Cómo calcular la velocidad instantánea, fórmula de velocidad instantánea

Cómo calcular la velocidad instantánea

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En física y matemáticas, velocidad instantánea Se refiere a la velocidad de un objeto en un momento específico. Es un concepto fundamental en cinemática, el estudio del movimiento. Comprender cómo calcular la velocidad instantánea es crucial para analizar el comportamiento de los objetos en movimiento.

Calcular la velocidad instantánea mediante cálculo

El cálculo juega un papel vital en la determinación de la velocidad instantánea. Tomando la derivada de la función de posición con respecto al tiempo, podemos obtener la función de velocidad. La derivada representa la tasa de cambio de una función, que en este caso es la tasa de cambio de posición con respecto al tiempo.

Para calcular la velocidad instantánea usando cálculo, siga estos pasos:

Comience con la función de posición, que describe la posición del objeto a lo largo del tiempo. Denotémoslo como S t), Donde t representa el tiempo.
Tome la derivada de la función de posición con respecto al tiempo, denotada como Vermont). Esta derivada representa la función de velocidad instantánea.
Simplifique la derivada para obtener la función de velocidad instantánea.

Ilustremos este proceso con un ejemplo:

Supongamos que la función de posición de un objeto está dada por s(t) = 2t^3 – 3t^2 + 4t + 1. Para encontrar la velocidad instantánea en un momento dado, necesitamos tomar la derivada de la función de posición:

$v(t) = frac{d}{dt}(2t^3 - 3t^2 + 4t + 1)$

Simplificando la derivada nos da la función de velocidad instantánea:

$v(t) = 6t^2 - 6t + 4$

Entonces, la función de velocidad instantánea es v(t) = 6t^2 – 6t + 4.

Calcular la velocidad instantánea sin cálculo

Si bien el cálculo proporciona un método poderoso para calcular la velocidad instantánea, se pueden utilizar métodos alternativos cuando el cálculo no es aplicable o no se prefiere. Uno de esos métodos implica utilizar la velocidad promedio en intervalos de tiempo cada vez más pequeños para aproximar la velocidad instantánea.

Para calcular la velocidad instantánea sin cálculo, siga estos pasos:

Elige una hora inicial t1 y una última vez t2, con las t2 siendo un poco más tarde que t1.
Calcular la velocidad promedio. v_promedio durante el intervalo de tiempo [t1,t2] usando la fórmula:

$v_{texto{promedio}} = frac{{Delta x}}{{Delta t}}$

Disminuir el intervalo de tiempo [t1,t2] para hacerlo cada vez más pequeño, acercándose a cero.
A medida que el intervalo de tiempo se acerca a cero, la velocidad promedio se acerca a la velocidad instantánea.

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Trabajemos con un ejemplo:

Supongamos que un automóvil recorre una distancia de 100 metros en 10 segundos. Queremos calcular la velocidad instantánea en la marca de los 5 segundos. Para ello podemos utilizar el método de velocidad promedio.

Nosotros elegimos t1 = 4 segundos y t2 = 6 segundos. Usando la fórmula de la velocidad promedio, calculamos la velocidad promedio en el intervalo [4, 6]:

$v_{texto{promedio}} = frac{{Delta x}}{{Delta t}} = frac{{s(6) - s(4)}}{{6 - 4}} = frac{{s(6) ) - s(4)}}{2}$

A continuación, repetimos el proceso con intervalos de tiempo cada vez más pequeños, como [4.5, 5.5], [4.9, 5.1], etcétera. A medida que los intervalos se reducen, los valores de velocidad promedio se acercan a la velocidad instantánea en la marca de los 5 segundos.

Calcular la velocidad instantánea a partir de una tabla

En algunos casos, los valores de velocidad pueden darse en una tabla en lugar de como una función. Para calcular la velocidad instantánea a partir de una tabla, podemos utilizar el concepto de velocidad media en intervalos de tiempo más pequeños, tal como en el método anterior.

Siga estos pasos para calcular la velocidad instantánea a partir de una tabla:

Identifique los puntos de tiempo más cercanos al tiempo deseado.
Determine los valores de velocidad correspondientes en esos puntos de tiempo.
Calcule la velocidad promedio en el intervalo definido por los puntos de tiempo más cercanos.
Repita el proceso con intervalos de tiempo cada vez más pequeños hasta lograr la precisión deseada.

Consideremos un ejemplo:

Supongamos que tenemos la siguiente tabla que muestra la velocidad de un objeto en diferentes momentos:

Hora (s)	Velocidad (m/s)
1	4
2	7
3	10
4	14

Queremos calcular la velocidad instantánea en t = 2.5 segundos. Para hacer esto, podemos utilizar el método de la velocidad promedio.

Los puntos de tiempo más cercanos a 2.5 segundos son t1 = 2 segundos y t2 = 3 segundos. Los valores de velocidad correspondientes son v1 = 7 m/s y v2 = 10 m/s. Usando la fórmula de la velocidad promedio, calculamos la velocidad promedio en el intervalo [2, 3]:

$v_{texto{promedio}} = frac{{Delta x}}{{Delta t}} = frac{{v_2 - v_1}}{{t_2 - t_1}} = frac{{10 - 7}}{{3 - 2}} = 3$

A medida que el intervalo de tiempo se acerca a cero, la velocidad promedio se acerca a la velocidad instantánea en 2.5 segundos.

Calcular la velocidad instantánea en un punto o tiempo específico

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En algunas situaciones, es posible que necesitemos calcular la velocidad instantánea en un punto o tiempo específico, en lugar de en un intervalo. Esto se puede hacer encontrando la derivada de la función de posición y evaluándola en el punto deseado.

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Para calcular la velocidad instantánea en un punto específico, siga estos pasos:

Comience con la función de posición, denotada como S t).
Tome la derivada de la función de posición con respecto al tiempo, denotada como Vermont).
Simplifique la derivada para obtener la función de velocidad instantánea.
Evalúe la función de velocidad instantánea en el momento deseado.

Trabajemos con un ejemplo:

Supongamos que la función de posición de un objeto está dada por s(t) = 3t^2 – 2t + 5. Queremos calcular la velocidad instantánea en t = 2 segundos.

Primero, tomamos la derivada de la función de posición para obtener la función de velocidad instantánea:

$v(t) = frac{d}{dt}(3t^2 - 2t + 5)$

Simplificando la derivada nos da la función de velocidad instantánea:

$v(t) = 6t - 2$

Para encontrar la velocidad instantánea en t = 2 segundos, evaluamos la función de velocidad instantánea en ese momento:

$v(2) = 6(2) - 2 = 10$

Por lo tanto, la velocidad instantánea en t = 2 segundos is 10 m / s.

¿Cómo se puede aplicar la fórmula para calcular la velocidad instantánea al concepto de movimiento de proyectiles?

La “Cálculo del movimiento de un proyectil: guía paso a paso” proporciona una descripción general completa de cómo calcular el movimiento del proyectil, que implica el movimiento de un objeto en una trayectoria parabólica. Usando la fórmula de la velocidad instantánea, podemos determinar la velocidad del objeto en cualquier punto dado a lo largo de su trayectoria. Al dividir el movimiento en intervalos más pequeños y calcular las velocidades instantáneas, podemos obtener una comprensión más profunda del movimiento del objeto y analizar varios aspectos, como su altura, alcance y tiempo de vuelo.

Problemas numéricos sobre cómo calcular la velocidad instantánea.

1 problema:

Considere una partícula que se mueve a lo largo de una línea recta con la función de posición dada por:
$x(t) = 3t^2 - 2t + 5$
donde $x$ está en metros y $t$ es en segundos.

Encuentra la velocidad de la partícula en el tiempo. $t = 2$ segundos.

Solución:

Para encontrar la velocidad en un momento específico, necesitamos derivar la función de posición con respecto al tiempo:

$v(t) = frac{dx}{dt}$

Derivando la función de posición dada, tenemos:

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$v(t) = frac{d}{dt}(3t^2 - 2t + 5)$

Usando la regla de la potencia de diferenciación, obtenemos:

$v(t) = 6t - 2$

Sustituyendo $t = 2$ en la función de velocidad, encontramos:

$v(2) = 6(2) - 2 = 10$

Por lo tanto, la velocidad de la partícula en $t = 2$ segundos es $10$ Sra.

2 problema:

Un automóvil se mueve por una carretera recta con una función de posición dada por:
$x(t) = 5t^3 - 2t^2 + 3$
donde $x$ está en metros y $t$ es en segundos.

Determine la velocidad del auto cuando $t = 1$ segundo.

Solución:

Para calcular la velocidad en un momento concreto diferenciamos la función de posición respecto del tiempo:

$v(t) = frac{dx}{dt}$

Tomando la derivada de la función de posición dada, tenemos:

$v(t) = frac{d}{dt}(5t^3 - 2t^2 + 3)$

Usando la regla de la potencia de diferenciación, obtenemos:

$v(t) = 15t^2 - 4t$

Sustituyendo $t = 1$ en la función de velocidad, encontramos:

$v(1) = 15(1)^2 - 4(1) = 11$

Por lo tanto, la velocidad del automóvil cuando $t = 1$ segundo es $11$ Sra.

3 problema:

Una partícula se mueve en línea recta con la función de posición dada por:
$x(t) = 2t^4 - 3t^2 + 4t - 1$
donde $x$ está en metros y $t$ es en segundos.

Calcular la velocidad de la partícula en el tiempo. $t = 3$ segundos.

Solución:

Para encontrar la velocidad en un momento específico, necesitamos derivar la función de posición con respecto al tiempo:

$v(t) = frac{dx}{dt}$

Al tomar la derivada de la función de posición dada, tenemos:

$v(t) = frac{d}{dt}(2t^4 - 3t^2 + 4t - 1)$

Usando la regla de la potencia de diferenciación, obtenemos:

$v(t) = 8t^3 - 6t + 4$

Sustituyendo $t = 3$ en la función de velocidad, encontramos:

$v(3) = 8(3)^3 - 6(3) + 4 = 190$

Por lo tanto, la velocidad de la partícula en $t = 3$ segundos es $190$ Sra.

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Raghavi Acharya

Soy Raghavi Acharya, completé mi posgrado en física con especialización en el campo de la física de la materia condensada. Siempre he considerado la Física como un área de estudio cautivadora y disfruto explorando los diversos campos de esta materia. En mi tiempo libre me dedico al arte digital. Mis artículos tienen como objetivo transmitir los conceptos de física de una manera muy simplificada a los lectores.