Distribución gamma | Sus 7 propiedades importantes

Distribución gamma

Una de las variables aleatorias continuas y la distribución continua es la distribución Gamma.Como sabemos que la variable aleatoria continua se ocupa de los valores o intervalos continuos, también lo es la distribución Gamma con función de densidad de probabilidad específica y función de masa de probabilidad, en la discusión sucesiva que discutimos en detalle el concepto, propiedades y resultados con ejemplos de variable aleatoria gamma y distribución gamma.

Variable aleatoria gamma o distribución gamma | qué es la distribución gamma | definir la distribución gamma | función de densidad de distribución gamma | función de densidad de probabilidad de distribución gamma | prueba de distribución gamma

Una variable aleatoria continua con función de densidad de probabilidad

f (x) = \ begin {cases} \ frac {lambda e ^ {- \ lambda x} (\ lambda x) ^ {\ alpha -1}} {\ tau (\ alpha)} & \ x \ geq 0 \ 0 & \ x <0 \ end {cases}

se sabe que es variable aleatoria Gamma o distribución Gamma donde α> 0, λ> 0 y la función gamma

\ tau (\ alpha) = \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- y} y ^ {\ alpha -1} dy

tenemos la propiedad muy frecuente de la función gamma por integración por partes como

\ tau (\ alpha) = - e ^ {- y} y ^ {^ {\ alpha -1}} \ lvert _ {\ infty} ^ {0} + \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- y} (\ alpha -1) y ^ {\ alpha -2} dy

= (\ alpha -1) \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- y} y ^ {\ alpha -2} dy

= (\ alpha -1) \ tau (\ alpha -1)

Si continuamos el proceso partiendo de n entonces

\ tau (n) = (n-1) \ tau (n-1)

= (n-1) (n-2) \ tau (n-2)

=(n-1) (n-2)....3..2\tau(1)

= .... ..

y finalmente el valor de gamma de uno será

\ tau (1) = \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- x} dx = 1

así el valor será

\ tau (n) = (n-1)!

CDF de distribución gamma | distribución gamma acumulativa | integración de la distribución gamma

La función de distribución acumulativa (CDF) de la variable aleatoria gamma o simplemente la función de distribución de la variable aleatoria gamma es la misma que la de la variable aleatoria continua siempre que la función de densidad de probabilidad sea diferente, es decir

F (x) = P (X \ leq x) = \ int _ {- \ infty} ^ {x} f (u) du

aquí la función de densidad de probabilidad es como se definió anteriormente para la distribución gamma, la función de distribución acumulativa también podemos escribir como

f (a) = P (X \ in (- \ infty, a]) = \ int _ {- \ infty} ^ {a} f (x) dx

en ambos formatos anteriores, el valor de pdf es el siguiente

f (x) = \ begin {cases} \ frac {\ lambda e ^ {- \ lambda x} (\ lambda x) ^ {\ alpha -1}} {\ tau (\ alpha)} & \ x \ geq 0 \\ 0 & \ x <0 \ end {cases}

donde α> 0, λ> 0 son números reales.

Fórmula de distribución gamma | fórmula para la distribución gamma | ecuación de distribución gamma | derivación de la distribución gamma

Para encontrar la probabilidad de la variable aleatoria gamma, la función de densidad de probabilidad que tenemos que usar para diferentes dado α> 0, λ> 0 es como

f (x) = \ begin {cases} \ frac {lambda e ^ {- \ lambda x} (\ lambda x) ^ {\ alpha -1}} {\ tau (\ alpha)} & \ x \ geq 0 \ \ 0 & \ x <0 \ end {cases}


y usando el pdf anterior la distribución para la variable aleatoria gamma que podemos obtener por

P \ izquierda \ {a \ leq X \ leq b \ derecha \} = \ int_ {a} ^ {b} f (x) dx


Por lo tanto, la fórmula de distribución gamma requiere el valor de pdf y los límites para la variable aleatoria gamma según el requisito.

Ejemplo de distribución gamma


muestre que la probabilidad total para la distribución gamma es una con la función de densidad de probabilidad dada, es decir

\ frac {1} {\ Gamma \ left (\ alpha \ right)} \ int_ {0} ^ {\ infty} {\ lambda e ^ {- \ lambda x} {(\ lambda x)} ^ {\ alpha- 1} dx} = 1

para λ> 0, α> 0.
Solución:
usando la fórmula para la distribución gamma

P \ izquierda \ {a \ leq X \ leq b \ derecha \} = \ int_ {a} ^ {b} f (x) dx

P \ left \ {X \ in (- \ infty, \ infty) \ right \} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) dx


dado que la función de densidad de probabilidad para la distribución gamma es

f (x) = \ begin {cases} \ frac {lambda e ^ {- \ lambda x} (\ lambda x) ^ {\ alpha -1}} {\ tau (\ alpha)} & \ x \ geq 0 \ \ 0 & \ x <0 \ end {cases}


que es cero para todo el valor menor que cero, por lo que la probabilidad será ahora

= \ frac {1} {\ Gamma \ left (\ alpha \ right)} \ int_ {0} ^ {\ infty} {\ lambda e ^ {- \ lambda x} {(\ lambda x)} ^ {\ alpha -1} dx}

= \ frac {\ lambda ^ \ alpha} {\ Gamma \ left (\ alpha \ right)} \ int_ {0} ^ {\ infty} {e ^ {- \ lambda x} {(x)} ^ {\ alpha -1} dx}


usando la definición de función gamma

\ tau (\ alpha) = \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- y} y ^ {\ alpha -1} dy


y la sustitución obtenemos

\ frac {1} {\ Gamma \ left (\ alpha \ right)} \ int_ {0} ^ {\ infty} {\ lambda e ^ {- \ lambda x} {(\ lambda x)} ^ {\ alpha- 1} dx} = \ frac {\ lambda ^ \ alpha} {\ Gamma \ left (\ alpha \ right)} \ ast \ frac {\ Gamma \ left (\ alpha \ right)} {\ lambda ^ \ alpha}

así

\ frac {1} {\ Gamma \ left (\ alpha \ right)} \ int_ {0} ^ {\ infty} {\ lambda e ^ {- \ lambda x} {(\ lambda x)} ^ {\ alpha- 1} dx = 1}

Media y varianza de la distribución gamma | expectativa y varianza de la distribución gamma | valor esperado y varianza de la distribución gamma | Media de distribución gamma | valor esperado de la distribución gamma | expectativa de distribución gamma


En la siguiente discusión encontraremos la media y la varianza para la distribución gamma con la ayuda de definiciones estándar de expectativa y varianza de variables aleatorias continuas,

El valor esperado o la media de la variable aleatoria continua X con función de densidad de probabilidad

f (x) = \ begin {cases} \ frac {\ lambda e ^ {- \ lambda x} (\ lambda x) ^ {\ alpha -1}} {\ tau (\ alpha)} & \ x \ geq 0 \\ 0 & \ x <0 \ end {cases}

o la variable aleatoria Gamma X será

E \ left [X \ right] = \ frac {\ alpha} {\ lambda}

media de la prueba de distribución gamma | valor esperado de la prueba de distribución gamma

Para obtener el valor esperado o la media de la distribución gamma, seguiremos la definición y propiedad de la función gamma,
Primero, por la definición de expectativa de la variable aleatoria continua y la función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria gamma tenemos

E \ left [X \ right] = \ frac {1} {\ tau (\ alpha)} \ int_ {0} ^ {\ infty} \ lambda xe ^ {- \ lambda x} (\ lambda x) ^ {\ alpha -1} dx

= \ frac {1} {\ lambda \ tau (\ alpha)} \ int_ {0} ^ {\ infty} \ lambda e ^ {- \ lambda x} (\ lambda x) ^ {\ alpha} dx

= \ frac {\ tau (\ alpha +1)} {\ lambda \ tau (\ alpha)}

cancelando el factor común y usando la definición de función gamma

\ tau (\ alpha) = \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- y} y ^ {\ alpha -1} dy

ahora que tenemos la propiedad de la función gamma

\ tau (n) = (n-1) \ tau (n-1)

el valor de la expectativa será

E \ left [X \ right] = \ frac {\ alpha \ Gamma (\ alpha)} {\ lambda \ Gamma (\ alpha)}

por lo tanto, el valor medio o esperado de la variable aleatoria gamma o la distribución gamma que obtenemos es

E \ left [X \ right] = \ frac {\ alpha} {\ lambda}

varianza de la distribución gamma | varianza de una distribución gamma

La varianza de la variable aleatoria gamma con la función de densidad de probabilidad dada

f (x) = \ begin {cases} \ frac {\ lambda e ^ {- \ lambda x} (\ lambda x) ^ {\ alpha -1}} {\ tau (\ alpha)} & \ x \ geq 0 \\ 0 & \ x <0 \ end {cases}

o la varianza de la distribución gamma será

Var (X) = \ frac {\ alpha} {\ lambda ^ {^ {2}}}

varianza de la prueba de distribución gamma


Como sabemos, la varianza es la diferencia de los valores esperados como

Var (X) = E [X ^ {2}] - (E [X]) ^ {2}

para la distribución gamma ya tenemos el valor de la media

E \ left [X \ right] = \ frac {\ alpha} {\ lambda}

ahora primero calculemos el valor de E [X2], por lo que, por definición de expectativa para la variable aleatoria continua, tenemos
ya que la función f (x) es la función de distribución de probabilidad de la distribución gamma como

E \ left [X ^ 2 \ right] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {x ^ 2f \ left (x \ right) dx}

entonces la integral será de cero a infinito solamente

E \ left [X ^ 2 \ right] = \ frac {1} {\ Gamma \ left (\ alpha \ right)} \ int_ {0} ^ {\ infty} {{\ lambda x} ^ 2e ^ {- \ lambda x} {(\ lambda x)} ^ {\ alpha-1} dx}

E \ left [X ^ 2 \ right] = \ frac {1} {\ lambda ^ 2 \ Gamma \ left (\ alpha \ right)} \ int_ {0} ^ {\ infty} {\ lambda e ^ {- \ lambda x} {(\ lambda x)} ^ {\ alpha + 1} dx}

entonces, por definición de la función gamma, podemos escribir

E \ left [X ^ 2 \ right] = \ frac {\ Gamma \ left (\ alpha + 2 \ right)} {\ lambda ^ {2} \ tau (\ alpha)} = \ frac {(\ alpha +1 ) \ Gamma \ left (\ alpha + 1 \ right)} {\ lambda ^ {2} \ tau (\ alpha)} = \ frac {(\ alpha +1) \ alpha \ Gamma \ left (\ alpha \ right) } {\ lambda ^ {2} \ tau (\ alpha)}

E \ left [X ^ 2 \ right] = \ frac {\ Gamma \ left (\ alpha + 2 \ right)} {\ lambda ^ {2}}

Por lo tanto, usando la propiedad de la función gamma obtuvimos el valor como

E \ left [X ^ 2 \ right] = \ frac {\ alpha (\ alpha + 1)} {\ lambda ^ 2}


Ahora poniendo el valor de estas expectativas en

Var \ left (X \ right) = E [X ^ {2}] - (E [X]) ^ {2}

Var \ left (X \ right) = \ frac {\ alpha (\ alpha + 1)} {\ lambda ^ 2} - \ left (\ frac {\ alpha} {\ lambda} \ right) ^ 2

Var\left(X\right)=\frac{\alpha^2+\alpha}{\lambda^2}-\frac{\alpha^2}{\lambda^2}=\frac{\alpha}{\lambda^2}

por lo tanto, el valor de la varianza de la distribución gamma o la variable aleatoria gamma es

Var \ left (X \ right) = \ frac {\ alpha} {\ lambda ^ {2}}


Parámetros de distribución gamma | distribución gamma de dos parámetros | 2 distribución gamma variable


La distribución Gamma con los parámetros λ> 0, α> 0 y la función de densidad de probabilidad

f (x) = \ begin {cases} \ frac {\ lambda e ^ {- \ lambda x} (\ lambda x) ^ {\ alpha -1}} {\ tau (\ alpha)} & \ x \ geq 0 \\ 0 & \ x <0 \ end {cases}

tiene parámetros estadísticos media y varianza como

E \ left [X \ right] = \ frac {\ alpha} {\ lambda}

y

Var (X) = \ frac {\ alpha} {\ lambda ^ {2}}

dado que λ es un número real positivo, para simplificar y facilitar el manejo, otra forma es establecer λ = 1 / β, por lo que esto da la función de densidad de probabilidad en la forma

f (x) = \ begin {cases} \ frac {e ^ {- \ frac {x} {\ beta}} (x) ^ {\ alpha -1}} {\ beta ^ {\ alpha} \ tau (\ alpha)}, & \ x \ geq 0 \\ 0 & \ x <0 \ end {cases}

En resumen, la función de distribución o función de distribución acumulativa para esta densidad podemos expresar como

F (x) = \ begin {cases} 0, & \ x \ leq 0, \\ \ frac {1} {\ tau (\ alpha) \ beta ^ {\ alpha}} \ int_ {0} ^ {x} y ^ {\ alpha -1} e ^ - {(y / \ beta)} dy & \ x> 0 \ end {cases}

esta función de densidad gamma da la media y la varianza como

E [X] = {\ alpha \ beta}

y

Var (X) = {{\ alpha} \ beta} ^ 2


lo cual es obvio por la sustitución.
Ambas formas se utilizan comúnmente, ya sea la distribución gamma con el parámetro α y λ denotado por gama (α, λ) o la distribución gamma con los parámetros β y λ denotados por gama (β, λ) con los respectivos parámetros estadísticos media y varianza en cada una de las formas.
Ambos no son más que lo mismo.

Gráfico de distribución gamma | gráfico de distribución gamma | histograma de distribución gamma

La naturaleza de la distribución gamma la podemos visualizar fácilmente con la ayuda del gráfico para algunos de los valores específicos de los parámetros, aquí dibujamos las gráficas para la función de densidad de probabilidad y la función de densidad acumulada para algunos valores de los parámetros.
tomemos la función de densidad de probabilidad como

f (x) = \ begin {cases} \ frac {e ^ {- \ frac {x} {\ beta}} (x) ^ {\ alpha -1}} {\ beta ^ {\ alpha} \ tau (\ alpha)}, & \ x \ geq 0 \\ 0 & \ x <0 \ end {cases}

entonces la función de distribución acumulativa será

F (x) = \ begin {cases} 0, & \ x \ leq 0, \\ \ frac {1} {\ tau (\ alpha) \ beta ^ {\ alpha}} \ int_ {0} ^ {x} y ^ {\ alpha -1} e ^ - {(y / \ beta)} dy & \ x> 0 \ end {cases}

distribución gamma

Descripción: gráficos para la función de densidad de probabilidad y la función de distribución acumulada fijando el valor de alfa en 1 y variando el valor de beta.

distribución gamma

Descripción: gráficos para la función de densidad de probabilidad y la función de distribución acumulativa fijando el valor de alfa en 2 y variando el valor de beta

distribución gamma

Descripción: gráficos para la función de densidad de probabilidad y la función de distribución acumulativa fijando el valor de alfa en 3 y variando el valor de beta

distribución gamma

Descripción: gráficos para la función de densidad de probabilidad y la función de distribución acumulativa fijando el valor de beta como 1 y variando el valor de alfa

distribución gamma

Descripción: gráficos para la función de densidad de probabilidad y la función de distribución acumulativa fijando el valor de beta como 2 y variando el valor de alfa

distribución gamma

Descripción: gráficos para la función de densidad de probabilidad y la función de distribución acumulada fijando el valor de beta en 3 y variando el valor de alfa.

En general, las diferentes curvas de variación alfa son

Distribución gamma
Gráfico de distribución gamma

Mesa de distribución gamma | tabla de distribución gamma estándar


El valor numérico de la función gamma

F (x; \ alpha) = \ int_ {0} ^ {x} \ frac {1} {\ tau (\ alpha)} y ^ {\ alpha -1} e ^ {- y} dy


conocido como valores numéricos de función gamma incompleta de la siguiente manera

Distribución gamma



El valor numérico de la distribución gamma para trazar el diagrama de la función de densidad de probabilidad y la función de distribución acumulativa para algunos valores iniciales son los siguientes

1xf (x), α = 1, β = 1f (x), α = 2, β = 2f (x), α = 3, β = 3P (x), α = 1, β = 1P (x), α = 2, β = 2P (x), α = 3, β = 3
0100000
0.10.9048374180.023780735611.791140927E-40.095162581960.0012091042746.020557215E-6
0.20.81873075310.04524187096.929681371E-40.18126924690.004678840164.697822176E-5
0.30.74081822070.064553098230.0015080623630.25918177930.010185827111.546530703E-4
0.40.6703200460.081873075310.002593106130.3296799540.017523096313.575866931E-4
0.50.60653065970.097350097880.0039188968750.39346934030.026499021166.812970042E-4
0.60.54881163610.11112273310.0054582050210.45118836390.036936313110.001148481245
0.70.49658530380.12332041570.0071856645830.50341469620.048671078880.001779207768
0.80.44932896410.13406400920.0090776691950.55067103590.061551935550.002591097152
0.90.40656965970.14346633410.011112273310.59343034030.075439180150.003599493183
10.36787944120.15163266490.013269098340.63212055880.090204010430.004817624203
1.10.33287108370.15866119790.015529243520.66712891630.10572779390.006256755309
1.20.30119421190.16464349080.017875201230.69880578810.12190138220.007926331867
1.30.2725317930.16966487750.02029077660.7274682070.13862446830.00983411477
1.40.24659696390.17380485630.022761011240.75340303610.15580498360.01198630787
1.50.22313016010.17713745730.025272110820.77686983990.17335853270.01438767797
1.60.2018965180.17973158570.027811376330.7981034820.19120786460.01704166775
1.70.18268352410.18165134610.030367138940.81731647590.20928237590.01995050206
1.80.16529888820.18295634690.032928698170.83470111180.22751764650.02311528775
1.90.14956861920.18370198610.035486263270.85043138080.24585500430.02653610761
20.13533528320.18393972060.038030897710.86466471680.26424111770.03021210849
2.10.12245642830.18371731830.040554466480.87754357170.28262761430.03414158413
2.20.11080315840.1830790960.043049586250.88919684160.30097072420.03832205271
2.30.10025884370.18206614240.045509578110.89974115630.31923094580.04275032971
2.40.090717953290.18071652720.047928422840.90928204670.33737273380.04742259607
2.50.082084998620.1790654980.050300718580.91791500140.35536420710.052334462
2.60.074273578210.17714566550.052621640730.92572642180.3731768760.05748102674
2.70.067205512740.17498717590.054886904070.93279448730.39078538750.0628569343
2.80.060810062630.17261787480.057092726880.93918993740.40816728650.06845642568
2.90.055023220060.17006345890.059235797090.94497677990.42530279420.07427338744
30.049787068370.16734762010.06131324020.95021293160.44217459960.08030139707
Gráfico de distribución gamma

encontrar alfa y beta para la distribución gamma | cómo calcular alfa y beta para la distribución gamma | estimación de parámetros de distribución gamma


Para una distribución gamma encontrando alfa y beta, tomaremos la media y la varianza de la distribución gamma

E [X] = {\ alpha \ beta}

y

Var (X) = {{\ alpha} \ beta} ^ 2


ahora obtendremos el valor de beta como

\ frac {Var \ left (X \ right)} {E \ left [X \ right]} = \ frac {{{\ alpha} \ beta} ^ 2} {{\ alpha \ beta}} = {\ beta}


so

{\ beta} = \ frac {Var \ left (X \ right)} {E \ left [X \ right]}


y

\ frac {{E [X]} ^ 2} {Var \ left (X \ right)} = \ frac {\ left ({\ alpha \ beta} \ right) ^ \ mathbf {2}} {{{\ alpha } \ beta} ^ 2} = {\ alpha}

así

{\ alpha} = \ frac {{E [X]} ^ 2} {Var (X)}

solo tomando algunas fracciones de la distribución gamma obtendremos el valor de alfa y beta.

problemas y soluciones de distribución gamma | problemas de ejemplo de distribución gamma | tutorial de distribución gamma | pregunta de distribución gamma

1. Considere que el tiempo requerido para resolver el problema para un cliente es gamma distribuido en horas con la media 1.5 y la varianza 0.75 cuál sería la probabilidad de que el tiempo de resolución del problema exceda las 2 horas, si el tiempo excede las 2 horas cuál sería la probabilidad de que el problema se resolverá en al menos 5 horas.

solución: dado que la variable aleatoria es gamma distribuida con media 1.5 y varianza 0.75 entonces podemos encontrar los valores de alfa y beta y con la ayuda de estos valores la probabilidad será

P (X> 2) = 13e-4= 0.2381

y

P (X> 5 | X> 2) = (61/13) e-6= 0.011631

2. Si la retroalimentación negativa en la semana de los usuarios se modela en distribución gamma con parámetros alfa 2 y beta como 4 después de la retroalimentación negativa de 12 semanas después de reestructurar la calidad, ¿a partir de esta información, la reestructuración puede mejorar el rendimiento?

solución: Como esto se modela en distribución gamma con α = 2, β = 4

encontraremos la media y la desviación estándar como μ = E (x) = α * β = 4 * 2 = 8

\sigma=\sqrt{\alpha\beta^2}=\sqrt{2\ast4^2}=4\sqrt2=5.6568

dado que el valor X = 12 está dentro de la desviación estándar de la media, por lo que no podemos decir que esto sea una mejora o no por la reestructuración de la calidad, para demostrar que la mejora provocada por la reestructuración de la información proporcionada es insuficiente.

3. Sea X la distribución gamma con parámetros α = 1/2, λ = 1/2, encuentre la función de densidad de probabilidad para la función Y = Raíz cuadrada de X

solución: calculemos la función de distribución acumulativa para Y como

F_{Y}(y)=P(Y\leq y)=(P\sqrt{X}\leq y)=P(X\leq y^{2})=\int_{0}^{y^{2}}\frac{(\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}}}{\tau (\frac{1}{2})} x^{-1/2}e^{-x/2}

ahora diferenciando esto con respecto ay da la función de densidad de probabilidad para Y como

f_{Y}(y)=\frac{(\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}}}{\tau (\frac{1}{2})} y^{-1}e^{-y^{2}/2}\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} y}y^{2}=\frac{\sqrt{2}}{\tau (\frac{1}{2})}e^{-y^{2}/2}

y el rango para y será de 0 a infinito


Conclusión:

El concepto de distribución gamma en probabilidad y estadística es uno de la distribución importante aplicable en el día a día de la familia exponencial, todos los conceptos básicos a niveles superiores se discutieron hasta ahora relacionados con distribución gamma, si necesita más lectura, consulte los libros mencionados. También puedes visitar matemáticas página para más tema

https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution
Un primer curso de probabilidad de Sheldon Ross
Esquemas de probabilidad y estadística de Schaum
Una introducción a la probabilidad y la estadística por ROHATGI y SALEH

Acerca de DR. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Yo soy DR. Mohammed Mazhar Ul Haque, profesor asistente de Matemáticas. Tener 12 años de experiencia en la docencia. Tener un vasto conocimiento en Matemática Pura, precisamente en Álgebra. Tener la inmensa capacidad de diseñar y resolver problemas. Capaz de motivar a los candidatos para mejorar su desempeño.
Me encanta contribuir a Lambdageeks para hacer que las matemáticas sean simples, interesantes y autoexplicativas tanto para principiantes como para expertos.
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