Polinomio de Hermite: 9 Datos breves completos

  El polinomio de Hermite se presenta ampliamente en aplicaciones como función ortogonal. El polinomio de Hermite es la solución en serie de la ecuación diferencial de Hermite.

Ecuación de Hermite

    La ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes específicos como

d²y/dx² – 2x dy/dx + 2xy = 0

se conoce como ecuación de Hermite, al resolver esta ecuación diferencial obtendremos el polinomio que es Polinomio de Hermite.

Encontremos la solución de la ecuación

d²y/dx² – 2x dy/dx + 2ny = 0

con la ayuda de la solución en serie de la ecuación diferencial

ahora sustituyendo todos estos valores en la ecuación de Hermite tenemos

Esta ecuación satisface para el valor de k = 0 y como asumimos que el valor de k no será negativo, ahora para el término de grado más bajo x^m-2 tome k = 0 en la primera ecuación ya que la segunda da un valor negativo, por lo que el coeficiente x^m-2 is

a₀m (m-1)=0 ⇒ m=0,m=1

como herramienta de edición del₀ ≠ 0

ahora de la misma manera igualando el coeficiente de x^m-1 de la segunda suma

e igualando los coeficientes de x^{m + k} a cero,

a_{k + 2}(m+k+2)(m+k+1)-2a_k(m+kn) = 0

podemos escribirlo como

a_{k + 2} = 2(m+kn)/(m+k+2)(m+k+1) un_k

si m = 0

a_{k + 2} = 2(kn)/(k+2)(k+1) un_k

si m = 1

a_{k + 2} = 2(k+1-n)/(k+3)(k+2) un_k

para estos dos casos ahora discutimos los casos para k

Cuando $m=0, un_{k + 2}= 2(kn)/ (k+2)(k+1)} un_k$

Si, $k=0 a₂ =-2 n/2 un₀=-na₀$

$k=1, un₃=2(1-n)/6a₁ =-2(n-1)/3 ! a₁$

Si $k=2, un₄ =2(2-n)/12a₂ =2 (2-n)/12 (-na₀) = 2² n(n-2)/4 ! a₀$

hasta ahora m = 0 tenemos dos condiciones cuando un₁= 0, luego un₃=a₅=a₇=…. = A_{2r + 1}= 0 y cuando un₁ no es cero entonces

siguiendo esto, ponga los valores de un₀,a₁,a₂,a₃,a₄ y₅ tenemos

y para m = 1 a₁= 0 poniendo k = 0,1,2,3,… .. obtenemos

a_{k + 2} = 2(k+1-n)/(k+3)(k+2)a_k

entonces la solución será

entonces la solución completa es

donde A y B son las constantes arbitrarias

Polinomio de Hermite

   La solución de la ecuación de Hermite es de la forma y (x) = Ay₁(x) + Por₂(x) donde y₁(X y Y₂(x) son los términos de la serie como se discutió anteriormente,

una de estas series termina si n es un entero no negativo si n es par y₁ termina de lo contrario y₂ si n es impar, y podemos verificar fácilmente que para n = 0,1,2,3,4 …… .. estos polinomios son

1,x,1-2x², x-2/3 x³, 1-4x²+4/3x⁴, x-4/3x³+ 4/15x⁵

entonces podemos decir aquí que la solución de la ecuación de Hermite es un múltiplo constante de estos polinomios y los términos que contienen la mayor potencia de x son de la forma 2ⁿxⁿ denotado por H_n(x) se conoce como Polinomio hermita

Función generadora del polinomio de Hermite

El polinomio de Hermite generalmente se define con la ayuda de la relación usando la función generadora

[n / 2] es el mayor número entero menor o igual an / 2, por lo que sigue el valor de H_n(X) as

esto muestra que H_n(X) es un polinomio de grado n en xy

H_n(x) = 2ⁿxⁿ + π_n-2 (X)

donde π_n-2 (x) es el polinomio de grado n-2 en x, y será una función par de x para un valor par de n y una función impar de x para un valor impar de n, entonces

H_n(-x) = (-1)ⁿ H_n(X)

algunos de los polinomios de Hermite iniciales son

H₀(x) = 1

H₁(x) = 2x

H₂(x) = 4x² 2 Mayo

H₃(x) = 8x³-12

H₄(x) = 16x⁴ - 48x²+12

H₅(x) = 32x² - 160x³+ 120x

Función generadora del polinomio de Hermite por Rodrigue Formula

El polinomio de Hermite también se puede definir con la ayuda de la fórmula de Rodrigue usando la función generadora

ya que la relación de función generadora

  Usando el teorema de Maclaurin, tenemos

or

poniendo z = xt y

para t = 0, entonces z = x da

esto lo podemos mostrar de otra manera como

diferenciando

con respecto a t da

tomando el límite t tiende a cero

ahora diferenciando con respecto ax

tomando el límite t tiende a cero

a partir de estas dos expresiones podemos escribir

de la misma manera podemos escribir

 diferenciando n veces poner t = 0, obtenemos

a partir de estos valores podemos escribir

de estos podemos obtener los valores

Ejemplo sobre el polinomio de Hermite           

1. Encuentra el polinomio ordinario de

Solución: usando la definición del polinomio de Hermite y las relaciones que tenemos

2. Encuentra el polinomio de Hermite del polinomio ordinario

Solución: La ecuación dada la podemos convertir a Hermite como

y de esta ecuación igualar el mismo coeficiente de potencias

por lo tanto, el polinomio de Hermite será

Ortogonalidad del polinomio de Hermite | Propiedad ortogonal del polinomio de Hermite

La característica importante del polinomio de Hermite es su ortogonalidad que establece que

Para probar esta ortogonalidad recordemos que

que es la función generadora del polinomio de Hermite y sabemos

así que multiplicando estas dos ecuaciones obtendremos

multiplicar e integrar dentro de límites infinitos

y desde

so

usando este valor en la expresión anterior tenemos

lo que da

ahora igualar los coeficientes en ambos lados

que muestra la propiedad ortogonal del polinomio de Hermite.

  El resultado de la propiedad ortogonal del polinomio de Hermite se puede mostrar de otra manera considerando la relación de recurrencia

Ejemplo de ortogonalidad del polinomio de Hermite

1.Evaluar la integral

Solución: utilizando la propiedad de ortogonalidad del polinomio de hermita

ya que los valores aquí son m = 3 y n = 2 entonces

2. Evaluar la integral

Solución: Usando la propiedad de ortogonalidad del polinomio de Hermite podemos escribir

Relaciones de recurrencia del polinomio de Hermite

El valor del polinomio de Hermite se puede averiguar fácilmente mediante las relaciones de recurrencia

Estas relaciones se pueden obtener fácilmente con la ayuda de la definición y las propiedades.

Pruebas: 1. Conocemos la ecuación de Hermite

y”-2xy'+2ny = 0

y la relación

tomando la diferenciación con respecto ax parcialmente, podemos escribirlo como

de estas dos ecuaciones

ahora reemplace n por n-1

equiparando el coeficiente de tⁿ

entonces el resultado requerido es

2. De manera similar diferenciando parcialmente con respecto a t la ecuación

obtenemos

n = 0 desaparecerá, por lo que al poner este valor de e

ahora igualando los coeficientes de tⁿ

así

3. Para probar este resultado eliminaremos H_n-1 en

y

así que obtenemos

así podemos escribir el resultado

4. Para probar este resultado diferenciamos

obtenemos la relación

sustituyendo el valor

y reemplazando n por n + 1

lo que da

Ejemplos de relaciones de recurrencia del polinomio de Hermite

1.Muestre eso

H_2n(0) = (-1)ⁿ. 2²ⁿ (1 / 2)ⁿ

Solución:

Para mostrar el resultado tenemos

H2n(x) =

tomando x = 0 aquí obtenemos

2. Demuestre que

H '_{2n + 1}(0) = (-1)ⁿ 2^{2n + 1} (3 / 2)²

Solución:

Dado que de la relación de recurrencia

H '_n(x) = 2nH_n-1(X)

aquí reemplace n por 2n + 1 entonces

H '_2n-1(x) = 2(2n+1)H_2n(X)

tomando x = 0

3. Encuentra el valor de

H_{2n + 1}(0)

Solución

Como sabemos

use x = 0 aquí

H_2n-1(0) = 0

4. Halla el valor de H '_2n(0).

Solución :

tenemos la relación de recurrencia

H '_n(x) = 2nH_n-1(X)

aquí reemplace n por 2n

H '_2n(x) = =2(2n)H_2n-1(X)

poner x = 0

H '_2n(0) = (4n)H_2n-1(0) = 4n*0=0

5. Muestra el siguiente resultado

Solución :

Usando la relación de recurrencia

H '_n(x) = 2nH_n-1 (X)

so

y

d³/dx³ {H_n(x)} = 2³norte(n-1)(n-2)H_n-3(X)

diferenciando esto m veces

lo que da

6. Demuestre que

H_n(-x) = (-1)ⁿ H_n(X)

Solución :

podemos escribir

del coeficiente de tⁿ tenemos

y para -x

7. Evalúa la integral y muestra

Solución : Para resolver esta integral use las partes de integración como

Ahora la diferenciación bajo el signo Integral diferencie con

respecto a x

usando

H '_n(x) = 2_nH_n-1 (X)

y

H '_m(x) = 2 mH_m-1 (X)

tenemos

y desde

??? _n,m-1 = ????_{n+1, metro}

por lo que el valor de la integral será

Conclusión:

El polinomio específico que ocurre con frecuencia en la aplicación es el polinomio de Hermite, por lo que la definición básica, la función generadora, las relaciones de recurrencia y los ejemplos relacionados con el polinomio de Hermite se discutieron brevemente aquí, si necesita más lectura, consulte

https://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_polynomials

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DR. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Soy DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. He completado mi doctorado. en Matemáticas y trabajando como profesor asistente en Matemáticas. Contando con 12 años de experiencia en la docencia. Teniendo amplios conocimientos en Matemática Pura, precisamente en Álgebra. Tener la inmensa capacidad de diseño y resolución de problemas. Capaz de motivar a los candidatos para mejorar su desempeño.
Me encanta contribuir a Lambdageeks para hacer que las matemáticas sean simples, interesantes y autoexplicativas tanto para principiantes como para expertos.