Variable aleatoria continua | Su importante distribución

Variable aleatoria continua, tipos y su distribución

     La variable aleatoria que toma los valores finitos o infinitos contables se conoce como variable aleatoria discreta y su par con probabilidad forma la distribución de la variable aleatoria discreta. Ahora, para la variable aleatoria que toma los valores como incontables, cuál sería la probabilidad y las características restantes que vamos a discutir. Así, en resumen, la variable aleatoria continua es la variable aleatoria cuyo conjunto de valores son incontables. El ejemplo de la vida real para la variable aleatoria continua es la vida útil de los componentes eléctricos o electrónicos y la llegada de un vehículo público específico a las paradas, etc.

Función de densidad de probabilidad y variable aleatoria continua

                Variable aleatoria  será una variable aleatoria continua si para una función de valor real no negativo f en x y B ⊆  y  

    \ [P \ left \ {X \ in B \ right \} = \ int_ {B} f (x) dx \]

esta función f se conoce como Función de densidad de probabilidad  de la variable aleatoria dada X.

La función de densidad de probabilidad obviamente satisface los siguientes axiomas de probabilidad

    \ [1. \ \ f (x) \ geq 0 \]

    \ [2. \ \ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) dx = 1 \]

Dado que a partir de los axiomas de la probabilidad sabemos que la probabilidad total es uno,

\ 1 = P [X \ in (- \ infty, \ infty)] = \ \ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) dx \

Para la variable aleatoria continua, la probabilidad se calculará en términos de dicha función f, suponga que queremos encontrar la probabilidad para el intervalo continuo, digamos [a, b], entonces sería

P \ left {a \ leq X \ leq b \ right} = \ int_ {a} ^ {b} f (x) dx

Como sabemos, la integración representa el área bajo la curva, por lo que esta probabilidad muestra tal área para la probabilidad como

Variable aleatoria continua | Su importante distribución
Variable aleatoria continua

al igualar a = b el valor será

P {\ left {X = a \ right}} = \ int_ {a} ^ {a} f (x) dx = 0

y de manera similar, la probabilidad de que el valor sea menor o igual que el valor específico siguiendo esto será

P \ left {X <a \ right} = P \ left {X \ leq a \ right} = F (a) = \ int _ {- \ infty} ^ {a} f (x) dx

Ejemplo: El tiempo de trabajo continuo del componente electrónico se expresa en forma de variable aleatoria continua y la función de densidad de probabilidad se da como

x = \ begin {cases} \ lambda e ^ {- x / 100} & \ x \ geq 0 \ 0 & \ x \ geq 0 \ end {cases}

calcule la probabilidad de que el componente funcione eficazmente entre 50 y 150 horas y la probabilidad de menos de 100 horas.

dado que la variable aleatoria representa la variable aleatoria continua, la función de densidad de probabilidad dada en la pregunta da la probabilidad total como

1 = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) dx = \ lambda \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- x / 100} dx

Entonces obtendremos el valor de λ

1=-\lambda (100)e^{-x/100}\lvert_{\infty }^{0}=100\lambda

λ = 1/100

para la probabilidad de 50 horas a 150 horas tenemos

P \ left {50 <X <150 \ right} = \ int_ {50} ^ {150} \ frac {1} {100} e ^ {- x / 100} dx

= - e ^ {- x / 100} \ lvert_ {150} ^ {50}

=e^{-1/2} -e^{-3/2}\approx .384

de manera similar, la probabilidad menor de 100 será

P \ left {X <100 \ right} = \ int_ {0} ^ {100} \ frac {1} {100} e ^ {- x / 100} dx

= - e ^ {- x / 100} \ lvert_ {0} ^ {100}

= 1- e ^ {- 1} \ aproximadamente .633

Ejemplo: El dispositivo basado en computadora tiene una cantidad de conjuntos de chips con una vida útil dada por la función de densidad de probabilidad

f (x) = \ begin {cases} 0 & \ x \ leq 100 \ \ frac {100} {x ^ {2}} & \ x> 100 \ end {cases}

luego, después de 150 horas, calcule la probabilidad de que tengamos que reemplazar 2 conjuntos de chips de un total de 5 chips.

dejenos considerar Ei será el evento para reemplazar el chipset i-ésimo. por lo que la probabilidad de tal evento será

P (E_ {i}) = \ int_ {0} ^ {150} f (x) dx

=100\int_{100}^{150} x^{-2}dx =\frac{1}{3}

como el funcionamiento de todos los chips es independiente por lo que la probabilidad de que 2 sean reemplazados

p(X) = \binom{5}{2} (\frac{1}{3})^{2}(\frac{2}{3})^{3}=\frac{80}{243}

Función de distribución acumulativa

  La función de distribución acumulativa para la variable aleatoria continua se define con la ayuda de la función de distribución de probabilidad como

F (x) = P (X \ leq x) = \ int _ {- \ infty} ^ {x} f (u) du

en otra forma

F (a) = P (X \ in (- \ infty, a)) = \ int _ {- \ infty} ^ {a} f (x) dx

podemos obtener la función de densidad de probabilidad con la ayuda de la función de distribución como

\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} a} F (a) = f (a)

Expectativa matemática y varianza de la variable aleatoria continua

Expectativa

La expectativa matemática o media de la variable aleatoria continua.  con función de densidad de probabilidad  se puede definir como

E [X] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xf (x) dx

  • Para cualquier función de valor real de la variable aleatoria continua X, la expectativa será

E [g (X)] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} g (x) f (x) dx

donde g es la función de valor real.

  1. Para cualquier variable aleatoria continua no negativa Y, la expectativa será

E [Y] = \ int_ {0} ^ {\ infty} P \ left {Y> y \ right} dy

  • Para cualquier constante ayb

E [aX + b] = aE [X] + b

Diferencia

                La varianza de la variable aleatoria continua X con el parámetro media o expectativa  se puede definir de manera similar a como la variable aleatoria discreta es

Var (X) = E [(X - \ mu) ^ {2}]

Var (X) = E [X ^ {2}] - (E [X]) ^ {2}

Para cualquier constante ayb

Var (aX + b) = a ^ {2} Var (X)

   La prueba de todas las propiedades anteriores de expectativa y varianza la podemos obtener fácilmente simplemente siguiendo los pasos que tenemos en la variable aleatoria discreta y las definiciones de expectativa, varianza y probabilidad en términos de variable aleatoria continua.

Ejemplo: Si la función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria continua X está dada por

f (x) = \ begin {cases} 2x & \ if \ \ 0 \ leq x \ leq 1 \ 0 & \ de lo contrario \ end {cases}

luego encuentre la expectativa y la varianza de la variable aleatoria continua X.

Solución:  Para la función de densidad de probabilidad dada

f (x) = \ begin {cases} 2x & \ if \ \ 0 \ leq x \ leq 1 \ 0 & \ de lo contrario \ end {cases}

el valor esperado por la definición será

E [X] = \ int xf (x) dx = \ int_ {0} ^ {1} 2 x ^ {2} dx = \ frac {2} {3}

Ahora para encontrar la varianza que necesitamos EX2]

E [X ^ {2}] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x ^ {2} f (x) dx = \ int_ {0} ^ {1} 2 x ^ {3} dx = \ frac {1} {2}

Como

Var (X) = E [X ^ {2}] - (E [X]) ^ {2}

so

Var (X) = \ frac {1} {2} - (\ frac {2} {3}) ^ {2} = \ frac {1} {18}

Variable aleatoria uniforme

    Si la variable aleatoria continua X tiene la función de densidad de probabilidad dada por

f (x) = \ begin {cases} 1 & \ 0 <x <1 \\ 0 & \ de lo contrario \ end {cases}

durante el intervalo (0,1), esta distribución se conoce como distribución uniforme y la variable aleatoria se conoce como variable aleatoria uniforme.

  • Para cualquier constante ayb tal que 0

P \ left {a \ leq X \ leq b \ right} = \ int_ {a} ^ {b} f (x) dx = ba

  • En lugar del intervalo (0,1) podemos generalizar la distribución uniforme a cualquier intervalo general (α, β)  si la función de densidad de probabilidad para la variable aleatoria es

f (x) = \ begin {cases} \ frac {1} {\ beta - \ alpha} & \ if \ \ \ alpha

Variable aleatoria continua
Variable aleatoria continua: variable aleatoria uniforme

Expectativa y varianza de la variable aleatoria uniforme

      Para la variable aleatoria uniformemente continua X en el intervalo general (α, β) la expectativa según la definición será

E [X] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xf (x) dx

= \ int _ {\ alpha} ^ {\ beta} \ frac {x} {\ beta - \ alpha} dx

= \ frac {\ beta ^ {2} - \ alpha ^ {2}} {2 (\ beta - \ alpha)}

= \ frac {\ beta + \ alpha} {2}

y varianza que obtendremos si encontramos primero EX2]

E [X ^ {2}] = \ int _ {\ alpha} ^ {\ beta} \ frac {x ^ {2}} {\ beta - \ alpha} dx

= \ frac {\ beta ^ {3} - \ alpha ^ {3}} {3 (\ beta - \ alpha)}

= \ frac {\ beta ^ {2} + \ beta \ alpha + \ alpha ^ {2}} {3}

so

Var (X) = \ frac {\ beta ^ {2} + \ beta \ alpha + \ alpha ^ {2}} {3} - \ frac {(\ alpha + \ beta) ^ {2}} {4}

= \ frac {(\ beta - \ alpha) ^ {2}} {12}

Ejemplo: A una estación en particular, los trenes para el destino dado llegan con una frecuencia de 15 minutos desde las 7 a.m. Para el pasajero que se encuentra en la estación a una hora entre las 7 y las 7.30 distribuidos uniformemente cuál será la probabilidad de que el pasajero tome el tren en 5 minutos y cuál será la probabilidad durante más de 10 minutos.

Solución: Como el tiempo de 7 a 7.30 se distribuye uniformemente para que el pasajero esté en la estación de tren, denótelo mediante la variable aleatoria uniforme X. por lo que el intervalo será (0, 30)

Dado que para obtener el tren en 5 minutos, el pasajero debe estar en la estación entre las 7.10 y las 7.15 o las 7.25 y las 7.30, por lo que la probabilidad será

P \ left {10 <X <15 \ right} + P \ left {25 <X <30 \ right} = \ int_ {10} ^ {15} \ frac {1} {30} dx + \ int_ {25} ^ {30} \ frac {1} {30} dx

= 1 / 3

De manera similar para tomar el tren después de esperar más de 10 minutos el pasajero debe estar en la estación de 7 a 7.05 o de 7.15 a 7.20 por lo que la probabilidad será

P \ left {0 <X <5 \ right} + P \ left {15 <X <20 \ right} = \ frac {1} {3}

Ejemplo: Encuentre la probabilidad de la variable aleatoria uniforme X distribuida en el intervalo (0,10)

para X <3, X> 6 y 3

solución: dado que la variable aleatoria se da como distribuida uniformemente, las probabilidades serán

P \ left \ {X <3 \ right \} = \ int_ {0} ^ {3} \ frac {1} {10} dx = \ frac {3} {10}

P \ left {X> 6 \ right} = \ int_ {6} ^ {10} \ frac {1} {10} dx = \ frac {4} {10}

P \ left {3 <X <8 \ right} = \ int_ {3} ^ {8} \ frac {1} {10} dx = \ frac {1} {2}

Ejemplo: (Paradoja de Bertrands) Para cualquier acorde aleatorio de un círculo. cuál sería la probabilidad de que la longitud de esa cuerda aleatoria sea mayor que el lado del triángulo equilátero inscrito en el mismo círculo.

Este problema no tiene holgura sobre la cuerda aleatoria por lo que este problema se reformuló en términos de diámetro o ángulo y luego se respondió como se obtuvo 1/3.

Conclusión:

   En este artículo se discutió el concepto de variable aleatoria continua y su distribución con función de densidad de probabilidad y se da la media del parámetro estadístico, varianza para la variable aleatoria continua. Se da la variable aleatoria uniforme y su distribución con ejemplo cuál es el tipo de variable aleatoria continua en el artículo sucesivo enfocaremos algunos tipos importantes de variable aleatoria continua con ejemplos y propiedades adecuados. , si desea leer más, consulte:

Esquemas de probabilidad y estadística de Schaum

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability

Si desea leer más temas sobre matemáticas, consulte Página de matemáticas.

Acerca de DR. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Yo soy DR. Mohammed Mazhar Ul Haque, profesor asistente de Matemáticas. Tener 12 años de experiencia en la docencia. Tener un vasto conocimiento en Matemática Pura, precisamente en Álgebra. Tener la inmensa capacidad de diseñar y resolver problemas. Capaz de motivar a los candidatos para mejorar su desempeño.
Me encanta contribuir a Lambdageeks para hacer que las matemáticas sean simples, interesantes y autoexplicativas tanto para principiantes como para expertos.
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