Distribución gamma: 7 propiedades importantes que debes conocer

Distribución gamma

Una de las variables aleatorias continuas y la distribución continua es la distribución Gamma.Como sabemos que la variable aleatoria continua se ocupa de los valores o intervalos continuos, también lo es la distribución Gamma con función de densidad de probabilidad específica y función de masa de probabilidad, en la discusión sucesiva que discutimos en detalle el concepto, propiedades y resultados con ejemplos de variable aleatoria gamma y distribución gamma.

Variable aleatoria gamma o distribución gamma | qué es la distribución gamma | definir la distribución gamma | función de densidad de distribución gamma | función de densidad de probabilidad de distribución gamma | prueba de distribución gamma

Una variable aleatoria continua con función de densidad de probabilidad

se sabe que es variable aleatoria Gamma o distribución Gamma donde α> 0, λ> 0 y la función gamma

tenemos la propiedad muy frecuente de la función gamma por integración por partes como

Si continuamos el proceso partiendo de n entonces

y finalmente el valor de gamma de uno será

así el valor será

CDF de distribución gamma | distribución gamma acumulativa | integración de la distribución gamma

La distribución acumulativa la función (cdf) de la variable aleatoria gamma o simplemente la función de distribución de la variable aleatoria gamma es la misma que la de la variable aleatoria continua siempre que la función de densidad de probabilidad sea diferente, es decir

aquí la función de densidad de probabilidad es como se definió anteriormente para la distribución gamma, la función de distribución acumulativa también podemos escribir como

en ambos formatos anteriores, el valor de pdf es el siguiente

donde α> 0, λ> 0 son números reales.

Fórmula de distribución gamma | fórmula para la distribución gamma | ecuación de distribución gamma | derivación de la distribución gamma

Para encontrar la probabilidad de la variable aleatoria gamma, la función de densidad de probabilidad que tenemos que usar para diferentes dado α> 0, λ> 0 es como

y usando el pdf anterior la distribución para la variable aleatoria gamma que podemos obtener por

Por lo tanto, la fórmula de distribución gamma requiere el valor de pdf y los límites para la variable aleatoria gamma según el requisito.

Ejemplo de distribución gamma

Demuestre que la probabilidad total de que distribución gamma es uno con la función de densidad de probabilidad dada, es decir

para λ> 0, α> 0.
Solución:
usando la fórmula para la distribución gamma

dado que la función de densidad de probabilidad para la distribución gamma es

que es cero para todo el valor menor que cero, por lo que la probabilidad será ahora

usando la definición de función gamma

y la sustitución obtenemos

así

Media y varianza de la distribución gamma | expectativa y varianza de la distribución gamma | valor esperado y varianza de la distribución gamma | Media de distribución gamma | valor esperado de la distribución gamma | expectativa de distribución gamma

En la siguiente discusión encontraremos la media y la varianza para la distribución gamma con la ayuda de definiciones estándar de expectativa y varianza de variables aleatorias continuas,

Vea también Teoría de funciones: 9 hechos rápidos completos

El valor esperado o la media de la variable aleatoria continua X con función de densidad de probabilidad

o la variable aleatoria Gamma X será

media de la prueba de distribución gamma | valor esperado de la prueba de distribución gamma

Para obtener el valor esperado o la media de la distribución gamma, seguiremos la definición y propiedad de la función gamma,
Primero, por la definición de expectativa de la variable aleatoria continua y la función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria gamma tenemos

cancelando el factor común y usando la definición de función gamma

ahora que tenemos la propiedad de la función gamma

el valor de la expectativa será

por lo tanto, el valor medio o esperado de la variable aleatoria gamma o la distribución gamma que obtenemos es

varianza de la distribución gamma | varianza de una distribución gamma

La varianza de la variable aleatoria gamma con la función de densidad de probabilidad dada

o la varianza de la distribución gamma será

varianza de la prueba de distribución gamma

Como sabemos, la varianza es la diferencia de los valores esperados como

para la distribución gamma ya tenemos el valor de la media

ahora primero calculemos el valor de E [X²], por lo que, por definición de expectativa para la variable aleatoria continua, tenemos
ya que la función f (x) es la función de distribución de probabilidad de la distribución gamma como

entonces la integral será de cero a infinito solamente

entonces, por definición de la función gamma, podemos escribir

Por lo tanto, usando la propiedad de la función gamma obtuvimos el valor como

Ahora poniendo el valor de estas expectativas en

por lo tanto, el valor de la varianza de la distribución gamma o la variable aleatoria gamma es

Parámetros de distribución gamma | distribución gamma de dos parámetros | 2 distribución gamma variable

La distribución Gamma con los parámetros λ> 0, α> 0 y la función de densidad de probabilidad

tiene parámetros estadísticos media y varianza como

dado que λ es un número real positivo, para simplificar y facilitar el manejo, otra forma es establecer λ = 1 / β, por lo que esto da la función de densidad de probabilidad en la forma

En resumen, la función de distribución o función de distribución acumulativa para esta densidad podemos expresar como

esta función de densidad gamma da la media y la varianza como

lo cual es obvio por la sustitución.
Ambas formas se utilizan comúnmente, ya sea la distribución gamma con el parámetro α y λ denotado por gama (α, λ) o la distribución gamma con los parámetros β y λ denotados por gama (β, λ) con los respectivos parámetros estadísticos media y varianza en cada una de las formas.
Ambos no son más que lo mismo.

Vea también Trigonometría: descubriendo los secretos de los triángulos

Gráfico de distribución gamma | gráfico de distribución gamma | histograma de distribución gamma

La naturaleza de la distribución gamma la podemos visualizar fácilmente con la ayuda del gráfico para algunos de los valores específicos de los parámetros, aquí dibujamos las gráficas para la función de densidad de probabilidad y la función de densidad acumulada para algunos valores de los parámetros.
tomemos la función de densidad de probabilidad como

entonces la función de distribución acumulativa será

Descripción: gráficos para la función de densidad de probabilidad y la función de distribución acumulada fijando el valor de alfa en 1 y variando el valor de beta.

Descripción: gráficos para la función de densidad de probabilidad y la función de distribución acumulativa fijando el valor de alfa en 2 y variando el valor de beta

Descripción: gráficos para la función de densidad de probabilidad y la función de distribución acumulativa fijando el valor de alfa en 3 y variando el valor de beta

Descripción: gráficos para la función de densidad de probabilidad y la función de distribución acumulativa fijando el valor de beta en 1 y variando el valor de alfa

Descripción: gráficos para la función de densidad de probabilidad y la función de distribución acumulativa fijando el valor de beta como 2 y variando el valor de alfa

Descripción: gráficos para la función de densidad de probabilidad y la función de distribución acumulada fijando el valor de beta en 3 y variando el valor de alfa.

En general, las diferentes curvas de variación alfa son

Mesa de distribución gamma | tabla de distribución gamma estándar

El valor numérico de la función gamma

conocido como valores numéricos de función gamma incompleta de la siguiente manera

El valor numérico de la distribución gamma para trazar el diagrama de la función de densidad de probabilidad y la función de distribución acumulativa para algunos valores iniciales son los siguientes

1x	f (x), α = 1, β = 1	f (x), α = 2, β = 2	f (x), α = 3, β = 3	P (x), α = 1, β = 1	P (x), α = 2, β = 2	P (x), α = 3, β = 3
0	1	0	0	0	0	0
0.1	0.904837418	0.02378073561	1.791140927E-4	0.09516258196	0.001209104274	6.020557215E-6
0.2	0.8187307531	0.0452418709	6.929681371E-4	0.1812692469	0.00467884016	4.697822176E-5
0.3	0.7408182207	0.06455309823	0.001508062363	0.2591817793	0.01018582711	1.546530703E-4
0.4	0.670320046	0.08187307531	0.00259310613	0.329679954	0.01752309631	3.575866931E-4
0.5	0.6065306597	0.09735009788	0.003918896875	0.3934693403	0.02649902116	6.812970042E-4
0.6	0.5488116361	0.1111227331	0.005458205021	0.4511883639	0.03693631311	0.001148481245
0.7	0.4965853038	0.1233204157	0.007185664583	0.5034146962	0.04867107888	0.001779207768
0.8	0.4493289641	0.1340640092	0.009077669195	0.5506710359	0.06155193555	0.002591097152
0.9	0.4065696597	0.1434663341	0.01111227331	0.5934303403	0.07543918015	0.003599493183
1	0.3678794412	0.1516326649	0.01326909834	0.6321205588	0.09020401043	0.004817624203
1.1	0.3328710837	0.1586611979	0.01552924352	0.6671289163	0.1057277939	0.006256755309
1.2	0.3011942119	0.1646434908	0.01787520123	0.6988057881	0.1219013822	0.007926331867
1.3	0.272531793	0.1696648775	0.0202907766	0.727468207	0.1386244683	0.00983411477
1.4	0.2465969639	0.1738048563	0.02276101124	0.7534030361	0.1558049836	0.01198630787
1.5	0.2231301601	0.1771374573	0.02527211082	0.7768698399	0.1733585327	0.01438767797
1.6	0.201896518	0.1797315857	0.02781137633	0.798103482	0.1912078646	0.01704166775
1.7	0.1826835241	0.1816513461	0.03036713894	0.8173164759	0.2092823759	0.01995050206
1.8	0.1652988882	0.1829563469	0.03292869817	0.8347011118	0.2275176465	0.02311528775
1.9	0.1495686192	0.1837019861	0.03548626327	0.8504313808	0.2458550043	0.02653610761
2	0.1353352832	0.1839397206	0.03803089771	0.8646647168	0.2642411177	0.03021210849
2.1	0.1224564283	0.1837173183	0.04055446648	0.8775435717	0.2826276143	0.03414158413
2.2	0.1108031584	0.183079096	0.04304958625	0.8891968416	0.3009707242	0.03832205271
2.3	0.1002588437	0.1820661424	0.04550957811	0.8997411563	0.3192309458	0.04275032971
2.4	0.09071795329	0.1807165272	0.04792842284	0.9092820467	0.3373727338	0.04742259607
2.5	0.08208499862	0.179065498	0.05030071858	0.9179150014	0.3553642071	0.052334462
2.6	0.07427357821	0.1771456655	0.05262164073	0.9257264218	0.373176876	0.05748102674
2.7	0.06720551274	0.1749871759	0.05488690407	0.9327944873	0.3907853875	0.0628569343
2.8	0.06081006263	0.1726178748	0.05709272688	0.9391899374	0.4081672865	0.06845642568
2.9	0.05502322006	0.1700634589	0.05923579709	0.9449767799	0.4253027942	0.07427338744
3	0.04978706837	0.1673476201	0.0613132402	0.9502129316	0.4421745996	0.08030139707

encontrar alfa y beta para la distribución gamma | cómo calcular alfa y beta para la distribución gamma | estimación de parámetros de distribución gamma

Para una distribución gamma encontrando alfa y beta, tomaremos la media y la varianza de la distribución gamma

Vea también 15 ejemplos de permutaciones y combinaciones

ahora obtendremos el valor de beta como

así

solo tomando algunas fracciones de la distribución gamma obtendremos el valor de alfa y beta.

problemas y soluciones de distribución gamma | problemas de ejemplo de distribución gamma | tutorial de distribución gamma | pregunta de distribución gamma

1. Considere que el tiempo requerido para resolver el problema de un cliente está distribuido gamma en horas con media 1.5 y varianza 0.75, ¿cuál sería el probabilidad de que el problema el tiempo de resolución excede las 2 horas, si el tiempo excede las 2 horas, ¿cuál sería la probabilidad de que el problema se resuelva en al menos 5 horas?

a medida: dado que la variable aleatoria es gamma distribuida con media 1.5 y varianza 0.75 entonces podemos encontrar los valores de alfa y beta y con la ayuda de estos valores la probabilidad será

P (X> 2) = 13e^-4= 0.2381

P (X> 5 | X> 2) = (61/13) e^-6= 0.011631

2. Si la retroalimentación negativa en la semana de los usuarios se modela en distribución gamma con parámetros alfa 2 y beta como 4 después de la retroalimentación negativa de 12 semanas después de reestructurar la calidad, ¿a partir de esta información, la reestructuración puede mejorar el rendimiento?

a medida: Como esto se modela en distribución gamma con α = 2, β = 4

encontraremos la media y la desviación estándar como μ = E (x) = α * β = 4 * 2 = 8

dado que el valor X = 12 está dentro de la desviación estándar de la media, por lo que no podemos decir que esto sea una mejora o no por la reestructuración de la calidad, para demostrar que la mejora provocada por la reestructuración de la información proporcionada es insuficiente.

3. Sea X el distribución gamma con parámetros α=1/2, λ=1/2 , encuentre la función de densidad de probabilidad para la función Y=Raíz cuadrada de X

Solución: calculemos la función de distribución acumulativa para Y como

ahora diferenciando esto con respecto ay da la función de densidad de probabilidad para Y como

y el rango para y será de 0 a infinito

Conclusión:

El concepto de distribución gamma en probabilidad y estadística es uno de la distribución importante aplicable en el día a día de la familia exponencial, todos los conceptos básicos a niveles superiores se discutieron hasta ahora relacionados con distribución gamma, si necesita más lectura, consulte los libros mencionados. También puedes visitar matemáticas página para más tema

https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution
Un primer curso de probabilidad de Sheldon Ross
Esquemas de probabilidad y estadística de Schaum
Una introducción a la probabilidad y la estadística por ROHATGI y SALEH

DR. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Soy DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. He completado mi doctorado. en Matemáticas y trabajando como profesor asistente en Matemáticas. Contando con 12 años de experiencia en la docencia. Teniendo amplios conocimientos en Matemática Pura, precisamente en Álgebra. Tener la inmensa capacidad de diseño y resolución de problemas. Capaz de motivar a los candidatos para mejorar su desempeño.
Me encanta contribuir a Lambdageeks para hacer que las matemáticas sean simples, interesantes y autoexplicativas tanto para principiantes como para expertos.