Variable aleatoria discreta y expectativa matemática

Variable aleatoria discreta y expectativa matemática

Por lo general, no estamos interesados ​​en todos los resultados posibles de cualquier experimento aleatorio o no aleatorio, sino que estamos interesados ​​en alguna probabilidad o valor numérico para los eventos favorables, por ejemplo, supongamos que estamos lanzando dos dados por la suma de 8, entonces no estamos interesado en el resultado como primeros dados con 2 segundos dados como 6 o (3,5), (5,3), (4,4), (6,2), etc. Del mismo modo, para el experimento aleatorio del embalse en la vida diaria, no estamos interesados ​​en el aumento o descenso diario del nivel del agua, sino solo en el nivel del agua en la temporada de lluvias una vez completado.

Por tanto, las cantidades numéricas en las que estamos interesados ​​se consideran variables aleatorias del experimento aleatorio respectivo. Para ello asignamos numéricamente los posibles valores reales a los resultados del experimento aleatorio. Para ilustrar la asignación de un valor numérico al resultado, considere el experimento de lanzar una moneda, asignamos el valor numérico 0 y 1 para la cara y la pista respectivamente en el espacio muestral del experimento aleatorio. 

Variable aleatoria discreta

Variable aleatoria discreta se puede definir como la variable aleatoria que es finita o numerablemente infinita en número y aquellas que no son finitas o numerablemente infinitas son variables aleatorias no discretas. Para cada elemento del espacio muestral que estamos asignando un número real, esto puede interpretarse en términos de función de valor real denotada por X, es decir, X: S → R. Llamamos a esta función como una variable aleatoria o función estocástica, que tiene alguna importancia física, geométrica o de cualquier otra índole.

Ejemplo: Considere un experimento de lanzar dos dados y luego suponga una variable aleatoria o función estocástica representar la suma de los puntos que aparecieron en los dados, luego los valores posibles para el espacio muestral

S = {(1,1), (1, 2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6),

          (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6),

          (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6),

        (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6),

        (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6),

        (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}

será X = 2, para (1,1)

X = 3 para (1,2), (2,1) etc. de lo siguiente podemos entender fácilmente

X = 2(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)
X = 3(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)
X = 4(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)
(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)
X = 5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)
X = 6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)
X = 7X = 8X = 9X = 10X = 11X = 12

En la tabla anterior, los elementos diagonales de derecha a izquierda darán la suma expresada por la variable aleatoria o función estocástica.

La probabilidad de la respectiva variable aleatoria se puede expresar de la siguiente manera

Variable aleatoria discreta
Variable aleatoria discreta: lanzamiento de dos espacios muestrales de dados

Distribución de probabilidad discreta

Distribución de probabilidad discreta son las probabilidades de las variables aleatorias que son de naturaleza discreta, en particular si x1, X2, X3, X4, ………., Xk son los valores de variable aleatoria discreta X luego P (x1), P (x2), P (x3), P (x4), ……… .P (xk) son las probabilidades correspondientes.

Función de probabilidad / distribución de probabilidad que podemos denotar como 

P (X = x) = f (x)

y siguiendo la definición de la probabilidad, esta función satisface las siguientes condiciones.

  1. f (x) ≥0
  2. Σ f (x) = 1, donde esta suma es la suma total de x.

Ejemplo: Si una moneda se lanza dos veces, entonces si expresamos el número de senderos que aparecen como variable aleatoria X, entonces sería 

ResultadosTTTHHTHH
X2110

Si tomamos la moneda justa, lo anterior será el resultado de lanzar dos veces y la probabilidad de dicha variable aleatoria será

P (X = 0) = P (H, H) = 1/4

P (X = 1) = P (TH o HT) = P (TH ∪ HT) = P (TH) + P (HT) = 1/4 + 1/4 = 1/2

y P (X = 2) = P (TT) = 1/4

Esta distribución de probabilidad la podemos tabular de la siguiente manera

X012
P (X = x) = f (x)¼½1/4

Función de distribución acumulativa (cdf) / Función de distribución

Nosotros definiremos Función de distribución or Función de distribución acumulativa (CDF) para la variable aleatoria discreta X denotada por F (x), para-∞≤x≤∞ como

F (x) = P (X≤x)

Siempre que siga

  1. Para cualquier x, y, x≤y, F (x) ≤ F (y) es decir, la función de distribución acumulativa F (x) no es decreciente.
  2. F (x) = 0 y F (x) = 1
  3. F (x + h) = F (x), ∀ x es decir. La función de distribución acumulativa F (x) es continua a la derecha.

Ya que para el variable aleatoria discreta probabilidad para X = x es P (X = x), para x1<X<x2 será P (x1<X<x2) y para X≤x es P (X≤x).

Podemos escribir la función de distribución para la función de distribución discreta de la siguiente manera

Variable aleatoria discreta
Variable aleatoria discreta: función de distribución acumulativa

podemos obtener la función de probabilidad de la función de distribución como

P (X = x) = f (x) = F (x) -F (u)

Ejemplo: La probabilidad de la variable aleatoria discreta se da como sigue

X01234567
P (x)01/101/51/53/101/1001/5017/100
Función de distribución acumulativa

Encuentra F2, F5, F (7)?

Solución:

Variable aleatoria discreta
Variable aleatoria discreta: ejemplo

Expectativa matemática 

   Expectativa matemática Es un concepto muy importante para la teoría de la probabilidad, así como para el punto de vista estadístico.1, X2, X3, X4, ……….Xn son los valores de la variable aleatoria discreta X entonces P (x1), P (x2), P (x3), P (x4), ……… .P (xn) son las probabilidades correspondientes, entonces la expectativa matemática de la variable aleatoria X denotada por E (x) como

Variable aleatoria discreta
Variable aleatoria discreta: ejemplo

Ejemplo: De un paquete de 72 tarjetas numeradas del 1 al 72 a la vez, se extraen 8 tarjetas, encuentre el valor esperado de la suma de los números en los boletos extraídos.

Solución:. considera las variables aleatorias x1, X2, X3, X4,……….Xn representando las cartas numeradas 1, 2, 3, 4, ………, 72

entonces la probabilidad de cualquier x de 72 cartas es 

P (xi) = 1 / n = 1/72

desde entonces la expectativa será

E (x) = x1. (1 / n) + x2. (1 / n) + x3. (1 / n) + …………… + xn. (1 / n)

E(x)=1.(1/n)+2.(1/n)+3.(1/n)+……………+72.(1/n)

={1+2+3+……………..+72}*(1/72)=72*(72+1)/2*(1/72)=73/2

Ahora el valor esperado para 8 de estas tarjetas será 

E (x) = x1. (1 / n) + x2. (1 / n) + x3. (1 / n) + …………… + x8. (1 / n)

E(x)=1.(1/n)+2.(1/n)+3.(1/n)+……………+8.(1/n)

={1+2+3+……………..+8}*(1/72)

=8*(8+1)/2*(1/72)=12

Diferencia, Desviación estándar y Desviación media por expectativa matemática

Los conceptos importantes de la estadística desviación estándar y diferencia podemos expresar en términos de expectativa matemática, por lo que si las variables aleatorias x1, X2, X3, X4, ……….Xn con las probabilidades correspondientes P (x1), P (x2), P (x3), P (x4), ……… .P (xn) entonces la varianza será

Variable aleatoria discreta
Variable aleatoria discreta: desviación estándar

Ejemplo: En un juego, si se usa un dado justo y el jugador ganará si los dados tienen un valor impar y el premio en efectivo recibirá 20 rupias si viene 1, 40 rupias por 3 y 60 rupias por 5 y si hay otra cara de los dados llegó la pérdida de Rs 10 para el jugador. Encuentre el dinero esperado que se puede ganar con varianza y desviación estándar.

Solución:

Para los dados justos conocemos la distribución de las probabilidades,

X123456
P (X = x)1/61/61/61/61/61/6
desviación estándar

Sea X la variable aleatoria para la conversión de los dados según el requisito del juego, el dinero ganado o perdido cuando la cara fue la siguiente,

X+ 20hasta el 10 40hasta el 10 60hasta el 10
P (X = x)1/61/61/61/61/61/6
desviación estándar

por lo que la cantidad esperada ganada por cualquier jugador será

  E(x)=(20).(1/6)+(-10).(1/6)+(40).(1/6)+(-10).(1/6)+(60).(1/6)+(-10).(1/6)=15

por lo que la cantidad esperada ganada por cualquier jugador sería μ = 15

Variable aleatoria discreta
Variable aleatoria discreta: desviación estándar

El resultado de la expectativa matemática, así como la varianza, se pueden generalizar para más de dos variables según el requisito.

Conclusión:

   En este artículo discutimos principalmente la variable aleatoria discreta, la distribución de probabilidad y la función de distribución conocida como función de distribución acumulativa de CDF, también el concepto de expectativa matemática para la variable aleatoria discreta y cuál sería la desviación media, la varianza y la desviación estándar para dicha variable aleatoria discreta se explica con la ayuda de ejemplos adecuados en el próximo artículo, discutiremos lo mismo para la variable aleatoria continua, si desea leer más, consulte:

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Esquemas de probabilidad y estadística de Schaum

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability

Acerca de DR. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Yo soy DR. Mohammed Mazhar Ul Haque, profesor asistente de Matemáticas. Tener 12 años de experiencia en la docencia. Tener un vasto conocimiento en Matemática Pura, precisamente en Álgebra. Tener la inmensa capacidad de diseñar y resolver problemas. Capaz de motivar a los candidatos para mejorar su desempeño.
Me encanta contribuir a Lambdageeks para hacer que las matemáticas sean simples, interesantes y autoexplicativas tanto para principiantes como para expertos.
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