Deflexión de la viga | Resumen completo y relaciones importantes

Contenido: Deflexión del haz

  • Definición de la curva de deflexión
  • Definición del ángulo de deflexión
  • Definición de deflexión
  • Condiciones de contorno de deflexión de la viga
  • Relación entre las fuerzas de carga, la fuerza cortante, el momento flector, la pendiente y la deflexión
  • Ecuaciones y relaciones de Beam Bending
  • Tabla de deflexión de vigas y fórmulas para casos de carga estándar
  • Deflexión y pendiente de la viga con ejemplos Caso I: Viga en voladizo
  • Caso II: Determine la deflexión máxima de una viga simplemente apoyada con carga puntual en el centro
  • Caso III: Determine la deflexión máxima de una viga simplemente apoyada con una carga puntual concentrada a una distancia 'a' del soporte A
  • Método de integración doble
  • Procedimiento para el método de integración doble
  • Método de integración doble para encontrar la deflexión de la viga usando el ejemplo de una viga en voladizo con carga distribuida uniformemente
  • Método de doble integración para carga triangular

In Ingenieria, desviación es el grado en que un elemento estructural se desplaza bajo una carga (debido a su deformación). Puede referirse a un ángulo o una distancia. La distancia de deflexión de un miembro bajo una carga se puede calcular integrando la función que describe matemáticamente la pendiente de la forma deflectada del miembro bajo esa carga. Existen fórmulas estándar para la deflexión de configuraciones de vigas comunes y casos de carga en ubicaciones discretas. En caso contrario se utilizan métodos como el trabajo virtual, la integración directa, el método de Castigliano, el método de Macaulay o el método de rigidez directa.

Curva de deflexión

Cuando las vigas son cargadas por cargas laterales o longitudinales, el eje longitudinal recto inicial se deforma en una curva conocida como curva elástica de la viga o curva de deflexión. La curva de deflexión es el eje deformado de la viga seleccionada.

Ángulo de deflexión

La pendiente se puede definir como el ángulo entre el eje longitudinal de la viga y la tangente construida a la curva de deformación de la viga en cualquier ubicación deseada. Es el ángulo de rotación del eje neutro del haz. Se mide en radianes.

Desviación:

La deflexión es la traslación o desplazamiento de cualquier punto en el eje de la viga, medido en la dirección y desde el eje longitudinal recto inicial hasta el punto en la curva de deflexión de la viga. Se mide en mm. La deflexión representa la desviación del eje longitudinal recto debido a la carga transversal. Por el contrario, el pandeo de la viga representa la desviación del eje longitudinal recto inicial debido a la carga de compresión axial. Suele estar representado por 'y '

Si la viga se dobla como el arco de un círculo, se llama flexión circular; de lo contrario, se denomina flexión no circular. Suponga que una viga prismática está sujeta a un momento flector variable. En ese caso, da como resultado una flexión de tipo no circular, y si se somete a un momento flector constante da como resultado una flexión circular de la viga.

Condiciones de contorno de deflexión de la viga

  1. y es cero en un soporte de pasador o rodillo.
  2. y es cero en un soporte empotrado o en voladizo.
  3. Suponga que el momento flector y la rigidez a la flexión son funciones discontinuas de x. En ese caso, no se puede escribir una sola ecuación diferencial para todo el haz; las ecuaciones de la curva para dos segmentos adyacentes deben satisfacer las dos condiciones dadas en la unión entre segmentos:
  • 1. La y de la sección de la izquierda debe ser igual a la y de la sección de la derecha.
  • 2. La pendiente del tramo de la izquierda debe ser igual a la pendiente del tramo de la derecha.

Relación entre las fuerzas de carga, la fuerza cortante, el momento flector, la pendiente y la deflexión

Considere una viga horizontal AB en condición descargada. Si AB se desvía bajo la carga, la nueva posición será A'B '. La pendiente en cualquier punto C será

i = \ frac {dy} {dx}

Por lo general, la deflexión es mínima y para un radio de curvatura pequeño,

ds = dx = Rdi \\\ frac {di} {dx} = 1 / R
Pero \; i = \ frac {dy} {dx}

Por lo tanto,

\ frac {d ^ 2 y} {dx ^ 2} = 1 / R  

Según la teoría simple del momento flector

\ frac {M} {I} = \ frac {E} {R}
\ frac {1} {R} = \ frac {M} {EI}

Por lo tanto,

\ frac {d ^ 2 y} {dx ^ 2} = \ frac {1} {R} = \ frac {M} {EI}

Dónde,

E = Módulo de Young del material

I = Momento de inercia del área

M = Momento máximo

R = Radio de curvatura de la viga

Esta es la ecuación diferencial básica para la deflexión del haz.

Ecuaciones y relaciones de Beam Bending

Deflexión = y
Pendiente = \ frac {dy} {dx}
Flexión \; momento = EI \ frac {d ^ 2y} {dx ^ 2}
Cortar\; Fuerza = EI \ frac {d ^ 3y} {dx ^ 3}
Carga \; distribución = EI \ frac {d ^ 4y} {dx ^ 4}

Tabla de deflexión de vigas y fórmulas para casos de carga estándar:

  • La pendiente y la deflexión máximas en una viga en voladizo ocurren en el extremo libre de la viga, mientras que no se observa pendiente ni desviación en el extremo sujeto de una viga en voladizo.
  •  Para una viga simplemente apoyada con condiciones de carga simétricas, la deflexión máxima se puede encontrar en el tramo medio. La pendiente máxima se puede observar en los apoyos de la viga. La deflexión máxima ocurre donde la pendiente es cero.
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Deflexión de la viga y pendiente con ejemplos

Caso I: Viga que sobresale

Considere una viga de acero en voladizo que lleva una carga concentrada P = 50 kN en el extremo C.

Para la viga en voladizo, (a) determine la pendiente y la deflexión máxima, (b) evalúe la pendiente a 7 m de A y la deflexión máxima a partir de los datos dados Yo = 722 cm2 , E = 210 GPa.

Solución: el diagrama de cuerpo libre para la viga dada es

Deflexión de la viga en voladizo

El valor de la reacción en A y B se puede calcular aplicando condiciones de equilibrio

\ sum F_y = 0 \; \ sum M_A = 0

Para el equilibrio vertical, Fy = 0

R_A + R_B = P

Tomando un momento alrededor de A, el momento positivo en el sentido de las agujas del reloj y el momento en sentido contrario a las agujas del reloj se toman como negativo.

P (L + a) -R_B * L = 0 \\ R_B = P (1 + a / L)

Por lo tanto,

R_A + P (1+ \ frac {a} {L}) = P
R_A = \ frac {-Pa} {L}

Considere cualquier sección AD a una distancia x del soporte A

El momento en el punto D es

M = \ frac {-Pa} {L x}

Usando la ecuación diferencial de la curva,

EI \ frac {d ^ 2 y} {dx ^ 2} = \ frac {-Pa} {L x}

Integrando dos veces, obtenemos

EI \ frac {dy} {dx} = \ frac {-1} {2} \ frac {Pa} {L} x ^ 2 + C_1 …………… .. [1]
EIy = \ frac {-1} {6} \ frac {Pa} {L} x ^ 3 + C_1x + C_2 …………… .. [2]

Encontramos las constantes de integración usando las condiciones de contorno disponibles para nosotros.

En x = 0, y = 0; de la ecuación [2] obtenemos,

C_2 = 0

En x = L, y = 0; de la ecuación [2] obtenemos,

0 = \ frac {-1} {6} \ frac {Pa} {L} * L ^ 3 + C_1 * L + 0
C_1 = \ frac {PaL} {6}

Así, la ecuación de pendiente así obtenida sustituyendo los valores de C1 y C2 en [1]

EI \ frac {dy} {dx} = \ frac {-1} {2} \ frac {Pa} {L} x ^ 2 + \ frac {PaL} {6} …………… .. [3]

Por tanto, la ecuación de deflexión así obtenida sustituyendo los valores de C1 y C2 en [2]

EIy = \ frac {-1} {6} \ frac {Pa} {L} x ^ 3 + \ frac {PaL} {6} x …………… .. [4]

La deflexión máxima se produce cuando la pendiente es cero. Por lo tanto, la ubicación del punto de máxima deflexión se puede encontrar en [3]:

0 = \ frac {-1} {2} \ frac {Pa} {L} x ^ 2 + \ frac {PaL} {6}
 \ frac {1} {2} \ frac {Pa} {L} x ^ 2 = \ frac {PaL} {6}
x_m = \ frac {L} {\ sqrt 3}
x_m = 0.577 L

Poner el valor de x en la ecuación [4]

EIy_ {max} = \ frac {-1} {6} \ frac {Pa} {L} x_m ^ 3 + \ frac {PaL} {6} x_m
EIy_ {max} = \ frac {-1} {6} \ frac {Pa} {L} * 0.577 L ^ 3 + \ frac {PaL} {6} * 0.577 L
y_ {max} = 0.064 \ frac {Pal ^ 2} {EI}

Evalúe la pendiente a 7 m de A a partir de los datos dados:

 I = 722 \; cm ^ 4 = 72210 ^ {- 8} \; m ^ 4, E = 210 \; GPa = 210 * 10 ^ 9 \; Pensilvania

Usando la ecuación [3]

EI \ frac {dy} {dx} = \ frac {-1} {2} \ frac {Pa} {L} x ^ 2 + \ frac {PaL} {6}
210*10^9*722*10^{-8}* \frac{dy}{dx}= \frac{-1}{2}  \frac{50*10^3*4}{15 }*7^2+\frac{50*10^3*4*15}{6}
\ frac {dy} {dx} = 0.5452 \; radianes

la deflexión máxima en la viga puede ser dada por

y_ {max} = 0.064 \ frac {Pal ^ 2} {EI}
y_{max}=0.064\frac{50*10^3*4*15^2}{210*10^9*722*10^{-8}}
y_ {max} = 1.89 \; m

Caso II: Determine la deflexión máxima de una viga simplemente apoyada con carga puntual en el centro.

Considere una viga de acero simplemente apoyada que lleva una carga concentrada F = 50 kN en el punto C. Para la viga simplemente apoyada, (a) evalúe la pendiente en A y la deflexión máxima a partir de los datos dados: Yo = 722 cm4 , E = 210 GPa, L = 15 m

La siguiente figura muestra el DCL para una viga simplemente apoyada con carga puntual.

Según relaciones estándar y fórmula

La pendiente al final de la viga puede estar dada por

\ frac {dy} {dx} = \ frac {FL ^ 2} {16EI}
\frac{dy}{dx}=\frac{50*10^3*15^2}{16*210*10^9*722*10^{-8}}
\ frac {dy} {dx} = 0.463

Para una viga simplemente apoyada con carga puntual que actúa en el centro, la deflexión máxima se puede determinar mediante

y_ {max} = \ frac {FL ^ 3} {48EI}
y_{max}=\frac{50*10^3*15^3}{48*210*10^9*722*10^{-8} }
y_ {max} = 2.31 \; m

Caso III: Para viga simplemente apoyada con una carga puntual concentrada a una distancia del soporte A

Considere una viga de acero simplemente apoyada que lleva una carga concentrada F = 50 kN en el punto C.Para la viga simplemente apoyada, (a) evalúe la pendiente en A y B y la deflexión máxima a partir de los datos dados: Yo = 722 cm4 , E = 210 GPa, L = 15 m, a = 7 m, b = 13 m

La siguiente figura muestra el DCL para una viga simplemente apoyada con carga puntual.

Según relaciones estándar y fórmula

La pendiente en el soporte A de la viga puede estar dada por

\ theta_1 = \ frac {Fb (L ^ 2-b ^ 2)} {6LEI}
\theta_1=\frac{50*10^3*13*(20^2-13^2)}{6*20*210*10^9*722*10^{-8}}
\ theta_1 = 0.825 \; radianes 

La pendiente en el soporte B de la viga puede estar dada por

\ theta_2 = \ frac {Fab (2L-b)} {6LEI}
\theta_2=\frac{50*10^3*7*13*(2*20-13)}{6*20*210*10^9*722*10^{-8}}
\ theta_2 = 0.675 \; radianes

Para una viga simplemente apoyada con carga puntual que actúa en el centro, la deflexión máxima se puede determinar mediante

y_{max}=\frac{50*10^3*13}{48*210*10^9*722*10^{-8} }*(3*15^2-4*13^2)
y_ {max} = - 8.93 * 10 ^ {- 3} \; m = -8.93 \; mm

Método de integración doble

Si la rigidez a la flexión EI es constante y el momento es función de la distancia x, Integración de EI (d2 y) / (dx2 ) = M producirá Pendiente

EI \ frac {dy} {dx} = \ int M dx + C_1
EIy = \ int \ int Mdxdx + C_1x + C_2

donde C1 y C2 son constantes. Se determinan utilizando las condiciones de contorno u otras condiciones en la viga. La ecuación anterior da la deflexión y en función de x; se llama ecuación de curva elástica o de deformación.

El método de análisis anterior de deflexión y pendiente de la viga se conoce como el método de doble integración para calcular las deflexiones de la viga. Si el momento flector y la rigidez a la flexión son funciones continuas de x, se puede observar una única ecuación diferencial para toda la viga. Para una Viga estáticamente determinada, hay dos reacciones de soporte; cada uno impone un conjunto dado de restricciones sobre la pendiente de la curva elástica. Estas restricciones se denominan condiciones de contorno y se utilizan para determinar las dos constantes de integración.

Condiciones de contorno del método de integración doble

  1. y es cero en un soporte de pasador o rodillo.
  2. y es cero en un soporte empotrado o en voladizo.
  3. Suponga que el momento flector y la rigidez a la flexión son funciones discontinuas de x. En ese caso, no se puede escribir una sola ecuación diferencial para todo el haz; las ecuaciones de la curva para dos segmentos adyacentes deben satisfacer las dos condiciones dadas en la unión entre segmentos:
  • 1. La y de la sección de la izquierda debe ser igual a la y de la sección de la derecha.
  • 2. La pendiente del tramo de la izquierda debe ser igual a la pendiente del tramo de la derecha.

Procedimiento para el método de integración doble

  • Dibuje la curva elástica para la viga y considere todas las condiciones de contorno necesarias, como y es cero en un soporte de pasador o rodillo y y es cero en un soporte empotrado o en voladizo.
  • Determine el momento flector M a una distancia arbitraria x del soporte usando el método de las secciones. Utilice las reglas de momento flector adecuadas al encontrar el momento M. para un momento discontinuo, las ecuaciones de la curva para dos segmentos adyacentes deben satisfacer las dos condiciones dadas en la unión entre segmentos: 1. El y para la sección de la izquierda debe ser igual al y para la sección de la derecha. 2. La pendiente del tramo de la izquierda debe ser igual a la pendiente del tramo de la derecha.
  • Integre la ecuación dos veces para obtener la pendiente y la deflexión, y no olvide encontrar la integración constante para cada sección usando condiciones de contorno.

Ejemplos de método de doble integración para encontrar la deflexión del haz

Considere la viga en voladizo de longitud L que se muestra en la figura siguiente con una carga distribuida uniformemente. En una viga en voladizo, un extremo está fijo mientras que el otro extremo se puede mover libremente. Derivaremos la ecuación de pendiente y momento flector para esta viga usando el método de integración doble.

El momento flector que actúa a la distancia x desde el extremo izquierdo se puede obtener como:

M = -wx * \ frac {x} {2}

Usando la ecuación diferencial de la curva,

\ frac {d ^ 2y} {dx ^ 2} = M = \ frac {-wx ^ 2} {2}

Integrando una vez que tenemos,

EI \ frac {dy} {dx} = \ frac {-wx ^ 3} {6} + C_1 ……… .. [1]

Integrando la ecuación [1] obtenemos,

EIy= \frac{-wx^4}{24}+C_1 x+C_2……..[2]

Las constantes de integraciones se pueden obtener utilizando las condiciones de contorno,

En x = L, dy / dx = 0; ya que el soporte en A resiste los movimientos. Por lo tanto, de la ecuación [1], obtenemos,

C_1 = \ frac {wL ^ 3} {6}

En x = L, y = 0, Sin deflexión en el soporte o extremo fijo A Por lo tanto, de la ecuación [2], obtenemos,

0= \frac{-wL^4}{24}+\frac{wL^3}{6} *L+C_2
C_2 = \ frac {-wL ^ 4} {8}

 Sustituyendo el valor de la constante en [1] y [2] obtenemos nuevos conjuntos de ecuaciones como

EI \frac{dy}{dx}= \frac{-wx^3}{6}+\frac{wL^3}{6}………..[3]
EIy= \frac{-wx^4}{24}+\frac{wL^3}{6} -\frac{wL^4}{8}……..[4]

evaluar la pendiente en x = 12 my la deflexión máxima a partir de los datos dados: Yo = 722 cm4 , E = 210 GPa, L = 20 m, w = 20 Nm

De las ecuaciones anteriores: en x = 12 m,

EI \ frac {dy} {dx} = \ frac {-wx ^ 3} {6} + \ frac {wL ^ 3} {6}
210*10^9*722*10^{-8}* \frac{dy}{dx}= \frac{-20*12^3}{6}+\frac{20*20^3}{6}
\ frac {dy} {dx} = 0.01378 \; radianes

De la ecuación [4]

EIy= \frac{-wx^4}{24}+\frac{wL^3}{6} -\frac{wL^4}{8}
210*10^9*722*10^{-8}*y= \frac{-20*12^4}{24}+\frac{20*20^3}{6} -\frac{20*20^4}{8}
y = -0.064 \; m

Método de doble integración para carga triangular

Considere la viga simplemente apoyada de longitud L que se muestra en la figura siguiente con carga triangular. Derivaremos la ecuación de pendiente y momento flector para esta viga usando el método de integración doble.

Dado que la carga es simétrica, cada reacción de apoyo soportará la mitad de la carga total. Se encuentra que la reacción en A y B es wL / 4.

Momento en cualquier punto a una distancia x de RA is

M = \ frac {wL} {4} x- \ frac {wx ^ 2} {L} \ frac {x} {3} = \ frac {w} {12L} (3L ^ 2 x-4x ^ 3) 
 \ frac {d ^ 2 y} {dx ^ 2} = M = \ frac {w} {12L} (3L ^ 2 x-4x ^ 3) 

Integrar dos veces nos dará las ecuaciones,

EI \frac{dy}{dx}=\frac{w}{12L}(\frac{3L^2x^2}{2}-x^4)+C_1...........................[1]
EIy=\frac{w}{12L} (\frac{L^2x^3}{2}-\frac{x^5}{5})+C_1 x+C_2……..[2]

En x = 0, y = 0; de la ecuación [2] obtenemos,

C_2 = 0

Debido a la simetría de la carga, la pendiente en el punto medio es cero. Por lo tanto, dy / dx = 0 en x = L / 2

0=\frac{w}{12L}(\frac{3L^2*L^2}{2*4}-(L^4/16))+C_1
C_1 = \ frac {-5wL ^ 3} {192}

Sustituyendo el valor de las constantes en [1] y [2] obtenemos,

EI \frac{dy}{dx}=\frac{w}{12L}(\frac{3L^2x^2}{2}-x^4)+\frac{-5wL^3}{192}...........................[3]
EIy=\frac{w}{12L} (\frac{L^2x^3}{2}-\frac{x^5}{5})+\frac{-5wL^3}{192} x……..[4]

La deflexión máxima se observará en el centro de la viga. es decir, en L / 2

EIy=\frac{w}{12L} (\frac{L^2(L/2)^3}{2}-\frac{(L/2)^5}{5})+\frac{-5wL^3}{192}(L/2)
EIy_{max}=\frac{w}{12L} (\frac{L^5}{16}-\frac{L^5}{160})+\frac{-5wL^4}{384}
EIy_ {max} = \ frac {-wL ^ 4} {120}

evaluar la pendiente en x = 12 my el valor máximo de y a partir de los datos dados: Yo = 722 cm4 , E = 210 GPa, L = 20 m, w = 20 Nm

De las ecuaciones anteriores: en x = 12 m,

EI \frac{dy}{dx}=\frac{w}{12L}(\frac{3L^2x^2}{2}-x^4)+\frac{-5wL^3}{192}
210*10^9*722*10^{-8}* \frac{dy}{dx}=\frac{20}{12*20}(\frac{3*20^2*12^2}{2}-12^4)+\frac{-5*20*20^3}{192}
\ frac {dy} {dx} = 8.60 * 10 ^ {- 4} \; radianes

De la ecuación [4]

EIy_ {max} = \ frac {-wL ^ 4} {120}
210*10^9*722*10^{-8}*y=\frac{-20*20^4}{120}
y = -0.01758 \; m

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Acerca de Hakimuddin Bawangaonwala

Soy Hakimuddin Bawangaonwala, ingeniero de diseño mecánico con experiencia en diseño y desarrollo mecánico. He completado la maestría en tecnología en ingeniería de diseño y tengo 2.5 años de experiencia en investigación. Hasta ahora publicado Dos artículos de investigación sobre torneado duro y análisis de elementos finitos de accesorios de tratamiento térmico. Mi área de interés es el diseño de máquinas, resistencia de materiales, transferencia de calor, ingeniería térmica, etc. Competente en software CATIA y ANSYS para CAD y CAE. Aparte de la investigación.
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