Locus / Centroide / Desplazamiento de origen / Colinealidad de tres puntos / Incentro / -La parte más importante de los puntos - Geometría de coordenadas 2D

Locus en geometría de coordenadas 2D

Locus es una palabra latina. Se deriva de la palabra "Lugar" o "Ubicación". El plural de locus es Loci.

Definición de locus:

En Geometría, 'Locus' es un conjunto de puntos que satisfacen una o más condiciones específicas de una figura o forma. En las matemáticas modernas, la ubicación o la trayectoria en la que se mueve un punto en el plano que satisface unas condiciones geométricas dadas se denomina lugar geométrico del punto.

El lugar se define para la línea, el segmento de línea y las formas curvas regulares o irregulares, excepto las formas que tienen vértices o ángulos dentro de ellos en Geometría. https://en.wikipedia.org/wiki/Coordinate_system

Ejemplos de Locus:

líneas, círculos, elipse, parábola, hipérbola, etc. todas estas formas geométricas están definidas por el lugar geométrico de los puntos.

Ecuación del locus:

La forma algebraica de las propiedades o condiciones geométricas que son satisfechas por las coordenadas de todos los puntos en Locus, se conoce como la ecuación del lugar geométrico de esos puntos.

Método de obtención de la ecuación del locus:

Para encontrar la ecuación del lugar geométrico de un punto en movimiento en un plano, siga el proceso que se describe a continuación.

(i) Primero, suponga que las coordenadas de un punto en movimiento en un plano son (h, k).

(ii) En segundo lugar, obtenga una ecuación algebraica con h y k a partir de las condiciones o propiedades geométricas dadas.

(iii) En tercer lugar, reemplace h y k por xey respectivamente en la ecuación anterior. Ahora, esta ecuación se llama la ecuación del lugar geométrico del punto en movimiento en el plano. (x, y) son las coordenadas actuales del punto en movimiento y la ecuación del lugar geométrico siempre debe derivarse en forma de xey, es decir, coordenadas actuales.

A continuación se muestran algunos ejemplos para aclarar la concepción sobre locus.

4 + diferentes tipos de problemas resueltos en Locus:

1 problema: If P ser cualquier punto en el plano XY que sea equidistante de dos puntos dados A (3,2) y B (2, -1) en el mismo plano, luego encuentre el lugar geométrico y la ecuación del lugar geométrico del punto P con gráfica.

Solución: 

Lugar
Representación grafica

Suponga que las coordenadas de cualquier punto en el lugar geométrico de P en el plano XY son (h, k).

Dado que, P es equidistante de A y B, podemos escribir

La distancia de P a A = La distancia de P a B

O, \ left | PA \ right |=\ left | PB \ right |

{\ left | \ sqrt {(h-3) ^ {2} + (k-2) ^ {2}} \ right |} = {\ left | \ sqrt {(h-2) ^ {2} + (k + 1) ^ {2}} \ right |

{\ left | \ sqrt {(h ^ {2} -6h + 9 + k ^ {2} -4k + 4)} \ right |} = {\ left | \ sqrt {(h ^ {2} -4h + 4 + k ^ {2} + 2k + 1} \ right |}

O, (h2 -6h + 9 + k2 -4k + 4) = (h2 -4h + 4 + k2 + 2k + 1) ——– tomando cuadrado a ambos lados.

O, h2 -6h + 13 + k2 -4k -h2+ 4h-5-k2 -2k = 0

O, -2h -6k + 8 = 0

O, h + 3k -4 = 0

O, h + 3k = 4 ——– (1)

Ésta es una ecuación de primer grado de hy k.

Ahora, si h y k se reemplazan por xey, entonces la ecuación (1) se convierte en la ecuación de primer grado de xey en la forma de x + 3y = 4 que representa una línea recta.

Por lo tanto, el lugar geométrico del punto P (h, k) en el plano XY es una línea recta y la ecuación del lugar geométrico es x + 3y = 4. (Resp.)


2 problema: Si un punto R se mueve en el plano XY de tal manera que RA: RB = 3: 2 donde las coordenadas de los puntos A y B son (-5,3) y (2,4) respectivamente en el mismo plano, luego encuentre el lugar geométrico del punto R.

¿Qué tipo de curva indica la ecuación del lugar geométrico de R?

Solución: Supongamos que las coordenadas de cualquier punto en el lugar geométrico de un punto dado R en el plano XY sea (m, n).

Condición dada por Asper RA: RB = 3: 2,

tenemos,

(La distancia de R a A) / (La distancia de R a B) = 3/2

\ frac {\ left | \ sqrt {(m + 5) ^ {2} + (n-3) ^ {2}} \ right |} {\ left | \ sqrt {(m-2) ^ {2} + (n-4) ^ {2}} \ right |}= 3 / 2

\ frac {\ left | \ sqrt {(m ^ {2} + 10m + 25 + n ^ {2} -6n + 9)} \ right |} {\ left | \ sqrt {(m ^ {2} -4m + 4 + n ^ {2} -8n + 16} \ right |} = 3 / 2

O, (m2 + 10m + 34 + n2 -6n) / (m2 -4m + n2 -8n + 20) = 9/4 ———– tomando cuadrado a ambos lados.

O bien, 4 (m2 + 10m + 34 + n2 -6n) = 9 (m2 -4m + n2 -8n + 20)

O 4 m2 + 40m + 136 + 4n2 -24n = 9m2 -36m + 9n2 -72n + 180)

O 4 m2 + 40m + 136 + 4n2 -24n - 9m2 + 36m-9n2 + 72n-180 = 0

O, -5 m2 + 76m-5n2+ 48n-44 = 0

O bien, 5 (m2+n2) -76m + 48n + 44 = 0 ———- (1)

Esta es una ecuación de segundo grado de my n.

Ahora, si myn se reemplazan por xey, la ecuación (1) se convierte en la ecuación de segundo grado de xey en la forma de 5 (x2+y2) -76x + 48y + 44 = 0 donde los coeficientes de x2 e y2 son iguales y el coeficiente de xy es cero. Esta ecuación representa un círculo.

Por lo tanto, el lugar geométrico del punto R (m, n) en el plano XY es un círculo y la ecuación del lugar geométrico es

5 (x2+y2) -76x + 48y + 44 = 0 (Resp.)


3 problema: Para todos los valores de  \ theta, (un Cos\ theta , b Pecado\ theta) son las coordenadas de un punto P que se mueve en el plano XY. Encuentre la ecuación del lugar geométrico de P.

Solución: sean (h, k) las coordenadas de cualquier punto que se encuentre en el lugar geométrico de P en el plano XY.

Entonces, según la pregunta, podemos decir

h = a Cos\ theta

O, h / a = Cos\ theta ————— (1)

Y k = b Sin\ theta

O, k / b = Sin\ theta ————— (2)

Ahora, tomando el cuadrado de las ecuaciones (1) y (2) y luego sumando, tenemos la ecuación

h2/a2 + k2/b2 = Cos2\ theta + Pecado2\ theta

O, h2/a2 + k2/b2 = 1 (Dado que Cos2\ theta + Pecado2\ theta = 1 en trigonometría)

Por tanto, la ecuación del lugar geométrico del punto P es x2/a2 + y2/b2 = 1. (Resp.)


Problema 4: Encuentre la ecuación del lugar geométrico de un punto Q, moviéndose en el plano XY, si las coordenadas de Q son

( \ frac {7u-2} {3u + 2} , \ frac {4u + 5} {u-1} ) donde u es el parámetro variable.

solución: Sea (h, k) las coordenadas de cualquier punto en el lugar geométrico del punto Q dado mientras se mueve en el plano XY.

Entonces, h = \ frac {7u-2} {3u + 2} y k = \ frac {4u + 5} {u-1}

es decir, h (3u + 2) = 7u-2 y k (u-1) = 4u + 5

es decir, (3h-7) u = -2h-2 y (k-4) u = 5 + k

es decir, u = \ frac {-2h-2} {3h-7} ————— (1)

y u = \ frac {5 + k} {k-4} ————— (2)

Ahora igualando las ecuaciones (1) y (2), obtenemos, \ frac {-2h-2} {3h-7} = \ frac {5 + k} {k-4}

O, (-2h-2) (k-4) = (3h-7) (5 + k)

O bien, -2hk + 8h-2k + 8 = 15h + 3hk-35-7k

O bien, -2hk + 8h-2k-15h-3hk + 7k = -35-8

O bien, -5hk-7h + 5k = -43

O bien, 5hk + 7h-5k = 43

Por lo tanto, la ecuación del lugar geométrico de Q es 5xy + 7x-5y = 43.


Más ejemplos de Locus con respuestas para practicar por su cuenta:

Problemas 5: If \ theta sea ​​una variable yu una constante, luego encuentre la ecuación del lugar geométrico del punto de intersección de las dos rectas x Cos\ theta + y Sin\ theta = u y x Sin\ theta - y Cos\ theta = u. (Resp. X2+y2 = 2u2 )

Problemas 6: Encuentre la ecuación del lugar geométrico del punto medio del segmento de línea de la línea recta x Sin\ theta + y Cos\ theta = t entre los ejes. (Resp. 1 / x2+ 1 /y2 = 4 / t2 )

Problemas 7: Si un punto P se mueve de tal manera en el plano XY que el área del triángulo formada por el punto con dos puntos (2, -1) y (3,4). (Resp. 5x-y = 11)


Ejemplos básicos de las fórmulas "Centroide de un triángulo"  en geometría de coordenadas 2D

Centroide: Las tres medianas de un triángulo siempre se cruzan en un punto, ubicado en el área interior del triángulo y divide la mediana en la proporción 2: 1 desde cualquier vértice hasta el punto medio del lado opuesto. Este punto se llama centroide del triángulo.   

Problemas 1: Encuentre el centroide del triángulo con vértices (-1,0), (0,4) y (5,0).

Solución:  Ya sabemos,

                                             If  Hacha1,y1), B (x2,y2) y C (x3,y3) ser los vértices de un triángulo y G (x, y) ser el centroide del triángulo, luego Coordenadas de G son

\ textbf {} x = \ frac {\ left (x_ {1} + x_ {2} + x_ {3} \ right)} {3}

y

\ textbf {} x = \ frac {\ left (y_ {1} + y_ {2} + y_ {3} \ right)} {3}

Usando esta fórmula tenemos, 

(x1,y1) ≌ (-1,0) es decir x1=-1, y1=0;

(x2,y2) ≌ (0,4) es decir   x2= 0, y2= 4 y

(x3,y3) ≌ (5,0) es decir   x3= 5, y3=0

(Ver cuadro de fórmulas)

Representación grafica

Entonces, la coordenada x del centroide G,   \ textbf {} x = \ frac {\ left (x_ {1} + x_ {2} + x_ {3} \ right)} {3}

es decir, \ textbf {} x = \ frac {\ left (-1 + 0 + 5 \ right)} {3}

es decir, \ textbf {} x = \ frac {\ left 4 \ right} {3}

                  

la coordenada y del centroide G,  \ textbf {} y = \ frac {\ left (y_ {1} + y_ {2} + y_ {3} \ right)} {3}

es decir, \ textbf {} y = \ frac {\ left (0 + 4 + 0 \ right)} {3}

es decir, \ textbf {} y = \ frac {\ left 4 \ right} {3}

Por lo tanto, las coordenadas del centroide del triángulo dado son ( \ frac {\ left 4 \ right} {3} , \ frac {\ left 4 \ right} {3} ) . (Respuesta)

A continuación, se ofrecen más problemas resueltos para practicar más utilizando el procedimiento descrito en el problema 1 anterior: -

Problemas 2: Encuentra las coordenadas del centroide del triángulo con vértices en los puntos (-3, -1), (-1,3)) y (1,1).

Ans. (-1,1)

Problemas 3: ¿Cuál es la coordenada x del centroide del triángulo con vértices (5,2), (10,4) y (6, -1)?

Ans.

Problemas 4: Tres vértices de un triángulo son (5,9), (2,15) y (11,12). Encuentra el centroide de este triángulo.

Ans. (6,12)


Cambio de origen / Traslación de ejes: geometría de coordenadas 2D

Cambio de origen significa cambiar el origen a un nuevo punto manteniendo la orientación de los ejes sin cambios, es decir, los nuevos ejes permanecen paralelos a los ejes originales en el mismo plano. Mediante este proceso de traslación de ejes o desplazamiento de origen, muchos problemas de ecuaciones algebraicas de una forma geométrica se simplifican y resuelven fácilmente.

La fórmula de "Desplazamiento de origen" o "Traslación de ejes" se describe a continuación con representación gráfica.

Fórmula:

Si O es el origen, P (x, y) será cualquier punto en el plano XY y O se desplazará a otro punto O ′ (a, b) contra el cual las coordenadas del punto P se convierten en (x1,y1) en el mismo plano con nuevos ejes X1Y1  , Entonces las nuevas coordenadas de P son

x1 = x- a

y1 = y- b

Representación gráfica para aclarar: Siga las gráficas

Pocos resueltos Problemas sobre la fórmula del 'Cambio de origen':

Problema-1: Si hay dos puntos (3,1) y (5,4) en el mismo plano y el origen se desplaza al punto (3,1) manteniendo los nuevos ejes paralelos a los ejes originales, entonces encuentre las coordenadas de el punto (5,4) con respecto al nuevo origen y ejes.

Solución: En comparación con la fórmula de 'Cambio de origen' descrita anteriormente, tenemos un nuevo origen, O ′ (a, b) ≌ (3,1) es decir, a = 3, b = 1 y el punto requerido P, (x, y) ≌ (5,4) es decir, x = 5, y = 4

Ahora si (x1,y1) sean las nuevas coordenadas del punto P (5,4), luego asper fórmula x1 = xa y y1 = yb,

obtenemos, x1 = 5-3 y y1 = 4-1

es decir, x1 = 2 y y1 =3

Por lo tanto, las nuevas coordenadas requeridas del punto (5,4) son (2,3). (Resp.)

Problema-2: Después de cambiar el origen a un punto en el mismo plano, dejando los ejes paralelos entre sí, las coordenadas de un punto (5, -4) se convierten en (4, -5). Encuentre las coordenadas del nuevo origen.

Solución: Aquí, usando la fórmula de 'Desplazamiento del origen' o 'Traslación de ejes', podemos decir que las coordenadas del punto P con respecto al origen antiguo y nuevo y los ejes respectivamente son (x, y) ≌ (5, -4) es decir x = 5, y = -4 y (x1,y1) ≌ (4, -5) es decir  x1= 4, y1= -5

Ahora tenemos que encontrar las coordenadas del nuevo origen. O ′ (a, b) es decir, a = ?, b =?

Fórmula de Asper,

x1 = x- a

y1 = y- b

es decir, a= xx1 y b= aa1

O, a=5-4 y b= -4 - (- 5)

O, a=1 y b= -4 + 5

O, a=1 y b= 1

Por lo tanto, O '(1,1) será el nuevo Origen, es decir, las coordenadas del nuevo Origen son (1,1). (Resp.)

Ejemplos básicos de las fórmulas "Colinealidad de puntos (tres puntos)" en geometría de coordenadas 2D

Problemas 1:  Compruebe si los puntos (1,0), (0,0) y (-1,0) son colineales o no.

Solución:  Ya sabemos,

                                            If  Hacha1,y1), B (x2,y2) y C (x3,y3) ser tres puntos colineales cualesquiera, entonces el área del triángulo formado por ellos debe ser cero, es decir el área del triángulo es ½ [x1 (y2- y3) + x2 (y3- y1) + x3 (y1-y2)] =0

(Ver cuadro de fórmulas)

Usando esta fórmula tenemos,

(x1,y1) ≌ (-1,0) es decir   x1=-1, y1= 0;

(x2,y2) ≌ (0,0) es decir   x2= 0, y2= 0;

(x3,y3) ≌ (1,0) es decir    x3= 1, y3= 0

Representación grafica

Entonces, el área del triángulo es = | ½ [x1 (y2,  y3) + x2 (y3,  y1) + x3 (y1-y2)] | es decir,.

(LHS) = | ½ [-1 (0-0) + 0 (0-0) + 1 (0-0)] |

= | ½ [(- 1) x0 + 0x0 + 1 × 0] |

= | ½ [0 + 0 + 0] |

= | ½ x 0 |

= 0 (derecha)

Por lo tanto, el área del triángulo formada por esos puntos dados se vuelve cero, lo que significa que están en la misma línea.

Por lo tanto, los puntos dados son puntos colineales. (Respuesta)

A continuación se ofrecen más problemas resueltos para practicar más utilizando el procedimiento descrito anteriormente. problema 1: -

Problemas 2: Compruebe si los puntos (-1, -1), (0,0) y (1,1) son colineales o no.

Ans.

Problemas 3: ¿Es posible trazar una línea a través de tres puntos (-3,2), (5, -3) y (2,2)?

Ans.No

Problemas 4: Compruebe si los puntos (1,2), (3,2) y (-5,2), conectados por líneas, pueden formar un triángulo en el plano de coordenadas.

Ans. No

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Ejemplos básicos de las fórmulas "Incentro de un triángulo" en geometría de coordenadas 2D

En el centro:Es el centro del círculo más grande del triángulo que encaja dentro del triángulo.También es el punto de intersección de las tres bisectrices de los ángulos interiores del triángulo.

Problemas 1: Los vértices de un triángulo con lados son (-2,0), (0,5) y (6,0) respectivamente. Encuentra el incentro del triángulo.

Solución: Ya sabemos,

If  Hacha1,y1), B (x2,y2) y C (x3,y3) sean los vértices, BC = a, CA = b y AB = c, G ′ (x, y) ser el incentivo del triangulo,

Las coordenadas de GRAMO' son

\ textbf {} x = \ frac {ax_ {1} + bx_ {2} + cx_ {3}} {a + b + c}

y         

\ textbf {} y = \ frac {ay_ {1} + by_ {2} + cy_ {3}} {a + b + c}

(Ver cuadro de fórmulas)

Según la fórmula que tenemos,

(x1,y1) ≌ (-4,0) es decir  x1=-4, y1=0;

(x2,y2) ≌ (0,3) es decir  x2= 0, y2= 3;

(x3,y3) ≌ (0,0) es decir   x3= 0, y3=0

Tenemos ahora

a = √ [(x2-x1)2+ (y2-y1)2 ]

O a = √ [(0 + 4)2+ (3-0)2 ]

O a = √ [(4)2+ (3)2 ]

O, a = √ (16 + 9)

O a = √25

O, a = 5 —————— (1)

b = √ [(x1-x3)2+ (y1-y3)2 ]

O bien, b = √ [(-4-0)2+ (0-0)2 ]

O bien, b = √ [(-4)2+ (0)2 ]

O bien, b = √ (16 + 0)

O bien, b = √16

O, b = 4 ——————– (2)

c = √ [(x3-x2)2+ (y3-y2)2 ]

O bien, c = √ [(0-0)2+ (0-3)2 ]

O bien, c = √ [(0)2+ (- 3)2 ]

O, c = √ (0 + 9)

O bien, c = √9

O, c = 3 ——————– (3)

y unax1+ bx2 + cx3 = (5 X (-4)) + (4 X 0) + (3 X 6)

= -20 + 0 + 18

O, ax1+ bx2 + cx3 = -2 ——————- (4)

ay1+ by2+ cy3 = (5 X 0) + (4 X 3) + (3 X 0)

= 0 + 12 + 0

O, ay1+ por2+ cy3 = 12 ——————– (5)

a + b + c = 5 + 4 + 3

O, a + b + c = 12 —————— (6)

Usando las ecuaciones anteriores (1), (2), (3), (4), (5) y (6) podemos calcular el valor de x y y desde

\ textbf {} x = \ frac {ax_ {1} + bx_ {2} + cx_ {3}} {a + b + c}

O, x = -2/12

O, x = -1/6

y

\ textbf {} y = \ frac {ay_ {1} + by_ {2} + cy_ {3}} {a + b + c}

O, y = 12/12

O, y = 1

Por lo tanto, las coordenadas requeridas del incentro del triángulo dado son (-1/6, 1). (Resp.)

A continuación, se ofrecen más problemas resueltos para practicar más utilizando el procedimiento descrito en el problema 1 anterior: -

Problemas 2: Encuentra las coordenadas del incentro del triángulo con vértices en los puntos (-3, -1), (-1,3)) y (1,1).

Problemas 3: ¿Cuál es la coordenada x del incentro del triángulo con vértices (0,2), (0,0) y (0, -1)?

Problemas 4: Tres vértices de un triángulo son (1,1), (2,2) y (3,3). Encuentra el incentro de este triángulo.


Sobre NASRINA PARVIN

Soy Nasrina Parvin, con 10 años de experiencia trabajando en el Ministerio de tecnología de la información y las comunicaciones de la India. Me gradué en Matemáticas. En mi tiempo libre me encanta enseñar, resolver problemas de matemáticas. Desde mi infancia las matemáticas son la única asignatura que más me fascina.