuación anterior en [5]

$EI \\frac{dy}{dx}=Mx+Q (x^2/2)-F (x^2/2)+Fax+C_1-F (a^2/2)$

$EI \\frac{dy}{dx}=Mx+Q (x^2/2)-F(x-a)^2/2+C_1………….[7]$

Además, para la misma deflexión en Y igualando (3) y (6), con (x = a) obtenemos

$M(a^2/2)+Q(a^3/6)+C_1 a+C_2=M(a^2/2)+Q(a^3/6)-F(a^3/6)+F(a^3/6)+C_3 a+C_4$

Al resolver estas ecuaciones y sustituir el valor de C3

$C_4 = F (a ^ 3/6) + C_2$

Sustituyendo en la ecuación [6] obtenemos,

$\\large EIy=M x^2/2+Q x^3/6-F x^3/6+Fa (x^2/2)(C_1-F a^2/2)x+F(a^3/6)+C_2$

$\\grande EIy=M x^2/2+Q x^3/6-F (x-a)^3/6+C_1 x+C_2…………[8]$

Investigando más las ecuaciones [4], [7] y [8] podemos concluir que el Método de Integración Única para obtener Pendiente y deflexión seguirá siendo aplicable siempre que el término F (xa) está integrado con respecto a (xa) y no x. Además, el término W (xa) es aplicable solo para (x> a) o cuando (xa) es positivo. Por lo tanto, estos términos se denominan Términos de Macaulay. Términos de Macaulay deben integrarse con respecto a sí mismos y deben descuidarse cuando son negativos.

Por lo tanto, la ecuación generalizada para toda la Viga se convierte en,

$M=EI \\frac{d^2 y}{dx^2}=M+Qx-F(xa)$

Ejemplo 1 del método de Macaulay: pendiente y deflexión en una viga simplemente apoyada para carga uniformemente distribuida

Considere una viga simplemente apoyada con carga uniformemente distribuida en todo el tramo. Deje que el peso actúe a una distancia a del final A y W2 actuando a una distancia b del extremo A.

foto 6 — Viga simplemente apoyada con carga uniformemente distribuida en todo el tramo

La ecuación del momento flector para la viga anterior puede estar dada por

$EI\\frac{d^2 y}{dx^2}=R_A xw(x^2/2)- W_1 (xa)-W_2 (xb)$

El UDL aplicado sobre la viga completa no requiere ningún tratamiento especial asociado con los brackets de Macaulay o los términos de Macaulay. Tenga en cuenta que los términos de Macaulay están integrados con respecto a ellos mismos. Para el caso anterior (xa), si sale negativo, debe ignorarse. La sustitución de las condiciones finales producirá los valores de las constantes de integración de la forma convencional y, por tanto, el valor requerido de pendientes y deflexión.

En este caso, el UDL comienza en el punto B, la ecuación del momento flector se modifica y el término de carga distribuida uniformemente se convierte en términos de soporte de Macaulay.

La ecuación del momento flector para el caso anterior se da a continuación

$EI \\frac{d^2 y}{dx^2}=R_A xw[(xa)^2/2]- W_1 [(xa)]-W_2 [(xb)]$

Integrando obtenemos,

$EI\\frac{dy}{dx}=R_A(x^2/2)-w[(x-a)^3/6]-W_1 [(x-a)^2/2]-W_2 [(x-b)^2/2]+A$

$EIy=R_A(x^3/6)-w[(x-a)^4/24]-W_1 [(x-a)^3/6]-W_2 [(x-b)^3/6]+Ax+B$

Ejemplo 2 del método de Macaulay: pendiente y deflexión en una viga saliente

A continuación se muestra la viga que sobresale en la Fig. (A), necesitamos calcular

Vea también 11+ Ejemplo de equilibrio térmico: explicaciones detalladas

(1) el equⁿ para la curva elástica.

(2) los valores medios entre los soportes y en el punto E (indique si cada uno está hacia arriba o hacia abajo).

Para determinar el momento flector para la viga anterior, se utiliza la carga equivalente, que se muestra a continuación en la Figura (b). Para usar el soporte de Macaulay en las ecuaciones del momento flector, debemos extender cada carga distribuida al extremo derecho de la viga. Extendemos las cargas de 800 N / m al punto E y eliminamos la porción innecesaria aplicando cargas iguales y opuestas a CE. La expresión global para el momento flector representado por el diagrama de cuerpo libre en la figura (c).

Sustituyendo M en la ecuación diferencial de la curva elástica,

$EI\\frac{d^2 y}{dx^2}=1000x-400(x-1)^2+400(x-4)^2+2600(x-6)$

Integrándolo,

$EI\\frac{dy}{dx}=500x^2-400 (x-1)^3/3+400 (x-4)^3/3+1300(x-6)^2+P$

Una vez más, integrándolo,

$EIy=500x^3/3 -100 (x-1)^4/3+100 (x-4)^4/3+1300 (x-6)^3/3+Px+Q….[a]$

En el punto A, la deflexión está restringida debido al apoyo simple en A. Por lo tanto, en x = 0, y = 0,

$EI*0=500*0^3/3-100 (0-1)^4/3+100 (0-4)^4/3+1300 (0-6)^3/3+P*0+Q\\\\\\\\Q=-85100$

Nuevamente, en el punto D, la deflexión está restringida debido al apoyo simple en D. en x = 6 m, y = 0,

$EI*0=500*6^3/3-100 *(6-1)^4/3+100 *(6-4)^4/3+1300*(6-6)^3/3+P*6-85100\\\\\\\\0=500*6^3/3-100 *(5)^4/3+100*(2)^4/3+0+P*6-85100\\\\\\\\P= -69400$

Cuando sustituimos los valores de P y Q por la ecuación. (a), obtenemos

$EIy=500 x^3/3-100 (x-1)^4/3+100(x-4)^4/3 +1300 (x-6)^3/3-69400x-85100….[b]$

Esta es la ecuación generalizada para encontrar la deflexión sobre el tramo completo de la viga que sobresale.

Para encontrar la deflexión a una distancia de 3 m del extremo izquierdo A, sustituya el valor de x = 3 en la Ec. (segundo),

La ecuación de la curva elástica así obtenida viene dada por,

$EIy=500*3^3/3 -100*(3-1)^4/3+100*(3-4)^4/3+1300*(3-6)^3/3-69400*3-85100$

$Nosotros\\; tener\\; a\\; nota\\; eso\\; (3-4)^4=0 \\;y \\;(3-6)^3=0$

$EIy=-289333.33 \\;N.m^3$

El signo negativo del valor indica que la desviación del rayo es hacia abajo en esa región.
Ahora encontrando la Deflexión en el extremo de la Viga, es decir, en el Punto E
Ponga x = 8 m en la ecuación. [segundo]

$EIy=500*8^3/3-100*(8-1)^4/3+100*(8-4)^4/3+1300*(8-6)^3/3-69400*8-85100$

$EIy=-699800 \\;N.m^3$

Nuevamente, el signo negativo indica la desviación hacia abajo.

Método de área de momento

Para determinar la pendiente o la deflexión de una viga en una ubicación específica, el método del área de momento se considera más efectivo.

En este Método Momento Área, la integración del momento flector se realiza indirectamente, utilizando las propiedades geométricas del área bajo el diagrama de momento flector, asumimos que la deformación de la Viga está por debajo del rango elástico y esto da como resultado pequeñas pendientes y pequeños desplazamientos.

El método del primer teorema del área de momento trata con pendientes; el método del segundo teorema del área del momento trata con las deflexiones. Estos dos teoremas forman los fundamentos del método del área del momento.

Área de momento Teorema

Primero - Teorema del área del momento

Considere un segmento de viga que inicialmente es recto. La curva elástica AB para el segmento considerado se muestra en la figura (a). Considere dos secciones transversales de la viga en P y Q y gírelas a través del ángulo dϴ entre sí también separadas por la distancia dx.

Supongamos que las secciones transversales permanecen perpendiculares al eje de la viga.

dϴ = Diferencia en la pendiente de la curva P y Q como se muestra en la Fig. (a).

De la geometría dada, vemos que dx = R dϴ, donde R es el radio de curvatura de la curva elástica del elemento deformado. Por tanto, dϴ = dx / R, que al utilizar la relación momento-curvatura.

$\\frac{1}{R}=\\frac{M}{EI} \\;se convierte en\\;d\\theta=\\frac{M}{EI}dx \\;\\;……… …..[a]$

La integración de la ecuación (a) sobre el segmento AB produce

$\\int_{B}^{A}d\\theta=\\int_{B}^{A}\\frac{M}{EI}dx\\;\\;………………..[b ]$

foto 14 — (a) Curva elástica de la viga (b) DMO del segmento.

El lado izquierdo de la ecuación. (b) es el cambio en la pendiente entre A y B. El lado derecho representa el área bajo el diagrama M / EI entre A y B, que se muestra como el área sombreada en la Fig. (b). Si introducimos la notación adecuada, Eq. (b) se puede expresar en la forma

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$\\theta_{B/A}=Área\\;de \\;Momento de Flexión\\; Diagrama \\;para\\;sección\\;A-B$

Este es el primer teorema del método de área de momento. El método del primer teorema del área del momento trata con pendientes

Segundo - Teorema del área del momento

Sea t (B / A) la distancia vertical del punto B desde la tangente a la curva elástica en A. Esta distancia se denomina desviación tangencial de B con respecto a A. Para calcular la desviación tangencial, primero determinamos la contribución dt del elemento infinitesimal PQ.

Luego usamos la integración de A a B dt = t (B / A) para sumar todos los elementos entre A y B. Como se muestra en la figura, dt es la distancia vertical en B entre las tangentes dibujadas a la curva elástica en P y P. Recordando que las pendientes son muy pequeñas, obtenemos de la geometría,

$dt=x'd\\theta$

Donde x 'es la distancia horizontal del elemento a B. Por lo tanto, la desviación tangencial es

$t_{B/A}=\\int_{B}^{A}dt=\\int_{B}^{A}x' d\\theta$

foto 16 — (a) Curva elástica de la viga. (b) DMO para el segmento.

Poniendo el valor dϴ de en la Ecuación [a] obtenemos,

$t_{B/A}=\\int_{B}^{A}\\frac{M}{EI}x'dx\\;\\;………………..[c]$

El lado derecho de la ecuación. (c) representa el primer momento del área sombreada del diagrama M / (EI) de la figura (b) con respecto al punto B. Denotando la distancia entre B y el centroide C de esta área por, podemos escribir la ecuación. (c) como

$t_{B/A}= Área \\;de \\;M/EI \\;diagrama\\; para\\; sección\\; A-B* \\bar{x}_B$

$t_{B/A}= Distancia \\;de\\; Centro\\; de\\; gravedad \\;de\\; DMO$

$\\bar{x}_B \\; es\\; la \\;Distancia \\;de\\; centro \\;de \\;gravedad \\;de \\;M/EI \\;desde \\;punto \\;bajo\\; consideración\\; (B).$

Este es el segundo teorema del método del área de momento. El segundo método del teorema Moment Area se ocupa de las deflexiones.

Momento de flexión por partes

Para el estudio de aplicaciones complejas, la evaluación del ángulo ϴ (B/A) y la desviación tangencial se pueden simplificar evaluando de forma independiente el efecto de cada carga que actúa sobre la viga. Una separacion Diagrama de momento de flexión se dibuja para cada carga, y la pendiente se obtiene mediante la suma algebraica de las áreas bajo las diversas BMD. De manera similar, la deflexión se obtiene sumando el área del primer momento alrededor de un eje vertical que pasa por el punto B. Se traza un diagrama de momento de flexión en partes. Cuando un momento de flexión se dibuja en partes, las diversas áreas definidas por el BMD consisten en formas, como el área bajo curvas de segundo grado, curvas cúbicas, rectángulos, triángulos y curvas parabólicas, etc.

Pasos para dibujar momentos flectores por partes

Proporcione el soporte fijo adecuado en la ubicación deseada. Los soportes simples se consideran generalmente la mejor opción; sin embargo, se utiliza otro tipo de apoyo dependiendo de la situación en cuestión.
Calcule las reacciones de los apoyos y suponga que son cargas aplicadas.
Dibuje un diagrama de momento flector para cada carga. Siga las convenciones de señales adecuadas mientras dibuja el diagrama de momento flector.
La pendiente se obtiene mediante la suma algebraica de las áreas bajo las diversas DMO.
la deflexión se obtiene sumando el área del primer momento alrededor de un eje vertical que pasa por el punto B.

Aplicación del método de área de momento en la viga en voladizo con carga uniformemente distribuida para encontrar pendiente y deflexión

Considere una viga en voladizo con soporte simple con carga uniformemente distribuida de A a B y de C a D como se muestra a continuación [. Encuentre la pendiente y la deflexión utilizando el método de área de momento.]

Viga en voladizo con carga distribuida uniformemente utilizando el método de área de momento

A partir de un diagrama de cuerpo libre de la viga, determinamos las reacciones y luego dibujamos los diagramas de cortante y momento flector, ya que la rigidez a la flexión de la viga es constante, para calcular el diagrama (M / EI) necesitamos dividir cada valor de M por EI.

$R_B + R_D = 2 * 3 * 200$

$R_B + R_D = 1200$

$También\\;\\sum M_B=0$

$(200*3*1.5)+(R_D*10)=200*3*11.5$

$R_D = 600 N$

$Por lo tanto,\\;R_B=600 N$

Dibujar un diagrama de fuerza cortante y momento flector para la viga dada

Para tangente de referencia: dado que la viga es simétrica junto con su carga con respecto al punto C. La tangente en C actuará como una tangente de referencia. Del diagrama de arriba

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$arriba\\;\\theta_c=0$

Por tanto, la tangente en E puede estar dada por,

$\\theta_E=\\theta_c+\\theta_{E/C}=\\theta_{E/C} …………..[1]$

macaulay 2 — Diagrama de área de momento con cálculos

Pendiente en E: de acuerdo con el diagrama M / EI y aplicando el método del área del primer momento como se discutió anteriormente, obtenemos,

$A_1= \\frac{-(wa^2)}{2EI}*(L/2)$

$A_1=\\frac{-(200*3^2)}{2*20.18*10^3}*5$

$A_1 = -0.2230$

Del mismo modo, para A2

$A_2=(1/3)* \\frac{-(wa^2)}{2EI}*a$

$A_2=(1/3)*\\frac{-(200*3^2)}{2*20.18*10^3}*3$

$A_2 = -0.0446$

De la ecuación [1] obtenemos,

$\\theta_E=A_1+A_2$

$\\theta_E=-0.2230-0.0446=-0.2676$

La deflexión en el punto E se puede calcular utilizando el método del segundo momento del área

$t_ {D / C} = A_1 * [L / 4]$

$t_ {D / C} = (- 0.2230) * [10/4]$

$t_ {D / C} = - 0.5575$

De manera similar, los

$t_{E/C}=A_1*(a+L/4)+A_2 *(3a/4)$

$t_{E/C}=(-0.2230)*(3+10/4)+(-0.0446)*(3*3/4)$

$t_ {E / C} = - 1.326$

Pero sabemos que

$y_E=t_{E/C}-t_{D/C}\\\\y_E=-1.326-(-0.5575)\\\\y_E=-0.7685 m$

Deflexión máxima debido a carga asimétrica

Cuando una viga simplemente apoyada lleva una carga asimétrica, la deflexión máxima no ocurrirá en el centro de la viga y se requiere identificar el punto K de la viga donde la tangente es horizontal para evaluar la deflexión máxima en una viga.

Comenzamos encontrando tangentes de referencia en uno de los soportes de la viga. Dejar ϴa sea la pendiente de la tangente en el Soporte A.
Calcule la desviación tangencial t del apoyo B con respecto a A.
Dividir la cantidad obtenida por el tramo L entre los soportes A y B.
Desde la pendiente ϴk= 0, debemos obtener,

$\\theta_{K/A}= \\theta_K-\\theta_A=-\\theta_A$

Usando el primer teorema del área de momento, podemos predecir de manera concluyente que el punto K se puede encontrar midiendo un área A

$Área\\;A=\\theta_{K/A}=-\\theta_A\\;bajo M/EI\\;Diagrama$

Por observación concluimos que la deflexión máxima y (max) = la desviación tangencial t del apoyo A con respecto a K (Fig. A) y podemos determinar y (max) calculando el área del primer momento entre el apoyo A y el punto K con respecto al eje vertical.

Pregunta y respuesta del método de Macaulay y el método del área de momento

P.1) ¿Qué método es útil para determinar la pendiente y la deflexión en un punto de una viga?

Respuesta: El método de Macaulay es muy eficaz para este caso.

P.2) ¿Qué establece el Método del Área del Segundo Momento?

Respuesta: El método del área del segundo momento establece que "el momento del diagrama de momento flector DMO entre dos puntos cualesquiera en una línea elástica dividido por la rigidez de flexión (EI) es igual a la intersección tomada en una línea de referencia vertical de la tangente en estos puntos sobre la línea de referencia ".

Q.3) Calcule la deflexión de la viga si la pendiente es 0.00835 radianes. ¿La distancia desde el extremo libre al centro de gravedad del momento flector es de 5 m?

Respuesta: La deflexión en cualquier punto de la curva elástica es igual a Mx / EI.

Pero sabemos que M / EI es la ecuación de pendiente = 0.00835 rad.

Entonces, Deflexión = pendiente × (La distancia desde el extremo libre hasta el centro de gravedad del momento flector

Deflexión = 0.00835 * 5 = 0.04175 m = 41.75 mm.

Para saber sobre la resistencia del material (haga clic aquí)y diagrama de momento flector Haga clic aquí .

Hakimuddin Bawangaonwala

Soy Hakimuddin Bawangaonwala, ingeniero de diseño mecánico con experiencia en diseño y desarrollo mecánico. He completado la maestría en tecnología en ingeniería de diseño y tengo 2.5 años de experiencia en investigación. Hasta ahora publicado Dos artículos de investigación sobre torneado duro y análisis de elementos finitos de accesorios de tratamiento térmico. Mi área de interés es el diseño de máquinas, resistencia de materiales, transferencia de calor, ingeniería térmica, etc. Competente en software CATIA y ANSYS para CAD y CAE. Aparte de la investigación.

Método de Macaulay y método del área de momentos: 11 datos importantes

Contenido: Método de área de momento y método de Macaulay

El método de Macaulay

Método de Macaulay para pendiente y deflexión

Ejemplo 1 del método de Macaulay: pendiente y deflexión en una viga simplemente apoyada para carga uniformemente distribuida

Ejemplo 2 del método de Macaulay: pendiente y deflexión en una viga saliente

Método de área de momento

Área de momento Teorema

Primero - Teorema del área del momento

Segundo - Teorema del área del momento

Momento de flexión por partes

Pasos para dibujar momentos flectores por partes

Aplicación del método de área de momento en la viga en voladizo con carga uniformemente distribuida para encontrar pendiente y deflexión

Deflexión máxima debido a carga asimétrica

Pregunta y respuesta del método de Macaulay y el método del área de momento

P.1) ¿Qué método es útil para determinar la pendiente y la deflexión en un punto de una viga?

P.2) ¿Qué establece el Método del Área del Segundo Momento?

Q.3) Calcule la deflexión de la viga si la pendiente es 0.00835 radianes. ¿La distancia desde el extremo libre al centro de gravedad del momento flector es de 5 m?

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El método de Macaulay

Método de Macaulay para pendiente y deflexión

Ejemplo 1 del método de Macaulay: pendiente y deflexión en una viga simplemente apoyada para carga uniformemente distribuida

Ejemplo 2 del método de Macaulay: pendiente y deflexión en una viga saliente

Método de área de momento

Área de momento Teorema

Primero - Teorema del área del momento

Segundo - Teorema del área del momento

Momento de flexión por partes

Pasos para dibujar momentos flectores por partes

Aplicación del método de área de momento en la viga en voladizo con carga uniformemente distribuida para encontrar pendiente y deflexión

Deflexión máxima debido a carga asimétrica

Pregunta y respuesta del método de Macaulay y el método del área de momento

P.1) ¿Qué método es útil para determinar la pendiente y la deflexión en un punto de una viga?

P.2) ¿Qué establece el Método del Área del Segundo Momento?

Q.3) Calcule la deflexión de la viga si la pendiente es 0.00835 radianes. ¿La distancia desde el extremo libre al centro de gravedad del momento flector es de 5 m?

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Hola compañero lector,