Familia exponencial de distribución gamma | Sus 5 propiedades importantes

Mi contenido

  1. Forma especial de distribuciones Gamma y relaciones de distribución Gamma
  2. Familia exponencial de distribución gamma
  3. Relación entre gamma y distribución normal
  4. Distribución gamma de Poisson | distribución gamma de poisson binomio negativo
  5. Distribución gamma de Weibull
  6. Aplicación de la distribución gamma en la vida real | usos de la distribución gamma | aplicación de la distribución gamma en estadísticas 
  7. Distribución beta gamma | relación entre la distribución gamma y beta
  8. Distribución gamma bivariada
  9. Distribución de doble gamma
  10. Relación entre distribución gamma y exponencial | distribución exponencial y gamma | distribución exponencial gamma
  11. Ajustar distribución gamma
  12. Distribución de gamma desplazada
  13. Distribución gamma truncada
  14. Función de supervivencia de la distribución gamma
  15. MLE de distribución gamma | distribución gamma de máxima verosimilitud | función de probabilidad de la distribución gamma
  16. Método de estimación de parámetros de distribución gamma de momentos | método de distribución de gamma estimador de momentos
  17. Intervalo de confianza para la distribución gamma
  18. Distribución gamma antes conjugada para distribución exponencial | distribución previa gamma | distribución posterior poisson gamma
  19. Función cuantil de distribución gamma
  20. Distribución gamma generalizada
  21. Distribución gamma generalizada beta

Forma especial de distribuciones Gamma y relaciones de distribución Gamma

  En este artículo discutiremos las formas especiales de distribuciones gamma y las relaciones de la distribución gamma con diferentes variables aleatorias continuas y discretas. También se discuten brevemente algunos métodos de estimación en el muestreo de población utilizando la distribución gamma.

Familia exponencial de distribución gamma

  La familia exponencial de distribución gamma y es una familia exponencial de dos parámetros que es en gran medida una familia de distribución aplicable, ya que la mayoría de los problemas de la vida real se pueden modelar en la familia exponencial de distribución gamma y el cálculo rápido y útil dentro de la familia exponencial se puede hacer fácilmente en los dos parámetros si tomamos la función de densidad de probabilidad como

\ frac {e ^ {- \ lambda / x} x ^ {\ alpha -1}} {\ lambda ^ {\ alpha} \ Gamma (\ alpha)} I_ {x}> 0

si restringimos el valor conocido de α (alfa), esta familia de dos parámetros se reducirá a una familia exponencial de un parámetro

f (x / \ lambda) = e ^ {- \ lambda / x} -a \ \ log \ lambda \ frac {x ^ {\ alpha -1}} {\ Gamma (\ alpha)} I_ {x}> 0

y para λ (lambda)

f (x | \ alpha) = e ^ {\ alpha logx -a (log \ lambda)} - log {\ Gamma (\ alpha)} e ^ {- \ frac {x} {\ lambda}} I_ {x} > 0

Relación entre gamma y distribución normal

  En la función de densidad de probabilidad de la distribución gamma, si tomamos alfa más cerca de 50 obtendremos la naturaleza de la función de densidad como

Familia exponencial de distribución gamma
Familia exponencial de distribución gamma

incluso el parámetro de forma en la distribución gamma estamos aumentando, lo que resulta en una similitud de la distribución normal curva normal, si tendemos el parámetro de forma alfa tiende a infinito, la distribución gamma será más simétrica y normal, pero como alfa tiende a infinito valor de x en gamma la distribución tiende a menos infinito, lo que da como resultado un soporte semiinfinito de la distribución gamma infinita, por lo tanto, incluso la distribución gamma se vuelve simétrica pero no igual con la distribución normal.

distribución gamma de Poisson | distribución gamma de poisson binomio negativo

   La distribución gamma de Poisson y la distribución binomial son la variable aleatoria discreta cuya variable aleatoria se ocupa de los valores discretos, específicamente el éxito y el fracaso en la forma de ensayos de Bernoulli, lo que da como resultado el éxito o el fracaso aleatorio, ahora la mezcla de Poisson y la distribución gamma también conocida como distribución binomial negativa es el resultado de la prueba repetida de la prueba de Bernoulli, esto se puede parametrizar de manera diferente, ya que si el éxito r-ésimo ocurre en el número de pruebas, entonces se puede parametrizar como

P (X_ {1} = x | p, r) = \ binom {x-1} {r-1} p ^ {r} (1-p) ^ {xr}

y si el número de fallas antes del éxito r-ésimo, entonces se puede parametrizar como

P (X_ {2} = x | p, r) = \ binom {x + r-1} {x} p ^ {r} (1-p) ^ {x}

y considerando los valores de r y p

r = \ frac {\ mu ^ {2}} {\ sigma ^ {2} - \ mu}

p = \ frac {r} {r + \ mu}

la forma general de la parametrización para la distribución binomial negativa o gamma de Poisson es

P (X = x) = \ binom {x + r-1} {x} p ^ {r} (1-p) ^ {x} \ \ x = 0,1,2,…

y una alternativa es

P (X = x) = \ binom {x + r-1} {x} \ left (\ frac {\ alpha} {\ alpha +1} \ right) ^ {r} \ left (\ frac {1} { \ alpha +1} \ right) ^ {x} \ \ x = 0,1,2,…

esta distribución binomial se conoce como negativa debido al coeficiente

\ binom {x + r-1} {x} = \ frac {(x + r-1) (x + r-2)… .r} {x!} \ = (-1) ^ {x} \ frac {(-r- (x-1)) (- r- (x-2))… .. (- r)} {x!} \ = (-1) ^ {x} \ frac {(- r) (-r-1)…. -r- (x-1))} {x!} \ = (- 1) ^ {x} \ binom {-r} {x}

y esta distribución binomial negativa o gamma de Poisson está bien definida como la probabilidad total que obtendremos como uno para esta distribución

1 = p ^ {r} p ^ {- r} \ = p ^ {r} (1-q) ^ {- r} \ = p ^ {r} \ sum_ {0} ^ {\ infty} \ binom { -r} {x} (- q) ^ {x} \ = p ^ {r} \ sum_ {0} ^ {\ infty} (-1) ^ {x} \ binom {-r} {x} (q ) ^ {x} \ = \ sum_ {0} ^ {\ infty} \ binom {x + r-1} {x} p ^ {r} q ^ {x} \

La media y la varianza para esta distribución binomial negativa o gamma de Poisson es

E (X) = \ frac {r (1-p)} {p}

var (X) = \ frac {r (1-p)} {p ^ {2}}

la relación de poisson y gamma que podemos obtener mediante el siguiente cálculo

P (X = x) = \ frac {1} {\ Gamma (\ alpha) \ beta ^ {\ alpha}} \ int_ {0} ^ {\ infty} \ frac {e ^ {- \ lambda} \ lambda ^ {x}} {x!} \ lambda ^ {\ alpha -1} e ^ {- \ lambda / \ beta} d \ lambda

= \ frac {1} {x! \ Gamma (\ alpha) \ beta ^ {\ alpha}} \ int_ {0} ^ {\ infty} \ lambda ^ {\ alpha + x-1} e ^ {- \ lambda (1 + 1 / \ beta)} d \ lambda

= \ frac {1} {\ Gamma (x + 1) \ Gamma (\ alpha) \ beta ^ {\ alpha}} \ Gamma (\ alpha + x) \ left (\ frac {\ beta} {\ beta +1 } \ right) ^ {\ alpha + x}

= \ binom {\ alpha + x-1} {x} \ left (\ frac {1} {\ beta +1} \ right) ^ {\ alpha} \ left (1- \ frac {1} {\ beta + 1} \ derecha) ^ {x}

Por lo tanto, el binomio negativo es la mezcla de distribución de poisson y gamma y esta distribución se utiliza en el modelado de problemas del día a día donde requerimos una mezcla discreta y continua.

Familia exponencial de distribución gamma
Familia exponencial de distribución gamma

Distribución gamma de Weibull

   Hay una generalización de la distribución exponencial que involucra a Weibull, así como a la distribución gamma, ya que la distribución de Weibull tiene la función de densidad de probabilidad como

f (x) = \ begin {cases} \ 0 & x \ leq v \ \\ \ frac {\ beta} {\ alpha} \ left (\ frac {xv} {\ alpha} \ right) ^ {\ beta - 1} exp {{- \ left (\ frac {xv} {\ alpha} \ right) ^ {\ beta}}} & \ x> v \ end {cases}

y la función de distribución acumulativa como

F (x) = \ begin {cases} \ 0 & \ x \ leq v \\ \ 1- exp {- \ left (\ frac {xv} {\ alpha} \ right) ^ {\ beta}} & \ x > v \ end {casos}

donde como pdf y cdf de la distribución gamma ya lo discutimos anteriormente, la conexión principal entre Weibull y la distribución gamma es que ambas son generalizaciones de la distribución exponencial, la diferencia entre ellas es cuando la potencia de la variable es mayor que uno, entonces la distribución de Weibull da un resultado rápido mientras que por menos de 1 gamma da un resultado rápido.

     No discutiremos aquí la distribución gamma generalizada de Weibull que requiere una discusión por separado.

aplicación de la distribución gamma en la vida real | usos de la distribución gamma | aplicación de la distribución gamma en estadísticas 

  Hay varias aplicaciones en las que la distribución gamma se utiliza para modelar la situación, como reclamo de seguro para agregar, acumulación de cantidad de lluvia, para cualquier producto, su fabricación y distribución, la multitud en una web específica y en el intercambio de telecomunicaciones, etc.En realidad, la distribución gamma da la predicción del tiempo de espera hasta el próximo evento para el n-ésimo evento. Hay varias aplicaciones de distribución gamma en la vida real.

distribución beta gamma | relación entre la distribución gamma y beta

    La distribución beta es la variable aleatoria con la función de densidad de probabilidad

f (x) = \ begin {cases} \ \ frac {1} {B (a, b)} x ^ {a-1} (1-x) ^ {b-1} & \ 0 <x <1 \ \ \ 0 & \ de lo contrario \ end {cases}

dónde

B(a,b)= \int_{0}^{1}x^{a-1}(1-x)^{b-1} dx

que tiene la relación con la función gamma como

B (a, b) = \ frac {\ Gamma (a) \ Gamma (b)} {\ Gamma (a + b)}

y distribución beta relacionada con la distribución gamma como si X fuera la distribución gamma con el parámetro alfa y beta como uno e Y fuera la distribución gamma con el parámetro alfa como uno y beta, entonces la variable aleatoria X / (X + Y) es la distribución beta.

o si X es Gamma (α, 1) e Y es Gamma (1, β), entonces la variable aleatoria X / (X + Y) es Beta (α, β) 

y también

\ mathbf {\ lim_ {n \ to \ infty} nB (k, n) = \ Gamma (k, 1)}

distribución gamma bivariada

     Una variable aleatoria bidimensional o bivariada es continua si existe una función f (x, y) tal que la función de distribución conjunta

F (x, y) = \ int _ {- \ infty} ^ {x} \ left [\ int _ {- \ infty} ^ {y} f (u, v) dv \ right] du

dónde

F (+ \ infty, + \ infty) = \ lim_ {x \ to + \ infty, y \ to + \ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {x} \ int _ {- \ infty} ^ {y} f (u, v) dvdu

= \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (u, v) dvdu = 1

y la función de densidad de probabilidad conjunta obtenida por

\ frac {\ parcial ^ 2 F (x, y)} {\ parcial x \ parcial y} = f (x, y)

hay un número de distribución gamma bivariada uno de ellos es la distribución gamma bivariada con función de densidad de probabilidad como

f (x, y) = \ frac {\ beta ^ {\ alpha + \ gamma}} {\ Gamma (\ alpha) \ Gamma (\ gamma)} x ^ {\ alpha -1} (yx) ^ {\ gamma -1} e ^ {- \ beta y}, \ \ 0 <x 0

distribución gamma doble

  La distribución gamma doble es una de las distribuciones bivariadas con variables aleatorias gamma que tienen el parámetro alfa y una con la función de densidad de probabilidad conjunta como

f_ {Y_ {1} {Y_ {2}}} (y_ {1}, y_ {2}) = \ frac {1} {\ Gamma (\ alpha {1}) \ Gamma (\ alpha {2})} y_ {1} ^ {\ alpha_ {1} -1} y_ {2} ^ {\ alpha_ {2} -1} exp (-y_ {1} -y_ {2}), y_ {1}> 0, y_ {2}> 0

esta densidad forma la distribución gamma doble con las respectivas variables aleatorias y la función generadora de momentos para la distribución gamma doble es

\ mathbf {M_ {Y_ {1} Y_ {2} (t, s)} = \ left (\ frac {1} {1-t} \ right) ^ {\ alpha {1}} \ left (\ frac { 1} {1-s} \ right) ^ {\ alpha {2}}}

relación entre gamma y distribución exponencial | distribución exponencial y gamma | distribución exponencial gamma

   ya que la distribución exponencial es la distribución con la función de densidad de probabilidad

f (x) = \ begin {cases} \ \ lambda e ^ {- \ lambda x} & \ if \ \ x \ geq 0 \ \ 0 & \ \ \ if x <0 \ end {cases}

y la distribución gamma tiene la función de densidad de probabilidad

f (x) = \ begin {cases} \ frac {\ lambda e ^ {- \ lambda x} (\ lambda x) ^ {\ alpha -1}} {\ tau (\ alpha)} & \ x \ geq 0 \ \ 0 & \ x <0 \ end {cases}

claramente el valor de alfa si lo ponemos como uno obtendremos la distribución exponencial, es decir, la distribución gamma no es más que la generalización de la distribución exponencial, que predice el tiempo de espera hasta la ocurrencia del próximo n-ésimo evento mientras que la distribución exponencial predice la espera tiempo hasta la ocurrencia del próximo evento.

ajustar la distribución gamma

   En cuanto a ajustar los datos dados en forma de distribución gamma, implica encontrar la función de densidad de probabilidad de dos parámetros que involucran parámetros de forma, ubicación y escala, por lo que encontrar estos parámetros con diferentes aplicaciones y calcular la media, varianza, desviación estándar y función generadora de momento es el ajuste de la distribución gamma, ya que los diferentes problemas de la vida real se modelarán en la distribución gamma, por lo que la información según la situación debe ajustarse a la distribución gamma para este propósito, varias técnicas en varios entornos ya están allí, por ejemplo, en R, Matlab, excel, etc.

distribución de gamma desplazada

     Existen según la aplicación y la necesidad siempre que el requisito de cambiar la distribución requerida de la distribución gamma de dos parámetros, el nuevo parámetro generalizado de tres o cualquier otra distribución gamma generalizada cambie la ubicación y escala de la forma, dicha distribución gamma se conoce como distribución gamma desplazada

distribución gamma truncada

     Si restringimos el rango o dominio de la distribución gamma para la escala de forma y los parámetros de ubicación, la distribución gamma restringida se conoce como distribución gamma truncada según las condiciones.

función de supervivencia de la distribución gamma

                La función de supervivencia para la distribución gamma se define como la función s (x) de la siguiente manera

S (x) = 1- \ frac {\ Gamma_ {x} (\ gamma)} {\ Gamma (\ gamma)} \ \ x \ geq 0; \ gamma> 0 \ donde \ \ \ Gamma_ {x} (a) = \ int_ {0} ^ {x} t ^ {a-1} e ^ {- t} dt

mle de distribución gamma | distribución gamma de máxima verosimilitud | función de probabilidad de la distribución gamma

sabemos que la máxima verosimilitud toma la muestra de la población como representativa y esta muestra considera como un estimador para que la función de densidad de probabilidad se maximice para los parámetros de la función de densidad, antes de pasar a la distribución gamma recuerde algunos conceptos básicos como para la variable aleatoria X la función de densidad de probabilidad con theta como parámetro tiene una función de probabilidad como

L (\ theta; x_ {1}, x_ {2}, …… .x_ {n}) = f _ {\ theta} (x_ {1}, x_ {2}, …… x_ {n}),

esto lo podemos expresar como

L (\ theta; x_ {1}, x_ {2}, …… .x_ {n}) = \ prod_ {i = 1} ^ {n} f \ theta (x_ {i})

y el método de maximizar esta función de probabilidad puede ser

L (\ theta; x_ {1}, x_ {2}, …… .x_ {n}) = sup _ {(\ theta \ in \ theta)} L (\ theta; x_ {1}, x_ {2}, …… .x_ {n})

si tal theta satisface esta ecuación, y como log es una función monótona podemos escribir en términos de log

logL (\ theta; x_ {1}, x_ {2}, …… .x_ {n}) = sup _ {(\ theta \ in \ theta)} log L (\ theta; x_ {1}, x_ {2} , …… .x_ {n})

y tal supremo existe si

{\ frac {\ parcial logL (\ hat {\ theta; x_ {1}… ..x_ {n}})} {\ parcial \ theta_ {j}}} = 0, \ \ j = 1,2,… k, \ \ \ theta = (\ theta {1},… .. \ theta {k})

ahora aplicamos la máxima verosimilitud para la función de distribución gamma como

f (x | \ alpha, \ beta) = \ prod_ {i = 1} ^ {n} f (x_ {i} | \ alpha, \ beta) = \ left (\ frac {\ beta ^ {\ alpha}} {\ Gamma (\ alpha)} \ right) ^ {n} \ prod_ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {\ alpha -1} exp (- \ beta x_ {i}) \ propto \ beta ^ {n \ alpha} exp \ left (- \ beta \ sum_ {i = 1} ^ {n} x_ {i} \ right)

la probabilidad logarítmica de la función será

\ imath (\ beta | \ alpha, x) \ propto n \ alpha log \ beta - \ beta n \ bar {x} \ propto \ alpha log \ beta - \ bar {x} \ beta

Asi es

0 = \ frac {\ parcial l} {\ parcial \ beta} = \ frac {\ alpha} {\ beta} - \ bar {x},

y por lo tanto

\ hat {\ beta} = \ frac {\ alpha} {\ bar {x}}

Esto se puede lograr también como

\ textbf {L} (\ alpha, \ beta | x) = \ left (\ frac {\ beta ^ {\ alpha}} {\ Gamma (\ alpha)} x_ {1} ^ {\ alpha -1} e ^ {- \ beta x_ {1}} \ right) …… .. \ left (\ frac {\ beta ^ {\ alpha}} {\ Gamma (\ alpha)} x_ {n} ^ {\ alpha -1} e ^ {- \ beta x_ {n}} \ right) = \ left (\ frac {\ beta ^ {\ alpha}} {\ Gamma (\ alpha)} \ right) ^ {n} (x_ {1} (x_ {2} …… (x_ {n}) ^ {\ alpha -1} e ^ {- \ beta} (x_ {1} + x_ {2} + …… x_ {n})

by

En \ textbf {L} (\ alpha, \ beta | x) = n (\ alpha En \ beta -In \ Gamma (\ alpha)) + (\ alpha -1) \ sum_ {i = 1} ^ {n} Inx_ {i} - \ beta \ sum_ {i = 1} ^ {n} x_ {i}

y el parámetro se puede obtener diferenciando

\ frac {\ parcial} {\ parcial \ alpha} En \ textbf {L} (\ hat {\ alpha}, \ hat {\ beta} | x) = n (En \ hat {\ beta} - \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} \ alpha} En \ Gamma (\ hat {\ alpha})) + \ sum_ {i = 1} ^ {n} x_ {i} = 0

\ frac {\ parcial} {\ parcial \ beta} En \ textbf {L} (\ hat {\ alpha}, \ hat {\ beta} | x) = n \ frac {\ hat {\ alpha}} {\ hat {\ beta}} - \ sum_ {i = 1} ^ {n} x_ {i} = 0 \ \ o \ \ \ bar {x} = \ frac {\ hat {\ alpha}} {\ hat {\ beta }}

n (En \ hat {\ alpha} -En \ hat {x} - \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} \ alpha} En \ Gamma (\ hat {\ alpha})) + \ sum_ {i = 1} ^ {n} Inx_ {i} = 0

método de estimación de parámetros de distribución gamma de momentos | método de distribución de gamma estimador de momentos

   Podemos calcular los momentos de la población y la muestra con la ayuda de la expectativa de n-ésimo orden respectivamente, el método de momento iguala estos momentos de distribución y muestra para estimar los parámetros, supongamos que tenemos una muestra de variable aleatoria gamma con la función de densidad de probabilidad como

f (x | \ alpha, \ lambda) = \ frac {\ lambda ^ {\ alpha}} {\ Gamma (\ alpha)} x ^ {\ alpha -1} e ^ {- \ lambda x}, \ \ x \ geq 0

sabemos que los primeros momentos de remolque para esta función de densidad de probabilidad es

\ mu {1} = \ frac {\ alpha} {\ lambda} \ \ \ \ mu {2} = \ frac {\ alpha (\ alpha +1)} {\ lambda ^ {2}}

so

{\ lambda} = \ frac {\ alpha} {\ mu _ {1}}

obtendremos desde el segundo momento si sustituimos lambda

\ frac {\ mu {2}} {\ mu {1} ^ {2}} = \ frac {\ alpha +1} {\ alpha}

y de este valor de alfa es

\ alpha = \ frac {\ mu {1} ^ {2}} {\ mu {2} - \ mu _ {1} ^ {2}}

y ahora lambda será

\ lambda = \ frac {\ mu {1} ^ {2}} {\ mu {2} - \ mu {1} ^ {2}} \ frac {1} {\ mu {1}} \ \ \ \ \ = \ frac {\ mu {1} ^ {2}} {\ mu {2} - \ mu _ {1} ^ {2}}

y el estimador de momento que usa la muestra será

\ hat {\ lambda} = \ frac {\ bar {X}} {\ hat {\ sigma} ^ {2}}

intervalo de confianza para la distribución gamma

   El intervalo de confianza para la distribución gamma es la forma de estimar la información y su incertidumbre que dice que se espera que el intervalo tenga el valor verdadero del parámetro en qué porcentaje, este intervalo de confianza se obtiene de las observaciones de variables aleatorias, ya que se obtiene de aleatorio en sí mismo es aleatorio para obtener el intervalo de confianza para la distribución gamma. Hay diferentes técnicas en diferentes aplicaciones que tenemos que seguir.

distribución gamma antes conjugada para distribución exponencial | distribución previa gamma | distribución posterior poisson gamma

     La distribución posterior y anterior son las terminologías de la teoría de probabilidad bayesiana y están conjugadas entre sí, dos distribuciones cualesquiera se conjugan si la posterior de una distribución es otra distribución, en términos de theta, demostremos que la distribución gamma es conjugada antes de la distribución. distribución exponencial

si la función de densidad de probabilidad de la distribución gamma en términos de theta es como

f _ {\ Theta} (\ theta) = \ frac {\ beta ^ {\ alpha} \ theta ^ {\ alpha -1} e ^ {- \ beta \ theta}} {\ Gamma (\ alpha)}

suponga que la función de distribución para theta es exponencial a partir de datos dados

f_ {X_ {i} | \ Theta} (x_ {i} | \ theta) = \ theta e ^ {- \ theta x_ {i}}

por lo que la distribución conjunta será

f (X | \ Theta) = \ theta ^ {n} e ^ {- \ theta \ sum x_ {i}}

y usando la relación

\ textbf {Posterior} \ propto \ textbf {Probabilidad} \ \ X \ \ \ textbf {Prior}

tenemos

f _ {\ Theta | X} (\ theta | x) \ propto \ theta ^ {n} e ^ {- \ theta \ sum x_ {i}} x \ theta ^ {\ alpha -1} e ^ {- \ beta \ theta}

= \ theta ^ {n + \ alpha -1} e ^ {- \ theta (\ sum x_ {i} + \ beta)}

\ por lo tanto \ theta | X \ sim \ textbf {Gamma} (n + \ alpha, \ sum x_ {i} + \ beta)

cual es

f \ Lambda | X (\ lambda | x) \ propto \ lambda ^ {\ sum x_ {i} + \ alpha -1} e ^ {- (n + \ beta) \ lambda}

por lo que la distribución gamma se conjuga antes de la distribución exponencial, mientras que la distribución gamma posterior es.

función de cuantiles de distribución gamma

   Qauntile función de distribución gamma será la función que da los puntos en la distribución gamma que relacionan el orden de rango de los valores en la distribución gamma, esto requiere función de distribución acumulativa y para diferentes lenguajes algoritmo y funciones diferentes para el cuantil de distribución gamma.

distribución gamma generalizada

    Como la distribución gamma en sí es la generalización de la familia de distribución exponencial, agregar más parámetros a esta distribución nos da una distribución gamma generalizada que es la generalización adicional de esta familia de distribución, los requisitos físicos dan una generalización diferente, una de las más frecuentes es usar la función de densidad de probabilidad como

f (x) = \ frac {(\ frac {x- \ mu} {\ beta}) ^ {\ gamma -1} exp (- \ frac {x- \ mu} {\ beta})} {\ beta \ Gamma (\ gamma)} \ \ x \ geq \ mu; \ gamma, \ beta> 0

La función de distribución acumulativa para tal distribución gamma generalizada se puede obtener mediante

F (x) = \ frac {\ Gamma _ {x} (\ gamma)} {\ Gamma (\ gamma)} \ \ x \ geq 0, \ gamma> 0

donde el numerador representa la función gamma incompleta como

\ Gamma {x} (a) = \ int {0} ^ {\ infty} t ^ {a-1} e ^ {- t} dt

utilizando esta función gamma incompleta, la función de supervivencia para la distribución gamma generalizada se puede obtener como

S (x) = 1- \ frac {\ Gamma _ {x} (\ gamma)} {\ Gamma (\ gamma)} \ \ x \ geq 0, \ gamma> 0

otra versión de esta distribución gamma generalizada de tres parámetros que tiene una función de densidad de probabilidad es

f (t) = \ frac {\ beta} {\ Gamma (k) \ theta} \ left (\ frac {t} {\ theta} \ right) ^ {k \ beta -1} e ^ {- \ left ( \ frac {t} {\ theta} \ right) ^ {\ beta}}

donde k, β, θ son los parámetros mayores que cero, esta generalización tiene problemas de convergencia para superar los parámetros de Weibull reemplaza

\ mu = En (\ theta) + \ frac {1} {\ beta}. En \ left (\ frac {1} {\ lambda ^ {2}} \ right) \ \ \ \ sigma = \ frac {1} {\ beta \ sqrt {k}} \ \ \ \ lambda = \ frac {1 } {\ sqrt {k}} \ \ \ Donde \ \ - \ infty <\ mu 0, 0 <\ lambda

usando esta parametrización la convergencia de la función de densidad obtenida por lo que la mayor generalización para la distribución gamma con convergencia es la distribución con función de densidad de probabilidad como

F (x) = \ begin {cases} \ frac {| \ lambda |} {\ sigma .t}. \ Frac {1} {\ Gamma \ left (\ frac {1} {\ lambda ^ {2}} \ derecha)}. e \ left [\ frac {\ lambda. \ frac {In (t) - \ mu} {\ sigma} + In \ left (\ frac {1} {\ lambda ^ {2}} \ right) -e ^ {\ lambda. \ frac {In. (t) - \ mu} {\ sigma}}} {\ lambda ^ {2}} \ right] & \ text {if} \ lambda \ neq 0 \\\ frac {1} {t. \ sigma \ sqrt {2 \ pi}} e ^ {- \ frac {1} {2} \ left (\ frac {In (t) - \ mu} {\ sigma} \ right) ^ {2}} & \ text {if} \ lambda = 0 \ end {cases}

Distribución gamma generalizada beta

   La distribución gamma que involucra el parámetro beta en la función de densidad debido a que a veces la distribución gamma se conoce como distribución gamma generalizada beta con la función de densidad

g _ {\ beta, \ gamma, c} (x) = \ frac {c \ lambda ^ {c \ beta}} {\ Gamma (\ beta)} x ^ {c \ beta -1} exp \ left {- ( \ lambda x) ^ {c} \ right}, \ \ x> 0

con función de distribución acumulativa como

G _ {\ beta, \ gamma, c} (x) = \ frac {\ gamma (\ beta, (\ lambda x) ^ {c})} {\ Gamma (\ beta)},

que ya se discute en detalle en la discusión de la distribución gamma, la distribución gamma generalizada beta adicional se define con la cdf como

F (x) = I_ {G} (x) (a, b) = \ frac {1} {B (a, b)} \ int_ {0} ^ {G (x)} \ omega ^ {a-1 } (1- \ omega) ^ {b-1} d \ omega,

donde B (a, b) es la función beta, y la función de densidad de probabilidad para esto se puede obtener por diferenciación y la función de densidad será

f (x) = \ frac {g (x)} {B (a, b)} G (x) ^ {a-1} \ left {1-G (x) \ right} ^ {b-1}

aquí G (x) es la función de distribución acumulativa definida anteriormente de la distribución gamma, si ponemos este valor, entonces la función de distribución acumulada de la distribución gamma generalizada beta es

F (x) = I _ {\ gamma (\ beta, (\ lambda x) ^ {c}) / \ Gamma (\ beta)} (a, b) = \ frac {1} {B (a, b)} \ int_ {0} ^ {{\ gamma (\ beta, (\ lambda x) ^ {c}) / \ Gamma (\ beta)}} \ omega ^ {a-1} (1- \ omega) ^ {b -1} d \ omega

y la función de densidad de probabilidad

f (x) = \ frac {c \ lambda ^ {c \ beta} x ^ {c \ beta -1} exp \ left {- (\ lambda x) ^ {c} \ right} \ gamma (\ beta, ( \ lambda x) ^ {c}) ^ {a-1} \ left {\ Gamma (\ beta) - \ gamma (\ beta, (\ lambda x) ^ {c}) \ right} ^ {b-1} } {B (a, b) \ Gamma (\ beta) ^ {a + b-1}}

las propiedades restantes se pueden ampliar para esta distribución gamma generalizada beta con definiciones habituales.

Conclusión:

Hay diferentes formas y generalizaciones de distribución gamma y la familia exponencial de distribución gamma según las situaciones de la vida real, por lo que tales formas y generalizaciones se cubrieron además de los métodos de estimación de distribución gamma en el muestreo de información de la población, si necesita más información sobre la familia exponencial de distribución gamma, visite el siguiente enlace y libros. Para obtener más temas sobre matemáticas, visite nuestra pagina.

https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution

Un primer curso de probabilidad de Sheldon Ross

Esquemas de probabilidad y estadística de Schaum

Una introducción a la probabilidad y la estadística por ROHATGI y SALEH

Acerca de DR. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Familia exponencial de distribución gamma | Sus 5 propiedades importantesYo soy DR. Mohammed Mazhar Ul Haque, profesor asistente de Matemáticas. Tener 12 años de experiencia en la docencia. Tener un vasto conocimiento en Matemática Pura, precisamente en Álgebra. Tener la inmensa capacidad de diseñar y resolver problemas. Capaz de motivar a los candidatos para mejorar su desempeño.
Me encanta contribuir a Lambdageeks para hacer que las matemáticas sean simples, interesantes y autoexplicativas tanto para principiantes como para expertos.
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