COVARIANZA, VARIENCIA DE SUMAS Y CORRELACIONES DE VARIABLES ALEATORIAS
Los parámetros estadísticos de las variables aleatorias de diferente naturaleza utilizando la definición de expectativa de variable aleatoria es fácil de obtener y comprender, a continuación encontraremos algunos parámetros con la ayuda de la expectativa matemática de variable aleatoria.
Momentos de la cantidad de eventos que ocurren
Hasta ahora sabemos que la expectativa de diferentes potencias de la variable aleatoria son los momentos de las variables aleatorias y cómo encontrar la expectativa de la variable aleatoria de los eventos si el número de eventos ya ocurrió, ahora nos interesa la expectativa si un par de números de eventos ya ocurrió, ahora si X representa el número de eventos ocurridos, entonces para los eventos A1, Una2, ….,UNn definir la variable indicadora Ii as
la expectativa de X en sentido discreto será
porque la variable aleatoria X es
ahora para encontrar la expectativa si ya ocurrió el número de pares de eventos, tenemos que usar combinación as
esto da expectativa como
de esto obtenemos la expectativa de x cuadrado y el valor de la varianza también por
Al usar esta discusión, enfocamos diferentes tipos de variables aleatorias para encontrar tales momentos.
Momentos de variables aleatorias binomiales
Si p es la probabilidad de éxito de n ensayos independientes, denotemos Ai para la prueba yo como un éxito así
y de ahí el varianza de la variable aleatoria binomial se mostrarán
porque
si generalizamos para k eventos
esta expectativa la podemos obtener sucesivamente para el valor de k mayor que 3 encontremos para 3
usando esta iteración podemos obtener
Momentos de variables aleatorias hipergeométricas
Los momentos de esta variable aleatoria los entenderemos con la ayuda de un ejemplo, supongamos que se seleccionan al azar n plumas de una caja que contiene N plumas de las cuales m son azules, Sea Ai denotar los eventos que el i-ésimo lápiz es azul, ahora X es el número de lápiz azul seleccionado es igual al número de eventos A1,A2,…..,UNn que ocurren porque la i-ésima pluma seleccionada es igualmente probable que cualquiera de las N plumas de las cuales m son azules
y entonces
esto da
por lo que la varianza de la variable aleatoria hipergeométrica será
de manera similar para los momentos superiores
por lo tanto
Momentos de las variables aleatorias hipergeométricas negativas
considere el ejemplo de un paquete que contiene n + m vacunas, de las cuales n son especiales y m son ordinarias, estas vacunas se retiran una a la vez, y cada nueva extracción es igualmente probable que sea cualquiera de las vacunas que quedan en el paquete. Ahora dejemos que la variable aleatoria Y denote el número de vacunas que deben retirarse hasta que se hayan eliminado un total de r vacunas especiales, que es una distribución hipergeométrica negativa, esto es de alguna manera similar con binomio negativo a binomio en cuanto a la distribución hipergeométrica. para encontrar el probabilidades función de masa si la extracción k-ésima da la vacuna especial después de la extracción k-1 da la vacuna especial r-1 y la vacuna ordinaria kr
ahora la variable aleatoria Y
Y = r + X
para los eventos Ai
as
por lo tanto, para encontrar la varianza de Y debemos conocer la varianza de X para
por lo tanto
COVARIANCIA
La relación entre dos variables aleatorias se puede representar mediante el parámetro estadístico covarianza, antes de la definición de covarianza de dos variables aleatorias X e Y recuerde que la expectativa de dos funciones g y h de variables aleatorias X e Y respectivamente da
usando esta relación de expectativa podemos definir la covarianza como
"La covarianza entre la variable aleatoria X y la variable aleatoria Y denotada por cov (X, Y) se define como
usando la definición de expectativa y expandiéndonos obtenemos
está claro que si las variables aleatorias X e Y son independientes, entonces
pero lo contrario no es cierto, por ejemplo, si
y definiendo la variable aleatoria Y como
so
aquí claramente X e Y no son independientes, pero la covarianza es cero.
Propiedades de la covarianza
La covarianza entre las variables aleatorias X e Y tiene algunas propiedades como sigue
usando la definición de la covarianza, las primeras tres propiedades son inmediatas y la cuarta propiedad sigue considerando
ahora por definición
Varianza de las sumas
El resultado importante de estas propiedades es
as
Si Xi son independientes por pares, entonces
Ejemplo: varianza de una variable aleatoria binomial
Si X es la variable aleatoria
donde Xi son las variables aleatorias independientes de Bernoulli tales que
luego encuentre la varianza de una variable aleatoria binomial X con los parámetros ny p.
Solución:
desde
así que para una sola variable tenemos
entonces la varianza es
Ejemplo
Para las variables aleatorias independientes Xi con las respectivas medias y varianza y una nueva variable aleatoria con desviación como
luego calcula
solución:
Al usar la propiedad y definición anteriores, tenemos
ahora para la variable aleatoria S
toma la expectativa
Ejemplo:
Encuentre la covarianza de las funciones indicadoras para los eventos A y B.
Solución:
para los eventos A y B, las funciones del indicador son
entonces la expectativa de estos son
por lo tanto, la covarianza es
Ejemplo:
Muestra esa
donde Xi son variables aleatorias independientes con varianza.
Solución:
La covarianza usando las propiedades y la definición será
Ejemplo:
Calcule la media y la varianza de la variable aleatoria S, que es la suma de n valores muestreados si un conjunto de N personas, cada una de las cuales tiene una opinión sobre un tema determinado que se mide mediante un número real v que representa la "fuerza de sentimiento" de la persona sobre el tema. Dejar representar la fuerza del sentimiento de la persona
lo cual se desconoce, para recolectar información se toma aleatoriamente una muestra de n de N, se interroga a estas n personas y se obtiene su sentimiento para calcular vi
Solución
definamos la función del indicador como
así podemos expresar S como
y su expectativa como
esto da la varianza como
desde
tenemos
conocemos la identidad
so
por lo que la media y la varianza de dicha variable aleatoria serán
Conclusión:
La correlación entre dos variables aleatorias se define como covarianza y usando la covarianza se obtiene la suma de la varianza para diferentes variables aleatorias, se obtiene la covarianza y los diferentes momentos con la ayuda de la definición de expectativa, si necesita más lectura pase por
https://en.wikipedia.org/wiki/Expectation
Un primer curso de probabilidad de Sheldon Ross
Esquemas de probabilidad y estadística de Schaum
Una introducción a la probabilidad y la estadística por ROHATGI y SALEH.
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Soy DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. He completado mi doctorado. en Matemáticas y trabajando como profesor asistente en Matemáticas. Contando con 12 años de experiencia en la docencia. Teniendo amplios conocimientos en Matemática Pura, precisamente en Álgebra. Tener la inmensa capacidad de diseño y resolución de problemas. Capaz de motivar a los candidatos para mejorar su desempeño.
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