Una guía completa de la teoría de funciones

INTRODUCCIÓN

¿Qué son las matemáticas? ¿Es un cálculo? ¿Es lógica? ¿Son símbolos? ¿Imágenes? Gráficos? Resulta que son todos estos y mucho más. ES PERO UN LENGUAJE. El lenguaje universal, que tiene sus símbolos, caracteres, expresiones, vocabulario, gramática, todo lo que hace un lenguaje, todo perfectamente razonado, único e inequívoco en su significado. Es el idioma en el que están escritas las leyes del universo. Por lo tanto, es el lenguaje que debemos aprender y explorar para desentrañar los misterios de la naturaleza. Debemos comenzar nuestra discusión sobre uno de los temas matemáticos más hermosos y fundamentales, la TEORÍA DE LAS FUNCIONES, con esta filosofía.

¿QUÉ SON EXPRESIONES, ECUACIONES E IDENTIDADES?

Como todos los lenguajes bien definidos, las matemáticas vienen con su propio conjunto de símbolos y caracteres, numéricos y alfabéticos. Una expresión en matemáticas es una combinación de tales símbolos y caracteres. Todo esto se explicará en este teoría de funciones discusión.

5 + 2 / (9-3)

7a + 2b-3c

2\cos{\frac{1}{2}\left(\alpha+\beta\right)}\cos{\frac{1}{2}\left(\alpha-\beta\right)}

Todas estas son expresiones matemáticas. No importa si se pueden evaluar o no, si tienen sentido y siguen la sintaxis adecuada, son expresiones.

Ahora, cuando comparamos dos expresiones con un signo '=', tenemos algo como ...


(1 + x) ^ {2}= 1 + 2x +x ^ {2}

Que es una expresión para la igualdad de dos expresiones escritas a cada lado de un signo =. Tenga en cuenta que esta igualdad es cierta para todos los valores de x. Este tipo de igualdad se llama IDENTIDADES.


(1 + x) ^ {2}= 2 + 3x + 2x ^ {2} …… …… .. (1)

O como


(1 + x) ^ {2}= 7-3x + 2x ^ {2} ……. …… (2)

Entonces no serán verdaderas para todos los valores de x, sino que serían verdaderas para algunos valores de x como (2) o serían verdaderas para NO valores de x, como (1). Estos se llaman ECUACIONES.

Entonces, para resumir, las igualdades que tienen para todos los valores de las variables, son IDENTIDADES. Y las igualdades que se mantienen para algunos o ningún valor de las variables son ECUACIONES.

¿POR QUÉ NECESITAMOS EL CONCEPTO DE FUNCIÓN?

¿No es sorprendente que el universo esté tan perfectamente equilibrado? Un sistema de tan enorme tamaño hecho de tantos sistemas más pequeños, cada uno con tantas variables interactuando entre sí, pero tan bien comportado. ¿No parece que todo se rige por un conjunto de reglas, invisibles pero que existen en todas partes? Tomemos el ejemplo de la fuerza gravitacional. Es inversamente proporcional a la distancia entre los cuerpos, y esta regla es seguida por todos los asuntos, en todas partes del universo. Entonces, debemos tener una forma de expresar tales reglas, como las conexiones entre variables.

Estamos rodeados de tales variables que dependen de otras variables. La longitud de la sombra de un edificio depende de su altura y de la hora del día. La distancia recorrida por el automóvil depende del par generado por su motor. Es el concepto de teoría de funciones lo que nos permite expresar matemáticamente tales relaciones.

¿QUÉ ES UNA FUNCIÓN EN MATEMÁTICAS?

Función Regla o FUNCIÓN como una regla

En pocas palabras, una función es una regla que une dos o más variables. Si a las variables se les permite tomar solo valores reales, entonces es simplemente una expresión que define una regla o un conjunto de reglas que asigna un número real a cada uno de ciertos números reales.

Ahora bien, esta definición seguramente requiere algunas aclaraciones que se dan a través de ejemplos como

1. La regla que asigna el cubo de ese número a cada número.

f (x)=x ^ {3}

2. La regla que asigna (x ^ {2}-x-1) /x ^ {3}  a cada x

                   f (x) = (x ^ {2}-x-1) /x ^ {3}

3. La regla que asigna (x ^ {2}-x-1) / (x ^ {2}+ x + 1) a todas las x que no son iguales a 1 y el número 0 a 1

                                        f (x)= (x ^ {2}-x-1) / (x ^ {2}+ x + 1) para x ≠ 1

                                                     = 0 para x = 1

  • f (x) =x ^ {2}  para -1 <x <π / 3
  • La regla que asigna

  2 al número 5

  3 al número 8/3

  π / 2 al número 1

  y  a los demás

  • La regla que asigna a un número x, el número de unos en su expansión decimal si la cuenta es finita y 1 si hay infinitos unos en la expansión.

Estos ejemplos deberían dejar una cosa muy clara: una función es cualquier regla que asigna números a otros números específicos. Es posible que estas reglas no siempre se puedan expresar mediante una formulación algebraica. Es posible que ni siquiera apunten a una condición única que se aplique a todos los números. Y no tiene por qué ser una regla que se pueda encontrar en la práctica o en el mundo real, como la de la regla 6. Nadie puede decir qué número asigna esta regla al número π o. Es posible que la regla tampoco se aplique a algunos números. Por ejemplo, la regla 2 no se aplica a x = 0. El conjunto de números al que se aplica la regla se denomina DOMINIO de la función.

¿QUÉ SIGNIFICA Y = f (x)?

Tenga en cuenta que estamos usando la expresión y = f (x) para escribir una función. Siempre que comenzamos una expresión con  entonces queremos decir que estamos a punto de definir una función que relaciona un conjunto de números con un conjunto de valores de la variable x.

FUNCIÓN como una relación

Entonces, en otras palabras, y quizás en un sentido más general, una función es una relación entre dos conjuntos A y B, donde todos los elementos del conjunto A tienen un elemento asignado del conjunto B. Los elementos del conjunto B se llaman los IMÁGENES y los elementos del conjunto A se denominan PRE-IMÁGENES.

El proceso de relacionar los elementos se llama CARTOGRAFÍA. Por supuesto, podría haber muchas formas de realizar estas asignaciones, pero no las llamaríamos a todas como funciones. Solo aquellas asignaciones que relacionan los elementos de tal manera que cada elemento del conjunto A tiene exactamente una imagen en el conjunto B, deben llamarse funciones. A veces se escribe como f: A–> B. Esto debe leerse como 'f es una función de A a B'.

El conjunto A se llama DOMINIO de la función y el conjunto B se llama el CODOMINIO de la función. Si f es tal que la imagen de un elemento a del conjunto A es el elemento b del conjunto B, entonces escribimos f (a) = b, leemos como 'f de a es igual a b', o 'b es el valor de f en a ', o' b es la imagen de a bajo f '.

TIPOS DE FUNCIONES

Las funciones pueden clasificarse según la forma en que relacionan los dos conjuntos.

Uno - uno o función inyectiva

teoría de la función: uno a uno o función inyectiva

La cifra lo dice todo. Es cuando una función relaciona cada elemento de un conjunto con un elemento único de otro conjunto, es una función uno a uno o inyectiva.

Muchos, una función

teoría de funciones
teoría de funciones: función de muchos a uno

Una vez más, la cifra se explica por sí misma. Evidentemente, hay más de una imagen previa a una imagen en particular. Por lo tanto, el mapeo es de muchos a uno. Tenga en cuenta que no viola la definición de una función, ya que ningún elemento del conjunto A tiene más de una imagen en el conjunto B.

Función ONTO o función SURJECTIVA

Teoría de funciones: función ONTO o función SURJECTIVA

Cuando todos los elementos del conjunto B tienen al menos una preimagen, la función se llama Onto o sobreyectiva. El mapeo puede ser uno a uno o muchos a uno. El que se muestra arriba es evidentemente muchos a uno en el mapeo. Tenga en cuenta que la imagen utilizada anteriormente para representar el mapeo uno a uno también está en el mapeo. Este tipo de mapeo uno a uno también se conoce como BIJETIVO cartografía.

En funcionamiento

Teoría de funciones: INTO Function

Cuando hay al menos una imagen sin ninguna imagen previa, es una función INTO. En función puede ser uno a uno o muchos a uno. El que se muestra arriba es obviamente uno a uno.

GRÁFICO DE UNA FUNCIÓN

Como se dijo anteriormente que una función asigna números reales a ciertos números reales, es muy posible y conveniente graficar el par de números en el plano cartesiano XY. La traza obtenida conectando los puntos, es la gráfica de la función.

Consideremos una función. Entonces, podríamos evaluar f (x) en x = 1,2,3 para obtener tres pares de x y f (x) como (1,4), (3,6) y (5,8). Trazar estos puntos y conectarlos muestra que la función traza una línea recta en el plano xy. Esta línea es la gráfica de la función.

Teoría de funciones: gráfica de una función_1

Evidentemente, la naturaleza de la traza variará según la expresión de la función. Así obtenemos un rango de gráficos para diferentes tipos de expresiones. Se dan algunos.

Las gráficas de  ,  y  de izquierda a derecha

Teoría de funciones: gráfica de una función_2

En este punto, se puede ver que la expresión de una función en realidad se parece a la de una ecuación. Y es verdad, por ejemplo  es de hecho una ecuación y una definición de función. Esto nos trae la pregunta, ¿son todas funciones de ecuación? Si no entonces

¿Cómo saber si una ecuación es una función?

Todas las ecuaciones descritas en los gráficos anteriores son en realidad funciones, ya que para todas ellas, hay exactamente un valor de f (x) o y para algún valor de x. Esto significa que la expresión para f (x) debe producir solo un valor cuando se evalúa para cualquier valor de x. Esto es cierto para cualquier ecuación lineal. Pero si consideramos la ecuación, encontramos que siempre hay dos soluciones para todo x dentro de 0 a 1, en otras palabras, se asignan dos imágenes a cada valor de x dentro de su rango. Esto viola la definición de función y, por lo tanto, no puede llamarse función.

Esto debería verse más claro en el gráfico de que hay exactamente dos imágenes de cada x, ya que una línea vertical dibujada en cualquier punto del eje x cortará el gráfico en exactamente dos puntos.

Teoría de funciones: gráfica de una función_3

Entonces, esto nos lleva a una conclusión importante de que no todas las ecuaciones son funciones. Y si una ecuación es una función, puede ser verificado por el prueba de línea vertical, que es simplemente imaginar una línea vertical variable en cada punto del eje x y ver si coincide con el gráfico en un solo punto.

Esto también responde a otra pregunta importante, que es, ¿Cómo saber si una función es uno a uno? Seguramente, esa respuesta también está en el gráfico y se puede verificar mediante la prueba de la línea vertical.

Ahora, uno podría preguntarse si hay una manera de decir lo mismo sin obtener la gráfica o si se podría decir algebraicamente, ya que no siempre es fácil dibujar gráficas de funciones. Bueno, la respuesta es sí, se puede hacer simplemente probando f (a) = f (b) si implica a = b. Es decir, incluso si f (x) toma el mismo valor para dos valores de x, entonces los dos valores de x no pueden ser diferentes. Tomemos un ejemplo de la función

y = (x-1) / (x-2)

Como se puede observar, es difícil trazar la gráfica de esta función, ya que no es de naturaleza lineal y no se ajusta a la descripción de ninguna curva familiar y, además, no está definida en x = 2. . Por lo tanto, este problema definitivamente requiere un enfoque diferente al de la prueba de la línea vertical.

Entonces, comenzamos dejando 

f (a) = f (b)

=> (a-1) / (a-2) = (b-1) / (b-2)

=> (a-1) (b-2) = (b-1) (a-2)

=> ab-2a-b + 2 = ab-2b-a + 2

=> 2a + b = 2b + a

=> 2 (ab) = (ab)             

Esto solo es posible para ab = 0 o a = b

Entonces, la función es de hecho uno a uno, y lo hemos probado sin graficar.

Ahora, nos gustaría ver cuando alguna función falla en esta prueba. Es posible que deseemos probar la ecuación del círculo que probamos antes. Empezamos escribiendo

f (a) = f (b)

=> \ [\ sqrt {1-a ^ {2}} = \ sqrt {1-b ^ {2}]

=>a ^ {2}=b ^ {2}

a2 =b2

=> a = bo a = -b

Lo que simplemente significa que hay soluciones distintas a a = b, por lo tanto, f (x) no es una función.

¿ES TAN DIFÍCIL DE TRAZAR? ? y = (x-1) / (x-2)?

Vamos a discutir la representación gráfica de una función con mucho más detalle en los próximos artículos, pero aquí es necesario familiarizarse con los conceptos básicos de la representación gráfica, ya que ayuda enormemente a la resolución de problemas. Una interpretación visual de un problema de cálculo a menudo hace que el problema sea muy fácil y saber cómo graficar una función es la clave para una buena interpretación visual.

Entonces, para trazar la gráfica de (x-1) / (x-2), comenzamos haciendo algunas observaciones críticas como

1. La función se convierte en 0 en x = 1.

2. La función se vuelve indefinida en x = 2 .

3. La función es positiva en todas partes excepto en 1

Debido a que en este intervalo (x-1) es positivo y (x-2) es negativo, esto hace que su razón sea negativa.

4. Cuando x va a-to, la función se acerca a la unidad desde el lado inferior, lo que significa que se acerca a 1 pero siempre es menor que 1.

Porque para x <0, (x-1) / (x-2) = (| x | +1) / (| x | +2) <1 como | x | +2> | x | +1

5. Cuando x va a + ∞, la función se acerca a la unidad desde el lado superior, lo que significa que se acerca a 1 pero siempre es mayor que 1.

6. Cuando x va a 2 desde el lado izquierdo, la función va a -∞.

7. Cuando x va a 2 desde el lado derecho, la función va a + ∞.

8. La función siempre es decreciente para x> 2.

PRUEBA:

Tomamos dos valores cercanos de x como (a, b) tales que (a, b)> 2 y b> a

ahora, f (b) - f (a)

= (b-1) / (b-2) - (a-1) / (a-2)

={(b-1)(a-2)-(a-1)(b-2)}/(a-2)(b-2)

= (ab) / {(a-2) (b-2)}

<0 como (ab) <0 para b> a

y (a-2) (b-2)> 0 como (a, b)> 2

Esto implica f (b) 2, en otras palabras, f (x) es estrictamente decreciente para x> 2

  • 9. La función siempre es decreciente para x <2
  • PRUEBA: igual que antes. Lo dejamos para que lo pruebes.

La combinación de estas observaciones facilita la representación gráfica. Combinando 4,9 y 6 podemos decir que cuando x va de -∞ a 2, la traza comienza desde la unidad y cae gradualmente hasta tocar 0 en x = 1 y cae aún más hasta -∞ en x = 2. Nuevamente, combinando 7,5 y 8 es fácil ver que cuando x va de 2 a + ∞, la traza comienza a caer desde + ∞ y sigue acercándose a la unidad sin tocarla nunca.

Esto hace que el gráfico completo se vea como

Teoría de funciones: gráfica de una función_4

Ahora resulta evidente que la función es de hecho uno a uno.

CONCLUSIÓN

Hasta ahora discutimos los conceptos básicos de la teoría de funciones. Ahora deberíamos tener claras las definiciones y tipos de funciones. También teníamos una pequeña idea de la interpretación gráfica de funciones. El próximo artículo cubrirá muchos más detalles sobre conceptos como rango y dominio, funciones inversas, varias funciones y sus gráficos, y muchos problemas resueltos. Para profundizar en el estudio, le recomendamos que lea

Cálculo de Michael Spivak.

Álgebra de Michael Artin.

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Acerca de Sourav Bhattacharyya

Soy Sourav Bhattacharyya, ingeniero de telecomunicaciones de profesión y aficionado a las matemáticas por afición. Terminé mi ingeniería en la Universidad de Jadavpur.
Paso la mayor parte de mi tiempo resolviendo varios tipos de problemas matemáticos y creo firmemente que compartiré el mismo conocimiento y experiencia a través de esta maravillosa plataforma Lambdageeks. Intento representar de una manera que los estudiantes se enamoren de las matemáticas.
Es un honor para mí ser parte de una organización de este tipo en la que puedo incitar a quienes quieran aprender Matemáticas.

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