Ecuación de continuidad | Todo es un concepto importante

Lista de contenido

  • Ecuación de continuidad
  • Forma diferencial de la ecuación de continuidad
  • Ecuación de continuidad para flujo incompresible
  • Ecuación de continuidad para flujo coplanar bidimensional
  • Ejemplo de ecuación de continuidad
  • Preguntas y respuestas
  • MCQ
  • Conclusión

Ecuación de continuidad

Se supone que el fluido que fluye a través del tubo de corriente es el fluido ideal. No se produce ningún flujo a través de la línea de corriente. Significa que el fluido entra por un extremo y sale por el otro, no hay salida intermedia. Considere la condición de flujo en la sección transversal de entrada 1-1 como se muestra a continuación,

Tubo de corriente
parámetrosSección de entrada 1-1Sección de salida 2-2
Área de sección transversalAA + dA
Densidad de fluido promedio?? + d?
Velocidad de flujo mediaVV + dV

La masa de fluido que fluye entre estas dos secciones consideradas viene dada por la siguiente fórmula,

dm = (AV? dt) - (A + dA) (V + dV) (? + d?) dt Eq… 1

simplificando la ecuación anterior obtenemos,

dm / dt = - (AV d? + V? dA + A? dV) Ecuación… 2

Como sabemos que flujo estable significa caudal másico constante, aquí significa dm / dt = 0. Ahora la ecuación. 2 girado como se muestra a continuación,

(AV d? + V? DA + A? DV) = 0 Eq… 3

Ahora, divida la ecuación. 3 con? AV, la ecuación será como,

(d? /?) + (dA / A) + (dV / V) = 0 Eq… 4

d (? AV) = 0 Eq… 5

? AV = Ecuación constante… 6

Aquí, la Eq. 6 nos hace saber que la masa de fluido que pasa por el tubo de la corriente es constante en cada sección.

Suponga que el fluido es incompresible (líquido), entonces la densidad del fluido no cambiará en ningún punto. Significa que la densidad del fluido es constante.

AV = constante

A1 V1 = A2 V2                                                                                                                           Ecuación… 7

Eq. 7 representa la ecuación de continuidad para un flujo constante incompresible dentro del tubo de flujo. La ecuación de continuidad proporciona una comprensión básica del área y la velocidad. El cambio del área de la sección transversal afecta la velocidad del flujo dentro del tubo de la corriente, tubería, canal hueco, etc. Aquí, lo emocionante es producto de la velocidad y el área de la sección transversal. Este producto es constante en cualquier punto del tubo de chorro. La velocidad es inversamente proporcional al área de la sección transversal del tubo o tubería de chorro.

Forma diferencial de la ecuación de continuidad

Para derivar la forma diferencial de la ecuación de continuidad, considere un objeto como se muestra en la figura. Las dimensiones son dx, dy y dz. Hay algunas suposiciones para esta formación. La masa de fluido no se crea ni se destruye, no hay cavidades ni burbujas en el fluido (flujo continuo). Consideramos dx en la dirección x, dy en y y dz en las direcciones z para facilitar la derivación.

Si u es la velocidad del flujo de fluido como se muestra en la figura. Se supone que la velocidad es uniforme en todo el área de la sección transversal de la cara. La velocidad del fluido en la superficie 1-2-3-4 es u. ahora; la superficie 5-6-7-8 está a una distancia dx de 1-2-3-4. Entonces, la velocidad en 5-6-7-8 se da como

u + ∂u / ∂x dx
Forma diferencial de la ecuación de continuidad
Forma diferencial de la ecuación de continuidad

Como sabemos, hay cambio de densidad mediante el uso de fluido compresible. Si el fluido comprimible pasa a través de un objeto, la densidad cambiará.

El flujo másico que ingresa al objeto se da como

Flujo másico =? AV

Tasa de flujo másico =? AV dt

El fluido que entra en 1-2-3-4

Fluido de entrada = densidad (área * velocidad) dt

Fluido de entrada = ρ u dy dz dt

Ecuación… 1

El fluido saliendo del 5-6-7-8

Fluido de salida

fluido de salida = [ρu + ∂ / ∂x (ρu) dx] dy dz dt	

Ecuación… 2

Ahora, la diferencia entre el fluido de entrada y el fluido de salida es que la masa permanece en la dirección x flujo.

= ρ u dy dz dt- [ρu + ∂ / ∂x (ρu) dx] dy dz dt
= - ∂ / ∂x (ρu) dx dy dz dt

Ecuación… 3

De manera similar, consideramos que la masa de fluido en la dirección yyz se da a continuación,

= - ∂ / ∂y (ρv) dx dy dz dt

Ecuación… 4

= - ∂ / ∂z (ρw) dx dy dz dt

Ecuación… 5

Aquí, v y w son las velocidades del fluido en las direcciones y y z, respectivamente.

Para el flujo másico de fluido en las tres direcciones, los ejes están dados por la suma de la ecuación. 3, 4 y 5. Se indica a continuación, masa total de fluido,

= - [∂ / ∂x (ρu) + ∂ / ∂y (ρv) + ∂ / ∂z (ρw)] dx dy dz dt

Ecuación… 6

La tasa de cambio de masa dentro del objeto está dada por,

∂m / ∂t dt = ∂ / ∂t (ρ × volumen) dt = ∂ρ / ∂t dx dy dz dt

Ecuación… 7

Según la comprensión de la ecuación de conservación de masas. 6 igual a la ecuación. 7

- [∂ / ∂x (ρu) + ∂ / ∂y (ρv) + ∂ / ∂z (ρw)] dx dy dz dt = ∂ρ / ∂t dx dy dz dt

Resolviendo la ecuación anterior y simplificándola, obtenemos,

∂ρ / ∂t + ∂ / ∂x (ρu) + ∂ / ∂y (ρv) + ∂ / ∂z (ρw) = 0

Ecuación… 8

Eq. 8 es. Ecuación de continuidad para caudal general. Puede ser estable o inestable, comprimible o incompresible.

Ecuación de continuidad para flujo incompresible

Si consideramos que el flujo es constante e incompresible. Sabemos que en el caso de flujo constante ?? /? T = 0. Si el flujo es incompresible, entonces ¿densidad? permanece constante. Entonces, considerando esta condición, la Ec. 8 se puede escribir como,

∂u / ∂x + ∂v / ∂y + ∂w / ∂z = 0

Ecuación de continuidad para flujo coplanar bidimensional

En el flujo bidimensional, hay dos direcciones x e y. Asi que, u velocidad en la dirección xy v velocidad en la dirección y. No hay dirección z, por lo que la velocidad en la dirección z es cero. Al considerar estas condiciones, la Eq. 8 girado como abajo,

∂ / ∂x (ρu) + ∂ / ∂y (ρv) = 0

Flujo compresible

∂u / ∂x + ∂v / ∂y = 0 

Flujo incompresible, la densidad es cero

Ejemplo de ecuación de continuidad

Hay un flujo de aire a través de la tubería a razón de 0.25 kg / sa una presión absoluta de 2.25 bar y una temperatura de 300 K. Si la velocidad de flujo es 7.5 m / s, ¿cuál será el diámetro mínimo de la tubería?

Datos,

m = 0.25 kg / s,

P = 2.25 bares,

T = 300 K,

V = 7.5 m / s,

Calcule la densidad del aire,

P =? RT

? = P / RT

? = (2.25 * 105 ) / (287 * 300) = 2.61 kg / m3

Caudal másico de aire,

m =? AV

A = m /? V

A = 0.25 / (2.61 * 7.5) = 0.012 m2

Como conocemos esa zona,

A = π D2 / 4

D = √ ((A * 4) / π)
D = √ ((0.012 * 4) /3.14)

D = 0.127 m = 12.7 cm

Un chorro de agua en dirección ascendente sale de la punta de la boquilla a una velocidad de 15 m / s. El diámetro de la boquilla es de 20 mm. suponga que no hay pérdida de energía durante el funcionamiento. ¿Cuál será el diámetro del chorro de agua a 5 m por encima de la punta de la boquilla?

Ans.

En primer lugar, imagine el sistema; el flujo es en dirección vertical.

Datos,

V1 = velocidad del chorro en la punta de la boquilla

V2 = velocidad del chorro a 5 m por encima de la punta de la boquilla

Del mismo modo, las áreas A1 y A2.

Tenemos la ecuación general de movimiento como se muestra a continuación,

〖V2〗^2-〖V1〗^2=2 g s
〖V2〗^2-〖15〗^2=2*(-9.8)*5

V2 = 11.26 m / s

Ahora, aplique la ecuación de continuidad,

A1 V1 = A2 V2

A2 = (A1 V1) / V2

A2 = ((π / 4) * (0.02) ^ 2 * 15) /11.26=4.18* 10 ^ -4 m ^ 2
π / 4 * 〖d2〗 ^ 2 = 4.18 * 10 ^ -4 m ^ 2

Diámetro = 0.023 m = 23 mm

Preguntas y respuestas

¿Cuál es la diferencia entre la ecuación de continuidad y la ecuación de Navier Stokes?

Los fluidos, por definición, pueden fluir pero es fundamentalmente incompresible por naturaleza. los ecuación de continuidad Es una consecuencia del hecho de que lo que entra en una tubería / manguera también debe liberarse. Entonces, al final, el área multiplicada por la velocidad al final de una tubería / manguera debe permanecer constante.

Como consecuencia necesaria, si el área de la tubería / manguera disminuye, la velocidad del fluido también debe aumentar para mantener constante el caudal.

Aunque se cree que  Ecuación de Navier-Stokes describe las relaciones entre velocidad, presión, temperaturas y densidad de un fluido en movimiento. Esta ecuación generalmente se combina con varias formas de ecuaciones diferenciales. Por lo general, es bastante complejo de resolver analíticamente.

¿En qué se basa la ecuación de continuidad?

La ecuación de continuidad dice que el volumen de fluido que ingresa a la tubería de cualquier sección transversal debe ser igual al volumen de fluido que sale del otro lado del área de la sección transversal, lo que significa que el caudal debe ser constante y sigue la relación

Suponga que el fluido es incompresible (líquido), entonces la densidad del fluido no cambiará en ningún punto. Significa que la densidad del fluido es constante.

AV = constante

Tasa de flujo = A1 V1 = A2 V2

¿Para qué se usa la ecuación de continuidad?

Ecuación de continuidad Tiene muchas aplicaciones en el campo de la Hidrodinámica, Aerodinámica, Electromagnetismo, Mecánica Cuántica. Es un concepto importante para la regla fundamental del Principio de Bernoulli, está indirectamente involucrado en el principio Aerodinámico y sus aplicaciones.

La ecuación de continuidad expresa una ley de conservación local según el contexto. Es simplemente una declaración matemática que es sutil pero muy poderosa con respecto a la conservación local de cantidades específicas.

¿Se cumple la ecuación de continuidad para el flujo supersónico?

Sí, se puede utilizar para flujo supersónico. Se puede utilizar para otros flujos como hipersónico, supersónico y subsónico. La diferencia es que debes usar la forma conservadora de la ecuación.

¿Cuál es la forma tridimensional de la ecuación de continuidad para un flujo constante incompresible?

Si consideramos que el flujo es constante e incompresible. Sabemos que en el caso de flujo constante ?? /? T = 0. Si el flujo es incompresible, entonces ¿densidad? permanece constante. Entonces, considerando esta condición, la Ec. 8 se puede escribir como,

 ∂u / ∂x + ∂v / ∂y + ∂w / ∂z = 0

¿Cuál es la forma 3D de la ecuación de continuidad para un flujo constante compresible e incompresible?

En el flujo bidimensional, hay dos direcciones x e y. Entonces, la velocidad u en la dirección xy la velocidad v en la dirección y. No hay dirección z, por lo que la velocidad en la dirección z es cero. Al considerar estas condiciones, la Eq. 8 girado como abajo,

∂ / ∂x (ρu) + ∂ / ∂y (ρv) = 0
 ∂u / ∂x + ∂v / ∂y = 0

Preguntas de respuestas múltiples

¿Cuál de las siguientes es una forma de ecuación de continuidad?

  1. v1 A1 = v2 A2
  2. v1 t1 = v2 t2
  3. ΔV / t
  4. v1 / UN1 = v2 / UN2

¿Qué da la ecuación de continuidad al concepto sobre el movimiento de un fluido ideal?

  1. A medida que aumenta el área de la sección transversal, aumenta la velocidad.
  2. A medida que disminuye el área de la sección transversal, aumenta la velocidad.
  3. A medida que disminuye el área de la sección transversal, disminuye la velocidad.
  4. A medida que aumenta el área de la sección transversal, el volumen disminuye.
  5. A medida que aumenta el volumen, la velocidad disminuye.

La ecuación de continuidad se basa en el principio de

a) conservación de la masa

b) conservación del impulso

c) conservación de la energía

d) conservación de la fuerza

Dos diámetros de tubería similares de d convergen para obtener una tubería de diámetro D. ¿Cuál puede ser la observación entre d y D? ¿La velocidad de flujo en la nueva tubería será el doble que en cada una de las dos tuberías?

a) D = d

b) D = 2d

c) D = 3d

d) D = 4d

Las tuberías de diferentes diámetros d1 y d2 convergen para obtener una tubería de diámetro 2d. Si la velocidad del líquido en ambas tuberías es v1 y v2, ¿cuál será la velocidad del flujo en la nueva tubería?

a) v1 + v2

b) v1 + v2 / 2

c) v1 + v2 / 4

d) 2 (v1 + v2)

Conclusión

Este artículo incluye derivaciones de ecuaciones de continuidad con sus diferentes formas y condiciones. Se dan ejemplos y preguntas básicos para una mejor comprensión del concepto de ecuación de continuidad.

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Sobre Deepakkumar Jani

Soy Deepak Kumar Jani, estoy cursando un doctorado en energía mecánica renovable. Tengo cinco años de experiencia docente y dos de investigación. Mi área temática de interés es la ingeniería térmica, la ingeniería automotriz, la medición mecánica, el dibujo técnico, la mecánica de fluidos, etc. He presentado una patente sobre "Hibridación de energía verde para la producción de energía". He publicado 17 artículos de investigación y dos libros.
Me complace ser parte de Lambdageeks y me gustaría presentar parte de mi experiencia de una manera simplista a los lectores.
Aparte de lo académico y la investigación, me gusta vagar por la naturaleza, capturar la naturaleza y crear conciencia sobre la naturaleza entre las personas.
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