Variable aleatoria continua, tipos y su distribución
La variable aleatoria que toma los valores finitos o infinitos contables se conoce como variable aleatoria discreta y su par con probabilidad forma la distribución de la variable aleatoria discreta. Ahora, para la variable aleatoria que toma los valores como incontables, cuál sería la probabilidad y las características restantes que vamos a discutir. Así, en resumen, la variable aleatoria continua es la variable aleatoria cuyo conjunto de valores son incontables. El ejemplo de la vida real para la variable aleatoria continua es la vida útil de los componentes eléctricos o electrónicos y la llegada de un vehículo público específico a las paradas, etc.
Función de densidad de probabilidad y variable aleatoria continua
Variable aleatoria será una variable aleatoria continua si para una función de valor real no negativo f en x ∈ ℝ y B ⊆ ℝ y
esta función f se conoce como Función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria dada X.
La la función de densidad de probabilidad obviamente satisface los siguientes axiomas de probabilidad
Dado que a partir de los axiomas de la probabilidad sabemos que la probabilidad total es uno,
Para la variable aleatoria continua, la probabilidad se calculará en términos de dicha función f, suponga que queremos encontrar la probabilidad para el intervalo continuo, digamos [a, b], entonces sería
Como sabemos, la integración representa el área bajo la curva, por lo que esta probabilidad muestra tal área para la probabilidad como
al igualar a = b el valor será
y de manera similar, la probabilidad de que el valor sea menor o igual que el valor específico siguiendo esto será
Ejemplo: El tiempo de trabajo continuo del componente electrónico se expresa en forma de variable aleatoria continua y la función de densidad de probabilidad se da como
calcule la probabilidad de que el componente funcione eficazmente entre 50 y 150 horas y la probabilidad de menos de 100 horas.
dado que la variable aleatoria representa la variable aleatoria continua, la función de densidad de probabilidad dada en la pregunta da la probabilidad total como
Entonces obtendremos el valor de λ
λ = 1/100
para la probabilidad de 50 horas a 150 horas tenemos
de manera similar, la probabilidad menor de 100 será
Ejemplo: El dispositivo basado en computadora tiene una cantidad de conjuntos de chips con una vida útil dada por la función de densidad de probabilidad
luego, después de 150 horas, calcule la probabilidad de que tengamos que reemplazar 2 conjuntos de chips de un total de 5 chips.
dejenos considerar Ei será el evento para reemplazar el chipset i-ésimo. por lo que la probabilidad de tal evento será
como el funcionamiento de todos los chips es independiente por lo que la probabilidad de que 2 sean reemplazados
Función de distribución acumulativa
La función de distribución acumulativa para la variable aleatoria continua se define con la ayuda de la función de distribución de probabilidad como
en otra forma
podemos obtener la función de densidad de probabilidad con la ayuda de la función de distribución como
Expectativa matemática y varianza de la variable aleatoria continua
Expectativa
La expectativa matemática o media de la variable aleatoria continua con función de densidad de probabilidad se puede definir como
- Para cualquier función de valor real de la variable aleatoria continua X, la expectativa será
donde g es el valor real función.
- Para cualquier continuo no negativo variable aleatoria Y la expectativa será
- Para cualquier constante ayb
E [aX + b] = aE [X] + b
Diferencia
La varianza de la variable aleatoria continua X con el parámetro media o expectativa se puede definir de manera similar a como la variable aleatoria discreta es
La prueba de todo lo anterior. propiedades de la esperanza y la varianza podemos obtener fácilmente simplemente siguiendo los pasos que tenemos en variable aleatoria discreta y las definiciones de expectativa, varianza y probabilidad en términos de variable aleatoria continua
Ejemplo: Si la función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria continua X está dada por
luego encuentre la expectativa y la varianza de la variable aleatoria continua X.
Solución: Para la función de densidad de probabilidad dada
el valor esperado por la definición será
Ahora, para encontrar la varianza, necesitamos E [X2]
Como
so
Variable aleatoria uniforme
Si la variable aleatoria continua X tiene la función de densidad de probabilidad dada por
durante el intervalo (0,1), esta distribución se conoce como distribución uniforme y la variable aleatoria se conoce como variable aleatoria uniforme.
- Para cualquier constante ayb tal que 0
Expectativa y varianza de la variable aleatoria uniforme
Para la variable aleatoria uniformemente continua X en el intervalo general (α, β), la expectativa según la definición será
y la varianza que obtendremos si encontramos primero E[X2]
so
Ejemplo: A una estación en particular, los trenes para el destino dado llegan con una frecuencia de 15 minutos desde las 7 a.m. Para el pasajero que se encuentra en la estación a una hora entre las 7 y las 7.30 distribuidos uniformemente cuál será la probabilidad de que el pasajero tome el tren en 5 minutos y cuál será la probabilidad durante más de 10 minutos.
Solución: Como el tiempo de 7 a 7.30 se distribuye uniformemente para que el pasajero esté en la estación de tren, denótelo mediante la variable aleatoria uniforme X. por lo que el intervalo será (0, 30)
Dado que para obtener el tren en 5 minutos, el pasajero debe estar en la estación entre las 7.10 y las 7.15 o las 7.25 y las 7.30, por lo que la probabilidad será
= 1 / 3
De manera similar para tomar el tren después de esperar más de 10 minutos el pasajero debe estar en la estación de 7 a 7.05 o de 7.15 a 7.20 por lo que la probabilidad será
Ejemplo: Encuentre la probabilidad de la variable aleatoria uniforme X distribuida en el intervalo (0,10)
para X <3, X> 6 y 3
Solución: dado que la variable aleatoria se da como distribuida uniformemente, las probabilidades serán
Ejemplo: (Paradoja de Bertrands) Para cualquier acorde aleatorio de un círculo. cuál sería la probabilidad de que la longitud de esa cuerda aleatoria sea mayor que el lado del triángulo equilátero inscrito en el mismo círculo.
Este problema no tiene holgura sobre la cuerda aleatoria por lo que este problema se reformuló en términos de diámetro o ángulo y luego se respondió como se obtuvo 1/3.
Conclusión:
En este artículo se discutió el concepto de variable aleatoria continua y su distribución con función de densidad de probabilidad y se da la media del parámetro estadístico, varianza para la variable aleatoria continua. Se da la variable aleatoria uniforme y su distribución con ejemplo cuál es el tipo de variable aleatoria continua en el artículo sucesivo enfocaremos algunos tipos importantes de variable aleatoria continua con ejemplos y propiedades adecuados. , si desea leer más, consulte:
Esquemas de probabilidad y estadística de Schaum
https://en.wikipedia.org/wiki/Probability
Si desea leer más temas sobre matemáticas, consulte Página de matemáticas.
Soy DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. He completado mi doctorado. en Matemáticas y trabajando como profesor asistente en Matemáticas. Contando con 12 años de experiencia en la docencia. Teniendo amplios conocimientos en Matemática Pura, precisamente en Álgebra. Tener la inmensa capacidad de diseño y resolución de problemas. Capaz de motivar a los candidatos para mejorar su desempeño.
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