Polinomio de Hermite | Sus relaciones importantes con más de 10 ejemplos cruciales

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  El polinomio de Hermite se presenta ampliamente en aplicaciones como función ortogonal. El polinomio de Hermite es la solución en serie de la ecuación diferencial de Hermite.

Ecuación de Hermite

    La ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes específicos como

\ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}} - 2 x \ frac {dy} {dx} +2 ny = 0

se conoce como ecuación de Hermite, al resolver esta ecuación diferencial obtendremos el polinomio que es Polinomio de Hermite.

Encontremos la solución de la ecuación

\ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}} - 2 x \ frac {dy} {dx} +2 ny = 0

con la ayuda de la solución en serie de la ecuación diferencial

\ begin {matriz} {l} y = a_ {0} x ^ {m} + a_ {1} x ^ {m + 1} + a_ {2} x ^ {m + 2} + a_ {3} x ^ {m + 3} + \ ldots \ ldots. + a_ {k} x ^ {m + k} \\ y = \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k} x ^ {m + k} \\ \ frac {dy} {dx} = \ sum a_ {k} (m + k) x ^ {m + k-1} \\ \ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}} = \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k} (m + k) (m + k-1) x ^ {m + k-2} \ end {array}

ahora sustituyendo todos estos valores en la ecuación de Hermite tenemos

$ \ Flecha derecha \ quad \ sum a_ {k} (m + k) (m + k-1) x ^ {m + k-2} -2 x \ sum a_ {k} (m + k) x ^ {m + k-1} +2 n \ sum a_ {k} x ^ {m + k} = 0 $ $ \ Rightarrow \ quad \ sum a_ {k} (m + k) (m + k-1) x ^ { m + k-2} -2 \ sum a_ {k} (m + k) x ^ {m + k} +2 n \ sum a_ {k} x ^ {m + k} = 0 $ $ \ Flecha derecha \ quad \ sum a_ {k} (m + k) (m + k-1) x ^ {m + k-2} -2 \ sum a_ {k} [(m + k) -n] x ^ {m + k } = 0 $

Esta ecuación satisface para el valor de k = 0 y como asumimos que el valor de k no será negativo, ahora para el término de grado más bajo xm-2 tome k = 0 en la primera ecuación ya que la segunda da un valor negativo, por lo que el coeficiente xm-2 is

a_ {0} m (m-1) = 0 \ Flecha derecha m = 0, m = 1

como \ quad a_ {0} \ neq 0

ahora de la misma manera igualando el coeficiente de xm-1 de la segunda suma

a_ {1} m (m + 1) = 0 \ Rightarrow \ left [\ begin {array} {l} {a _ {1} \ text {puede o no ser cero cuando} m = 0} \\ {a _ {1} = 0, \ text {cuando} m = 1} \ end {matriz} \ quad \ left (\ begin {matriz} {l} m + 1 \ neq 0 \ text {as} \ mathrm {m} \ text {es} \\ \ text {ya es igual a cero} \ end {matriz} \ right) \ right.

e igualando los coeficientes de xm + k a cero,

a_{k+2}(m+k+2)(m+k+1)-2 a_{k}(m+k-n)=0

podemos escribirlo como

a_ {k + 2} = \ frac {2 (m + kn)} {(m + k + 2) (m + k + 1)} a_ {k}

si m = 0

\ quad a_ {k + 2} = \ frac {2 (kn)} {(k + 2) (k + 1)} a_ {k} \ quad

si m = 1

a_{k+2}=\frac{2(k+1-n)}{(k+3)(k+2)} a_{k}

para estos dos casos ahora discutimos los casos para k

Cuando \ quad $ m = 0, a_ {k + 2} = \ frac {2 (kn)} {(k + 2) (k + 1)} a_ {k} $

Si \ quad $ k = 0, a_ {2} = \ frac {-2 n} {2} a_ {0} = - n a_ {0} $

Si \ quad $ k = 1, a_ {3} = \ frac {2 (1-n)} {6} a_ {1} = - 2 \ frac {(n-1)} {3!} A_ {1} PS

Si \ quad $ k = 2, a_ {4} = \ frac {2 (2-n)} {12} a_ {2} = 2 \ frac {(2-n)} {12} \ left (-n a_ {0} \ right) = (2) ^ {2} \ frac {n (n-2)} {4!} A_ {0} $

Si \ quad $ k = 3, a_ {5} = \ frac {2 (3-n)} {20} a_ {3} = \ frac {2 (3-n)} {20} \ left (- \ frac {2 (n-1)} {3!} A_ {1} \ right) = (2) ^ {2} \ frac {(n-1) (n-3)} {5!} A_ {1} $ \\ $ a_ {2 r} = \ frac {(- 2) ^ {r} n (n-2) (n-4) \ ldots \ ldots (n-2 r + 2)} {(2 r)! } a_ {0} $ \\ $ a_ {2 r + 1} = \ frac {(- 2) ^ {r} (n-1) (n-3) \ ldots \ ldots (n-2 r + 1) } {(2 r + 1)!} A_ {1} = 0 $

hasta ahora m = 0 tenemos dos condiciones cuando un1= 0, luego un3=a5=a7=…. = A2r + 1= 0 y cuando un1 no es cero entonces

\ begin {matriz} {c} y = \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k} x ^ {k} \\ y = a_ {0} + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} + a_ {3} x ^ {3} + a_ {4} x ^ {4} + a_ {5} x ^ {5} + \ ldots \ ldots \ ldots \\ = a_ {0} + a_ {2} x ^ {2} + a_ {4} x ^ {4} + \ ldots. . + a_ {1} x + a_ {3} x ^ {3} + a_ {5} x ^ {5} \ end {matriz}

siguiendo esto, ponga los valores de un0,a1,a2,a3,a4 y una5 tenemos

\ begin {array} {l} = a_ {0} \ left [1- \ frac {2 n} {2!} x ^ {2} + \ frac {2 ^ {2} n (n-2)} { 4!} X ^ {4} - \ ldots + (- 1) ^ {r} \ frac {2} {(2 r)!} N (n-2) \ ldots (n-2 r + 2) x ^ { 2 r} + \ ldots \ right] \\ + a_ {1} x \ left [1- \ frac {2 (n-1)} {3!} X ^ {2} + \ frac {2 ^ {2} (n-1) (n-3)} {5!} - \ ldots. \ right. \\ \ left. + (- 1) ^ {r} \ frac {2 ^ {r}} {(2 r + 1)!} (n-1) (x-3) \ ldots (n-2 r + 1) x ^ {2 r} + \ ldots \ right] \\ = a_ {0} \ left [1+ \ sum_ {r = 1} ^ {\ infty} \ frac {(- 1) ^ {r} 2 ^ {r}} {(2 r)!} n (n-2) \ ldots (n-2 r + 2) x ^ {2 r} \ right] \\ \ left. + a_ {0} \ left [ x + \ sum_ {r = 1} ^ {\ infty} \ frac {(- 1) ^ {r} 2 ^ {r}} {(2 r + 1)} (n-1) (n-3) \ ldots (n-2 r + 2) x ^ {2 r + 1} \ right] \ quad \ text {(If} a_ {1} = a_ {0} \ right) \ end {array}

y para m = 1 a1= 0 poniendo k = 0,1,2,3,… .. obtenemos

a_{k+2}=\frac{2(k+1-n)}{(k+3)(k+2)} a_{k}

\ begin {array} {l} a_ {2} = - \ frac {2 (n-1)} {3!} a_ {0} \\ a_ {4} = \ frac {2 ^ {2} (n- 1) (n-3)} {5!} A_ {0} \\ \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \ ldots \\ a_ {2 r } = (- 1) ^ {r} \ frac {2 ^ {r} (n-1) (n-3) \ ldots (n-2 r + 1)} {(2 r + 1)!} A_ { 0} \ end {array}

entonces la solución será

= a_ {0} x \ left [1- \ frac {2 (n-1)} {3!} x ^ {2} + \ frac {2 ^ {2} (n-1) (n-3)} {5!} X ^ {4} \ cdots + \ frac {(- 1) ^ {r} 2 ^ {r} (n-1) (n-3) \ ldots (n-2 r + 1)} {( 2 r + 1)!} X ^ {2 r} + \ ldots \ right]

entonces la solución completa es

y = A \ left [1- \ frac {2 n} {2!} x ^ {2} + \ frac {2 ^ {2} n (n-2)} {4!} x ^ {4} - \ ldots \ right] + B \ left [1- \ frac {2 (n-1)} {3!} x ^ {2} + \ frac {2 ^ {2} (n-1) (n-3)} {5!} X ^ {4} \ ldots \ right]

donde A y B son las constantes arbitrarias

Polinomio de Hermite

   La solución de la ecuación de Hermite es de la forma y (x) = Ay1(x) + Por2(x) donde y1(X y Y2(x) son los términos de la serie como se discutió anteriormente,

y_ {1} (x) = 1- \ frac {2 n} {2!} x ^ {2} + 2 ^ {2} n \ frac {(n-2)} {4!} x ^ {4} - \ frac {2 ^ {3} n (n-2) (n-4)} {6!} x ^ {6} + \ cdots

y_{2}(x)=x-\frac{2(n-1)}{3 !} x^{3}+\frac{2^{2}(n-1)(n-3)}{5 !} x^{5}-\frac{2^{3}(n-1)(n-3)(n-5)}{7 !} x^{7}+\cdots

una de estas series termina si n es un entero no negativo si n es par y1 termina de lo contrario y2 si n es impar, y podemos verificar fácilmente que para n = 0,1,2,3,4 …… .. estos polinomios son

1, x, 1-2 x ^ {2}, x- \ frac {2} {3} x ^ {3}, 1-4 x ^ {2} + \ frac {4} {3} x ^ {4 }, x- \ frac {4} {3} x ^ {3} + \ frac {4} {15} x ^ {5}

entonces podemos decir aquí que la solución de la ecuación de Hermite es un múltiplo constante de estos polinomios y los términos que contienen la mayor potencia de x son de la forma 2nxn denotado por Hn(x) se conoce como Polinomio hermita

Función generadora del polinomio de Hermite

El polinomio de Hermite generalmente se define con la ayuda de la relación usando la función generadora

\ mathrm {e} ^ {\ left (2 x tt ^ {2} \ right)} = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ mathbf {H} _ {\ mathrm {n}} (\ mathbf {x}) \ frac {\ mathrm {t} ^ {\ mathrm {a}}} {\ mathrm {n}!}, \ quad

\ begin {alineado} \ mathrm {e} ^ {\ left (2 x tt ^ {2} \ right)} = \ mathrm {e} ^ {2 ut} \ mathrm {e} ^ {- t ^ {2} } & = \ left [\ sum_ {m = 0} ^ {\ infty} \ frac {(2 \ mathrm {xt}) ^ {\ mathrm {m}}} {\ mathrm {m}!} \ right] \ izquierda [\ sum _ {\ mathrm {k} = 0} ^ {\ infty} \ frac {\ left (- \ mathrm {t} ^ {2} \ right) ^ {\ mathrm {k}}} {\ mathrm { k}!} \ right] \\ & = \ sum _ {\ mathrm {n} = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {\ mathrm {k} = 0} ^ {[\ mathrm {n} / 2]} \ frac {(- 1) ^ {\ mathrm {k}} (2 \ mathrm {x}) ^ {\ mathrm {n} -2 \ mathrm {k}}} {\ mathrm {k}! (\ mathrm { n} -2 \ mathrm {k})!} \ mathrm {t} ^ {\ mathrm {n}} \ end {alineado}

[n / 2] es el mayor número entero menor o igual an / 2, por lo que sigue el valor de Hn(X) as

\ mathrm {H} _ {\ mathrm {n}} (\ mathrm {x}) = \ sum _ {\ mathrm {k} = 0} ^ {[\ mathrm {n} / 2]} \ frac {(- 1 ) ^ {\ mathrm {k}} \ mathrm {n}!} {\ mathrm {k}! (\ mathrm {n} -2 \ mathrm {k})!} (2 \ mathrm {x}) ^ {\ mathrm {n} -2 \ mathrm {k}}

donde \ quad $ \ left [\ frac {\ mathrm {n}} {2} \ right] = \ left \ {\ begin {array} {ll} \ frac {\ mathrm {n}} {2}, & \ text {if} \ mathrm {n} \ text {es par} \\ \ frac {\ mathrm {n} -1} {2}, & \ text {if} \ mathrm {n} \ text {es impar} \ end {matriz} \ right. $

esto muestra que Hn(X) es un polinomio de grado n en xy

\ mathrm {H} _ {\ mathrm {n}} (\ mathrm {x}) = 2 ^ {\ mathrm {n}} \ mathrm {x} ^ {\ mathrm {n}} + \ pi _ {\ mathrm { n} -2} (\ mathrm {x})

dónde πn-2 (x) es el polinomio de grado n-2 en x, y será una función par de x para un valor par de n y una función impar de x para un valor impar de n, entonces

\ mathrm {H} _ {\ mathrm {n}} (- \ mathrm {x}) = (- 1) ^ {\ mathrm {n}} \ mathrm {H} _ {\ mathrm {n}} (\ mathrm {X})

algunos de los polinomios de Hermite iniciales son

\ begin {matriz} {l} \ mathrm {H} _ {0} (\ mathrm {x}) = 1 \\ \ mathrm {H} _ {1} (\ mathrm {x}) = 2 \ mathrm {x } \\ \ mathrm {H} _ {2} (\ mathrm {x}) = 4 \ mathrm {x} ^ {2} -2 \\ \ mathrm {H} _ {3} (\ mathrm {x}) = 8 \ mathrm {x} ^ {3} -12 \\ \ mathrm {H} _ {4} (\ mathrm {x}) = 16 \ mathrm {x} ^ {4} -48 \ mathrm {x} ^ {2} +12 \\ \ mathrm {H} _ {5} (\ mathrm {x}) = 32 \ mathrm {x} ^ {5} -160 \ mathrm {x} ^ {3} +120 \ mathrm { x} \ end {matriz}

Fórmula de Rodrigue del polinomio de Hermite | Función generadora del polinomio de Hermite por fórmula de Rodrigue

El polinomio de Hermite también se puede definir con la ayuda de la fórmula de Rodrigue usando la función generadora

\ mathrm {H} _ {\ mathrm {n}} (\ mathrm {x}) = (- 1) ^ {\ mathrm {n}} \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {x} ^ {2}} \ frac {\ mathrm {d} ^ {\ mathrm {n}}} {\ mathrm {dx} ^ {\ mathrm {n}}} \ left (\ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {x} ^ { 2}} \ derecha)

ya que la relación de función generadora

\ mathrm {e} ^ {2 \ mathrm {tx} - \ mathrm {t} ^ {2}} = \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {x} ^ {2} - (\ mathrm {t} - \ mathrm {x}) ^ {2}} = \ sum _ {\ mathrm {n} = 0} ^ {\ infty} \ frac {\ mathrm {H} _ {\ mathrm {n}} (\ mathrm {x}) } {\ mathrm {n}!} \ mathrm {t} ^ {\ mathrm {n}}

  Usando el teorema de Maclaurin, tenemos

\ izquierda. \ frac {\ parcial ^ {\ mathrm {n}}} {\ parcial \ mathrm {t} ^ {\ mathrm {n}}} \ izquierda (\ mathrm {e} ^ {2 \ mathrm {tx} - \ mathrm {t} ^ {2}} \ right) \ right | _ {\ mathrm {t} = 0} = \ left. \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {x} ^ {2}} \ frac {\ parcial ^ {\ mathrm {n}}} {\ parcial \ mathrm {t} ^ {\ mathrm {n}}} \ left (\ mathrm {e} ^ {- (t- \ mathrm {x}) ^ {2}} \ right) \ right | _ {\ mathrm {t} = 0} = \ mathrm {H} _ {\ mathrm {n}} (\ mathrm {x})

or

\ izquierda. \ frac {\ parcial ^ {\ mathrm {n}}} {\ parcial \ mathrm {t} ^ {\ mathrm {n}}} \ izquierda [\ mathrm {e} ^ {- (\ mathrm {t } - \ mathrm {x}) ^ {2}} \ right] \ right | _ {\ mathrm {t} = 0} = \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {x} ^ {2}} \ mathrm {H} _ {\ mathrm {n}} (\ mathrm {x})

poniendo z = xt y

\ frac {\ parcial} {\ parcial \ mathrm {t}} = - \ frac {\ parcial} {\ parcial \ mathrm {z}}

para t = 0, entonces z = x da

\ begin {array} {l} \ left. (- 1) ^ {\ mathrm {n}} \ frac {\ mathrm {d} ^ {\ mathrm {n}}} {\ mathrm {d} \ mathrm {z } ^ {\ mathrm {n}}} \ left (\ mathrm {e} ^ {- z ^ {2}} \ right) \ right | _ {\ mathrm {z} = \ mathrm {x}} = (- 1) ^ {\ mathrm {n}} \ frac {\ mathrm {d} ^ {\ mathrm {n}} \ left (\ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {x} ^ {2}} \ right) } {\ mathrm {dx} ^ {\ mathrm {n}}} = \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {x} ^ {2}} \ mathrm {H} _ {\ mathrm {n}} (\ mathrm {x}) \\ \ por lo tanto \ mathrm {H} _ {\ mathrm {n}} (\ mathrm {x}) = (- 1) ^ {\ mathrm {n}} \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {x} ^ {2}} \ frac {\ mathrm {d} ^ {\ mathrm {n}}} {\ mathrm {d} \ mathrm {x} ^ {\ mathrm {n}}} \ left (\ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {x} ^ {2}} \ right) \ end {matriz}

esto lo podemos mostrar de otra manera como

e ^ {x ^ {2}} \ frac {\ parcial ^ {n}} {\ parcial t ^ {n}} e ^ {\ left \ {- (tx) ^ {2} \ right \}} = H_ {n} (x) + H_ {n + 1} (x) t + H_ {n + 2} (x). t ^ {2} + \ ldots \ ldots

diferenciando

e ^ {\ left .- (tx) ^ {2} \ right \}

con respecto a t da

\ frac {\ parcial} {\ parcial t} e ^ {\ left \ {- (tx) ^ {2} \ right \}} = - 2 (tx) e ^ {\ left \ {- (tx) ^ { 2} \ right \}}

tomando el límite t tiende a cero

\ lim _ {t \ rightarrow 0} \ frac {\ parcial} {\ parcial t} e ^ {\ left \ {- (tx) ^ {2} \ right \}} = 2 xe ^ {- x ^ {2 }}

ahora diferenciando con respecto ax

\ frac {\ parcial} {\ parcial x} e ^ {\ izquierda \ {- (tx) ^ {2} \ derecha \}} = (- 1) ^ {2} (tx) e ^ {\ izquierda \ { - (tx) ^ {2} \ right \}}

tomando el límite t tiende a cero

\ lim _ {t \ rightarrow 0} \ frac {\ parcial} {\ parcial x} e ^ {\ left \ {- (tx) ^ {2} \ right \}} = - 2 xe ^ {- x ^ { 2}}

a partir de estas dos expresiones podemos escribir

\ izquierda. \ lim _ {t \ flecha derecha 0} \ frac {\ parcial} {\ parcial t} e ^ {\ izquierda \ {- (tx) ^ {2} \ derecha \}} = (- 1) ^ { 1} \ lim _ {t \ rightarrow 0} \ frac {\ partial} {\ partial x} e ^ {\ left \ {- (tx) ^ {2} \ right.} \ Right \}

de la misma manera podemos escribir

\ izquierda. \ lim _ {t \ flecha derecha 0} \ frac {\ parcial ^ {2}} {\ parcial t ^ {2}} e ^ {\ izquierda \ {- (tx) ^ {2} \ derecha \} } = (- 1) ^ {2} \ lim _ {t \ flecha derecha 0} \ frac {\ parcial ^ {2}} {\ parcial x ^ {2}} e ^ {\ left \ {- (tx) ^ {2} \ right.} \ Right \}

\ lim _ {t \ rightarrow 0} \ frac {\ parcial ^ {n}} {\ parcial t ^ {n}} e ^ {\ left \ {- (tx) ^ {2} \ right \}} = ( -1) ^ {n} \ lim _ {t \ flecha derecha 0} \ frac {\ parcial ^ {n}} {\ parcial x ^ {n}} e ^ {\ left \ {- (tx) ^ {2} \ right \}} = (- 1) ^ {n} \ frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}} e ^ {- x ^ {2}}

 diferenciando n veces poner t = 0, obtenemos

\ lim _ {t \ rightarrow 0} e ^ {x ^ {2}} \ frac {\ parcial ^ {n}} {\ parcial t ^ {n}} e ^ {\ left \ {- (tx) ^ { 2} \ right \}} = H_ {n} (x)

a partir de estos valores podemos escribir

\ begin {matriz} {l} (-1) ^ {n} e ^ {x ^ {2}} \ frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}} e ^ {- x ^ {2} } = H_ {n} (x) \\ H_ {n} (x) = (- 1) ^ {n} e ^ {x ^ {2}} \ frac {d ^ {n}} {dx ^ {n }} e ^ {- x ^ {2}} \\ n = 0 \ end {matriz}

de estos podemos obtener los valores

\ begin {array} {l} n = 0 \\ H_ {0} (x) = (- 1) ^ {0} e ^ {x ^ {2}} e ^ {- x ^ {2}} = 1 \\ H_ {0} (x) = 1 \ end {matriz}

\ begin {matriz} {l} n = 1 \\ H_ {1} (x) = (- 1) ^ {1} e ^ {x ^ {2}} \ frac {d} {dx} e ^ {- x ^ {2}} = - e ^ {x ^ {2}} (- 2 x) e ^ {- x ^ {2}} = 2 x \\ H_ {1} (x) = 2 x \\ n = 2 \ end {matriz}

\ begin {alineado} H_ {2} (x) & = (- 1) ^ {2} e ^ {x ^ {2}} \ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}} e ^ { -x ^ {2}} = e ^ {x ^ {2}} \ frac {d} {dx} \ left (-2 xe ^ {- x ^ {2}} \ right) \\ & = e ^ { x ^ {2}} \ left [-2 e ^ {x ^ {2}} - 2 x (-2 x) e ^ {- x ^ {2}} \ right. \\ & = - 2 + 4 x ^ {2} \\ & H_ {2} (x) = 4 x ^ {2} -2 \\ n = 3 \ end {alineado}

\ begin {alineado} H_ {3} (x) & = (- 1) ^ {3} e ^ {x ^ {2}} \ frac {d ^ {3}} {dx ^ {3}} \ left ( e ^ {- x ^ {2}} \ right) = - e ^ {x ^ {2}} \ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}} \ left (-2 xe ^ {- x ^ {2}} \ right) \\ & = - e ^ {x ^ {2}} \ frac {d} {dx} \ left (-2 e ^ {- x ^ {2}} + (- 2 x ) (- 2 x) e ^ {- x ^ {2}} \ right) \\ & = - e ^ {x ^ {2}} \ frac {d} {dx} \ left (-2 + 4 x ^ {2} \ right) e ^ {- x ^ {2}} = - e ^ {x ^ {2}} \ left [8 xe ^ {- x ^ {2}} + \ left (4 x ^ {2 } -2 \ right) (- 2 x) e ^ {- x ^ {2}} \ right] \ end {alineado}

\ begin {matriz} {l} = - \ left [8 x + \ left (4 x ^ {2} -2 \ right) (- 2 x) \ right] = - 8 x + 8 x ^ {3} -4 x = 8 x ^ {3} -12 x \\ H_ {3} (x) = 8 x ^ {3} -12 x \\ H_ {4} (x) = 16 x ^ {4} -48 x ^ {2} +12 \ end {matriz}

\ begin {matriz} {l} H_ {5} (x) = 32 x ^ {5} -160 x ^ {3} +120 x \\ H_ {6} (x) = 64 x ^ {6} -480 x ^ {4} +720 x ^ {2} -120 \\ H_ {7} (x) = 128 x ^ {7} -1344 x ^ {5} +3360 x ^ {3} -1680 x \ end { formación}

Ejemplo sobre el polinomio de Hermite           

  1. Encuentra el polinomio ordinario de

2 H_{4}(x)+3 H_{3}(x)-H_{2}(x)+5 H_{1}(x)+6 H_{0}

Solución: usando la definición del polinomio de Hermite y las relaciones que tenemos

\ begin {matriz} {l} 2 H_ {4} (x) +3 H_ {3} (x) -H_ {2} (x) +5 H_ {1} (x) +6 H_ {0} \\ \ quad = 2 \ left [16 x ^ {4} -48 x ^ {2} +12 \ right] +3 \ left \ {8 x ^ {3} -12 x \ right \} - \ left (4 x ^ {2} -2 \ right) +5 (2 x) +6 (1) \\ \ quad = 32 x ^ {4} -96 x ^ {2} + 24 + 24 x ^ {3} -36 x -4 x ^ {2} + 2 + 10 x + 6 \\ = 32 x ^ {4} +24 x ^ {3} -100 x ^ {2} -26 x + 32 \ end {matriz}

2. Encuentra el polinomio de Hermite del polinomio ordinario

64 x ^ {4} +8 x ^ {3} -32 x ^ {2} +40 x + 10

Solución: La ecuación dada la podemos convertir a Hermite como

\ begin {align} 64 x ^ {4} +8 x ^ {3} y -32 x ^ {2} +40 x + 10 = \ mathrm {AH} _ {4} (x) + \ mathrm {BH} _ {3} (x) + \ mathrm {CH} _ {2} (x) + \ mathrm {DH} _ {1} (x) + \ mathrm {EH} _ {0} (x) \\ & = \ mathrm {A} \ left (16 x ^ {4} -48 x ^ {2} +12 \ right) + \ mathrm {B} \ left (8 x ^ {3} -12 x \ right) + \ mathrm {C} \ left (4 x ^ {2} -2 \ right) + \ mathrm {D} (2 x) + \ mathrm {E} (1) \\ & = 16 \ mathrm {~ A} x ^ { 4} +8 \ mathrm {~ B} x ^ {3} (- 48 \ mathrm {~ A} +4 \ mathrm {C}) x ^ {2} + (- 12 \ mathrm {~ B} +2 \ mathrm {D}) x + 12 \ mathrm {~ A} -2 \ mathrm {C} + \ mathrm {E} \ end {alineado}

y de esta ecuación igualar el mismo coeficiente de potencias

\ begin {align} 16 \ mathrm {~ A} = 64 & \ Rightarrow \ mathrm {A} = 4 \\ 8 \ mathrm {~ B} = 8 & \ Rightarrow \ mathrm {B} = 1 \\ -48 \ mathrm {~ A} +4 \ mathrm {C} = - 32 & \ Flecha derecha 4 \ mathrm {C} = - 32 + 192 \ Flecha derecha \ mathrm {C} = 40 \\ -12 \ mathrm {~ B} +2 \ mathrm {D} = 40 & \ Rightarrow-12 + 2 \ mathrm {D} = 40 \ Rightarrow 2 \ mathrm {D} = 52 \ Rightarrow \ mathrm {D} = 26 \\ 12 \ mathrm {~ A} - 2 \ mathrm {C} + \ mathrm {E} = 10 & \ Rightarrow 12 \ times 4-2 (40) + \ mathrm {E} = 10 \ Rightarrow \ mathrm {E} = 42 \ end {alineado}

por lo tanto, el polinomio de Hermite será

4 \mathrm{H}_{4}(x)+\mathrm{H}_{3}(x)+40 \mathrm{H}_{2}(x)+26 \mathrm{H}_{1}(x)+42 \mathrm{H}_{0}(x)

Ortogonalidad del polinomio de Hermite | Propiedad ortogonal del polinomio de Hermite

La característica importante del polinomio de Hermite es su ortogonalidad que establece que

\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} H_ {m} (x) H_ {n} (x) dx = \ left \ {\ begin {array} {ll} 0, & m \ neq n \\ 2 ^ {n} n! \ sqrt {\ pi}, & m = n \ end {matriz} \ right.

Para probar esta ortogonalidad recordemos que

e ^ {\ left \ {x ^ {2} - \ left (t_ {1} -x \ right) ^ {2} \ right \}} = \ sum \ frac {H_ {n} (x)} {n !} t_ {1} ^ {n}

que es la función generadora del polinomio de Hermite y sabemos

e ^ {\ left \ {x ^ {2} - \ left (t_ {2} -x \ right) ^ {2} \ right \}} = \ sum \ frac {H_ {m} (x)} {m !} t_ {2} ^ {m}

así que multiplicando estas dos ecuaciones obtendremos

\ begin {alineado} e ^ {\ left \ {x ^ {2} - \ left (t_ {1} -x \ right) ^ {2} \ right \}} \ cdot e ^ {\ left \ {x ^ {2} - \ left (t_ {2} -x \ right) ^ {2} \ right \}} & = \ left [\ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {H_ {n} ( x)} {n!} t_ {1} ^ {n} \ right] \ left [\ sum_ {m = 0} ^ {\ infty} \ frac {H_ {m} (x)} {m!} t_ { 2} ^ {m} \ right] \\ & = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ left [H_ {n} (x) \ left | H_ {m} (x) \ right | \ right ] \ frac {t_ {1} ^ {n} \ cdot t_ {2} ^ {m}} {n! m!} \ end {alineado}

multiplicar e integrar dentro de límites infinitos

\ begin {matriz} {l} \ left. \ left. \ sum_ {nm} \ left [\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} H_ {n} (x ) H_ {m} (x) dx \ right] \ frac {t_ {1} ^ {n} t_ {2} ^ {m}} {n! m!} = e ^ {- x ^ {2}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {\ left \ {x ^ {2} - \ left (t_ {1} -x \ right ) ^ {2} \ right.} \ Right \} _ {.} E ^ {\ left \ {x ^ {2} - \ left (t_ {2} -x \ right) ^ {2} \ right.} \ right \} _ {dx} \\ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {\ left \ {x ^ {2} - \ left (t_ {1} -x \ right) ^ { 2} \ derecha \} - \ izquierda (t_ {2} -x \ derecha) ^ {2}} dx \\ = e ^ {\ izquierda (- \ izquierda (t_ {1} ^ {2} + t_ {2 } ^ {2} \ right) \ right \}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {\ left \ {- x ^ {2} +2 x \ left (t_ {1} + t_ {2} \ right) \ right \}} dx \ end {matriz}

y desde

\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {\ left \ {- ax ^ {2} +2 bx \ right \}} dx = \ sqrt {\ frac {\ pi} {2} e ^ { \ frac {b ^ {2}} {a}}} \ quad

so

\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {\ left \ {- x ^ {2} +2 x \ left (t_ {1} + t_ {2} \ right) \ right \}} dx = \ sqrt {\ pi} e ^ {\ left (t_ {1} + t_ {2} \ right) ^ {2}}

usando este valor en la expresión anterior tenemos

\ begin {alineado} e ^ {\ left \ {- \ left (i + 1 + r_ {2} \ right) ^ {2} \ right \}} \ cdot \ sqrt {\ pi} e ^ {\ left ( t_ {1} + t_ {2} \ right) ^ {2}} & = \ sqrt {\ pi} e ^ {- t ^ {2} -t_ {2} ^ {2} + t_ {1} ^ { 2} + t_ {2} ^ {2} +2 \ uparrow r_ {2}} = \ sqrt {\ pi} e ^ {2 l_ {1} l_ {2}} \\ & = \ sqrt {\ pi} \ left [1 + 2 t_ {1} t_ {2} + \ frac {\ left (2 t_ {1} t_ {2} \ right) ^ {2}} {2!} + \ frac {\ left (2 t_ {1} t_ {2} \ right) ^ {3}} {3!} + \ ldots \ ldots. \ right] = \ sqrt {\ pi} \ sum \ frac {\ left (2 t_ {1} t_ {2} \ right) ^ {n}} {n!} \\ & = \ sqrt {\ pi} \ sum \ frac {2 ^ {n} t_ {1} ^ {n} t_ {2} ^ {n }} {n!} = \ sqrt {\ pi} \ sum_ {m = 0 \ encima de n = 0} ^ {\ infty} 2 ^ {n} t_ {1} ^ {n} t_ {2} ^ {m } \ delta_ {m, n} \ quad \ left [t_ {2} ^ {n} = t_ {2} ^ {m} \ delta_ {n, m} \ right] \ end {alineado}

lo que da

\ sum_ {nm} \ left [\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} H_ {n} (x) H_ {m} (x) dx \ right] \ frac {t_ {1} ^ {n} t_ {2} ^ {m}} {n! m!} = \ sqrt {\ pi} \ sum_ {nm} \ frac {2 ^ {n}} {n!} e ^ {n} t_ {2} ^ {m} \ delta_ {n, m}

ahora igualar los coeficientes en ambos lados

\ begin {matriz} {ll} & \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} \ frac {H_ {n} (x) H_ {m} (x)} { n! m!} dx = \ frac {\ sqrt {\ pi} 2 ^ {n}} {n!} \ delta_ {n, m} \\ \ Flecha derecha & \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {-x ^ {2}} H_ {n} (x) H_ {m} (x) dx = \ sqrt {\ pi} 2 ^ {n} m \ mid \ delta_ {n, m} \\ \ Flecha derecha & \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} H_ {m} (x) H_ {n} (x) dx = \ left \ {\ begin {array} {ll} 0 & m \ neq n \ left [\ delta_ {n, m} = 0, \ text {if} m \ neq n \ right. \\ 2 ^ {n} n! \ sqrt {\ pi}, & m = n \ end {matriz} \ left [\ begin {matriz} {l} = 1, \ text {if} m = n \ end {matriz} \ right] \ right. \ end {matriz}

que muestra la propiedad ortogonal del polinomio de Hermite.

  El resultado de la propiedad ortogonal del polinomio de Hermite se puede mostrar de otra manera considerando la relación de recurrencia

Ejemplo de ortogonalidad del polinomio de Hermite

1.Evaluar la integral

\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} H_ {2} (x) H_ {3} (x) dx

Solución: utilizando la propiedad de ortogonalidad del polinomio de hermita

\ begin {matriz} {l} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} H_ {m} (x) H_ {n} (x) = 0 \ text {if } m \ neq n \ end {matriz}

ya que los valores aquí son m = 3 y n = 2 entonces

\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} H_ {2} (x) H_ {3} (x) = 0

2. Evaluar la integral

\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} \ left [H_ {2} (x) \ right] ^ {2} dx

Solución: Usando la propiedad de ortogonalidad del polinomio de Hermite podemos escribir

\ begin {matriz} {l} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} \ left [H_ {n} (x) \ right] ^ {2} dx = 2 ^ {n} (n)! \ sqrt {\ pi} \\ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} \ left [H_ {2} (x) \ right] ^ {2} dx = 2 ^ {2} (2!) \ Sqrt {\ pi} = 8 \ sqrt {\ pi} \ end {matriz}

Relaciones de recurrencia del polinomio de Hermite

El valor del polinomio de Hermite se puede averiguar fácilmente mediante las relaciones de recurrencia

Polinomio hermita
Relaciones de recurrencia polinomial de Hermite

Estas relaciones se pueden obtener fácilmente con la ayuda de la definición y las propiedades.

Pruebas: 1. Conocemos la ecuación de Hermite

y ^ {\ prime \ prime} -2 xy ^ {\ prime} +2 ny = 0

y la relación

e ^ {2 tx-t ^ {2}} = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {H_ {n} (x) t ^ {n}} {n!}

tomando la diferenciación con respecto ax parcialmente, podemos escribirlo como

2 te ^ {2t xt ^ {2}} = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} H_ {n} ^ {'} (x) \ frac {r ^ {m}} {n!}

de estas dos ecuaciones

\ quad 2 t \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {H_ {n} (x) t ^ {n}} {n!} = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} H_ {n} ^ {'} (x) \ frac {t ^ {n}} {n!}

\ quad 2 \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {H_ {n} (x) t ^ {n + 1}} {n!} = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} H_ {n} ^ {\ prime} (x) \ frac {t ^ {n}} {n!}

ahora reemplace n por n-1

2 \ frac {H _ {\ mathrm {m} -1} (\ mathrm {x}) t ^ {n}} {(n-1)!} = H_ {n} ^ {'} (x) \ frac { t ^ {n}} {n!}

\ quad \ frac {2 n H_ {n-1} (x) t ^ {n}} {n!} = H_ {n} ^ {\ prime} (x) \ frac {t ^ {n}} {n !}

equiparando el coeficiente de tn

2 \ frac {n!} {(N-1)!} H_ {n-1} (x) = H ^ {\ prime} {} _ {n} (x)

\ quad 2 n H_ {n-1} (x) = H_ {n} ^ {\ prime} (x)

entonces el resultado requerido es

\ mathbf {2 n H_ {n-1} (x) = H_ {n} ^ {\ prime} (x)}

2. De manera similar diferenciando parcialmente con respecto a t la ecuación

e ^ {2 tx-t ^ {2}} = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {H_ {n} (x) t ^ {n}} {n!}

obtenemos

2 (xt) e ^ {2 tx-t ^ {2}} = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} H_ {n} (x) \ frac {nt ^ {n-1}} {(n -1)!}

2 (xt) e ^ {2tx-t ^ {2}} = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} H_ {n} (x) \ frac {t ^ {n-1}} {(n- 1)!}

n = 0 desaparecerá, por lo que al poner este valor de e

2 (xt) \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} H_ {n} (x) \ frac {t ^ {n}} {n!} = \ Sum_ {n = 1} ^ {\ infty} H_ {n} (x) \ frac {t ^ {n-1}} {(n-1)!}

\ quad 2 x \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} H_ {n} (x) \ frac {t ^ {n}} {n!} - 2 \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} H_ {n} (x) \ frac {t ^ {n + 1}} {n!} = \ Sum_ {n = 1} ^ {\ infty} H_ {n} (x) \ frac {r ^ {n- 1}} {(n-1)!}

ahora igualando los coeficientes de tn

2 x \ frac {H_ {n} (x)} {n!} - 2 \ frac {H_ {n-1} (x)} {(n-1)!} = \ Frac {H_ {n + 1} (x)} {n!} \ quad

así

\ quad \ mathbf {2 x H_ {n} (x) = 2 n H_ {n-1} (x) + H_ {n + 1} (x)}

3. Para probar este resultado eliminaremos Hn-1 desde

2 x H_ {n} (x) = 2 n H_ {n-1} (x) + H_ {n + 1} (x)

y

2 n H_ {n-1} (x) = H_ {n} ^ {\ prime} (x)

así que obtenemos

\ begin {alineado} 2 x H_ {n} (x) = 2 n H_ {n-1} (x) + H_ {m + 1} (x) y (x) \\ 2 x H_ {n} (x ) = H_ {n} ^ {r} (x) + H_ {n + 1} (x) \\\ ldots \ ldots \ end {alineado}

así podemos escribir el resultado

\ mathbf {H_ {n} ^ {\ prime} (x) = 2 x H_ {n} (x) -H_ {n + 1} (x)}

4. Para probar este resultado diferenciamos

H_ {n} ^ {\ prime} (x) = 2 x H_ {n} (x) -H_ {n + 1} (x)

obtenemos la relación

H_ {n} ^ {\ prime \ prime} (x) = 2 x H_ {n} ^ {'} (x) +2 H_ {n} (x) -H_ {n + 1} ^ {\ prime} ( X)

sustituyendo el valor

H_ {n + 1} ^ {'} (x) = 2 (n + 1) H_ {n} (x)

y reemplazando n por n + 1

H_ {n} ^ {'} (x) = 2 \ mathrm {x} H_ {n} ^ {\ prime} (x) +2 H_ {n} (x) -2 (n + 1) H_ {n} (X)

\ quad H_ {n} ^ {'} (x) -2 x H_ {n} ^ {\ prime} (x) +2 n H_ {n} (x) = 0

lo que da

\ mathbf {H_ {n} ^ {\ prime \ prime} (x) -2 x H_ {n} ^ {1} (x) +2 n H_ {n} (x) = 0]}

Ejemplos de relaciones de recurrencia del polinomio de Hermite

1.Muestre eso

H_ {2 n} (0) = (- 1) ^ {n} \ cdot 2 ^ {2 n} \ left (\ frac {1} {2} \ right) ^ {n}

Solución:

Para mostrar el resultado tenemos

H_{2 n}(x)=\sum\frac{(-1)^{n}(2m)!(2x)^{2n+2x}}{x!(2n-2x)!}

tomando x = 0 aquí obtenemos

\ begin {alineado} H_ {2 n} (0) & = \ frac {(- 1) ^ {n} (2 n)!} {(n)!} = (- 1) ^ {n} \ frac { (2 n) (2 n-1) (2 n-2) \ cdot \ ldots} {n (n-1) (n-2) \ ldots \ ldots 1} \\ & = (- 1) ^ {n } \ frac {2 (2 n-1) 2 (2 n-3) 2 (2 n-5) 2 \ cdot \ ldots 2.1} {n!} n! \\ & = (- 1) ^ {n} 2 ^ {n} \ cdot 2 ^ {n} \ frac {(2 n-1)} {2} \ frac {(2 n-3)} {2} \ frac {(2 n-5)} {2} \\ & = (- 1) ^ {n} 2 ^ {2 n} \ left (\ frac {1} {2} \ right) \ left (\ frac {3} {2} \ right) \ left (\ frac {5} {2} \ right) \ left (\ frac {7} {2} \ right) \ ldots \ ldots \ left (\ frac {2 n- 3} {2} \ right) \ left (\ frac {2 n-1} {2} \ right) \\ & = (- 1) ^ {n} 2 ^ {2 n} \ left (\ frac {1 } {2} \ right) ^ {m} \ end {alineado}

2. Demuestre que

H^{\prime}{ }_{2 n+1}(0)=(-1)^{n} 2^{2 n+1}\left(\frac{3}{2}\right)^{2}

Solución:

Dado que de la relación de recurrencia

H_ {n} ^ {\ prime} (x) = 2 n H_ {n-1} (x)

aquí reemplace n por 2n + 1 entonces

H_ {2 n + 1} ^ {\ prime} (x) = 2 (2 n + 1) H_ {2 n} (x)

tomando x = 0

\ begin {alineado} H_ {2 n + 1} ^ {\ prime} (0) & = 2 (2 n + 1) H_ {2 n} (0) \\ & = 2 (2 n + 1) (- 1) ^ {n} 2 ^ {2 n} \ left (\ frac {1} {2} \ right) ^ {n} \\ & = (2 n + 1) (- 1) ^ {n} 2 ^ {2 n + 1} \ left [\ frac {(2 n-1) (2 n-3) \ ldots \ ldots 3.1} {2 ^ {n}} \ right] \\ & = (- 1) ^ { n} 2 ^ {2 n + 1} \ left [\ frac {3} {2} \ left (\ frac {3} {2} +1 \ right) \ ldots \ ldots \ left (\ frac {3} { 2} + n-1 \ right) \ right] \\ & = (- 1) ^ {n} \ cdot 2 ^ {2 n + 1} \ left (\ frac {3} {2} \ right) ^ { n} \ end {alineado}

3. Encuentra el valor de

H_ {2 n + 1} (0)

solución

Como sabemos

H_ {2 n + 1} (x) = \ sum_ {k = 0} ^ {2 n + 1/2} \ frac {(- 1) ^ {k} (2 n + 1)! (2 x) ^ {2 n + 1-2 k}} {k! (2 n + 1-2 k)}

use x = 0 aquí

\ por tanto H_ {2 n + 1} (0) = 0

4. Halla el valor de H '2n(0).

solución :

tenemos la relación de recurrencia

H ^ {\ prime} {} _ {n} (x) = 2 n H_ {n-1} (x)

aquí reemplace n por 2n

H ^ {\ prime} _ {2 n} (x) = 2 (2 n) H_ {2 n-1} (x)

poner x = 0

H^{\prime}_{2 n}(0)=(4 n) H_{2 n-1}(0)=4n*0=0

5. Muestra el siguiente resultado

\ frac {d ^ {m}} {dx ^ {m}} \ left \ {H_ {n} (x) \ right \} = \ frac {2 ^ {n} (n)!} {(nm)! } H_ {nm} \ quad m <n

solución :

Usando la relación de recurrencia

H ^ {\ prime} {} _ {n} (x) = 2 n H_ {n-1} (x)

so

\ begin {alineado} \ quad \ frac {d} {dx} \ left \ {H_ {n} (x) \ right \} & = 2 m H_ {n-1} (x) \\ \ quad \ frac { d ^ {2}} {dx ^ {2}} \ left \ {H_ {n} (x) \ right \} & = 2 n \ frac {d} {dx} \ left [H_ {n-1} ( x) \ derecha] \\ & = 2 n H ^ {\ prime} n-1 \ encima (x) \\ & = 2 n \ left [2 (n-1) H_ {n-2} (x) \ derecha] \\ & = 2 ^ {2} n (n-1) H_ {n-2} (x) \ end {alineado}

y

\frac{d^{3}}{d x^{3}}\left\{H_{n}(x)\right\}=2^{3} n(n-1)(n-2) H_{n-3}(x)

diferenciando esto m veces

\ frac {d ^ {m}} {d ^ {m}} \ left \ {H_ {n} (x) \ right \} = 2 ^ {m} n (n-1) \ ldots \ ldots (n- m + 1) H_ {nm} (x) \\ = \ frac {2 ^ {\ prime m}} {(nm)!} H_ {nw} (x), m <n

lo que da

\ frac {d ^ {m}} {dx ^ {m}} \ left {H_ {n} (x) \ right} = \ frac {2 ^ {n} (n)!} {(nm)!} H_ {nm} \ quad m <n

6. Demuestre que

H_ {n} (- x) = (- 1) ^ {n} H_ {n} (x)

solución :

podemos escribir

\ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {H_ {n} (x) t ^ {n}} {n!} = e ^ {2 nt ^ {2}} = e ^ {2 \ pi } e ^ {- t ^ {2}} = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {(2 x) ^ {n} t ^ {n}} {n!} \ times \ sum_ { n = 0} ^ {\ infty} \ frac {(- 1) t ^ {2 n}} {n!}

= \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ sum_ {k = 0} ^ {n / 2} \ frac {(- 1) ^ {k} (2 x) ^ {n-2 k}} { k (n-2 k)!}

del coeficiente de tn tenemos

H_ {n} (x) = \ sum_ {k = 0} ^ {n / 2} \ frac {(- 1) ^ {k} n! ​​(2 x) ^ {n-2 k}} {k! ( n-2 k)!}

y para -x

\ begin {alineado} H_ {n} (- x) & = \ sum_ {k = 0} ^ {\ pi / 2} \ frac {(- 1) ^ {k} n! ​​(- 2 x) ^ {n -2 k}} {k (n-2 k)!} \\ & = \ sum_ {k = 0} ^ {n / 2} \ frac {(- 1) ^ {k} (- 1) ^ {n -2 k} n! ​​(2 x) ^ {n-2 k}} {k (n-2 k)!} \\ & = (- 1) ^ {n} \ sum_ {k = 0} ^ {n / 2} \ frac {(- 1) ^ {k} n! ​​(2 x) ^ {n-2 k}} {k (n-2 k)!} = (- 1) ^ {n} H_ {n } (x) \ end {alineado}

7. Evalúa la integral y muestra

\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xe ^ {- x ^ {2}} H_ {n} (x) H_ {m} (x) dx = \ sqrt {x} \ left [2 ^ {n -1} m \ mid 8_ {m, n-1} + 2 ^ {n} (n + 1) \ delta_ {n * 1, m} \ right].

solución : Para resolver esta integral use las partes de integración como

\ begin {matriz} {l} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xe ^ {- x ^ {2}} H_ {n} (x) H_ {m} (x) dx = \ left [- \ frac {1} {2} e ^ {- x ^ {2}} H_ {n} (x) H_ {m} (x) dx \ right] _ {- \ infty} ^ {\ infty} \\ \ quad + \ frac {1} {2} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} \ frac {d} {dx} \ left \ {H_ {n} (x) H_ {m} (x) \ right \} dx \\ = 0 + \ frac {1} {2} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} \ frac { d} {dx} \ left \ {H_ {n} (x) H_ {m} (x) \ right \} dx \ text {(propiedad de ortogonalidad)} \ end {array}

Ahora diferenciación bajo el signo integral diferenciar con respecto ax

= \ frac {1} {2} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} \ left \ {H_ {n} ^ {\ prime} (x) H_ {m } (x) + H_ {n} (x) H_ {m} ^ {\ prime} (x) \ right \} dx

usar

H_ {n} ^ {\ prime} (x) = 2 n H_ {n-1} (x)

y

H_ {m} ^ {\ prime} (x) = 2 m H_ {m-1} (x)

tenemos

\ begin {array} {l} = \ frac {1} {2} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} \ left [2 n H_ {n-1} (x) H_ {m} (x) +2 m H_ {n} (x) H_ {m-1} (x) \ derecha] dx \\ = n \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} H_ {n-1} (x) H_ {m} (x) d x + m \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2} } H_ {n} (x) H_ {m-1} (x) dx \\ = n \ sqrt {\ pi} 2 ^ {n-1} (n-1)! \ delta_ {m, n-1} + m \ sqrt {\ pi} 2 ^ {n} n! \ delta_ {n, m-1} \ end {matriz}

y desde

\ delta_ {n, m-1} = \ delta_ {n + 1, m}

por lo que el valor de la integral será

= \ sqrt {\ pi} \ left [2 ^ {n-1} n! \ delta_ {m, n-1} + 2 ^ {n} (n + 1)! \ delta_ {n + 1, m} \ right]

Conclusión:

El polinomio específico que ocurre con frecuencia en la aplicación es el polinomio de Hermite, por lo que la definición básica, la función generadora, las relaciones de recurrencia y los ejemplos relacionados con el polinomio de Hermite se discutieron brevemente aquí, si necesita más lectura, consulte

https://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_polynomials

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Acerca de DR. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Yo soy DR. Mohammed Mazhar Ul Haque, profesor asistente de Matemáticas. Tener 12 años de experiencia en la docencia. Tener un vasto conocimiento en Matemática Pura, precisamente en Álgebra. Tener la inmensa capacidad de diseñar y resolver problemas. Capaz de motivar a los candidatos para mejorar su desempeño.
Me encanta contribuir a Lambdageeks para hacer que las matemáticas sean simples, interesantes y autoexplicativas tanto para principiantes como para expertos.
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