Porque la variable aleatoria dependiente entre sí requiere el cálculo de probabilidades condicionales que ya discutimos, ahora discutiremos algunos parámetros más para tales variables aleatorias o experimentos como expectativa condicional y varianza condicional para diferentes tipos de variables aleatorias.
Expectativa condicional
La definición de la función de masa de probabilidad condicional de la variable aleatoria discreta X dado Y es
aquí pY(y)>0 , entonces el condicional esperanza para la variable aleatoria discreta X dado Y cuando pY (y)>0 es
en la expectativa anterior la probabilidad es la condicional probabilidad.
De manera similar, si X e Y son continuos, entonces la función de densidad de probabilidad condicional de la variable aleatoria X dada Y es
donde f (x, y) es la función de densidad de probabilidad conjunta y para todo yfY(y)> 0, por lo que la expectativa condicional para la variable aleatoria X dada y será
para todos yfY(y)> 0.
Como sabemos que todos los propiedades de probabilidad son aplicables a condiciones probabilidad lo mismo es el caso de la expectativa condicional, todas las propiedades de la expectativa matemática se satisfacen mediante la expectativa condicional, por ejemplo, la expectativa condicional de la función de la variable aleatoria será
y la suma de las variables aleatorias en la expectativa condicional será
Expectativa condicional para la suma de variables aleatorias binomiales
Para encontrar condicional expectativa de la suma de variables aleatorias binomiales X e Y con parámetros n y p que son independientes, sabemos que X+Y será también una variable aleatoria binomial con los parámetros 2n y p, por lo que para la variable aleatoria X dada X+Y=m la esperanza condicional se obtendrá calculando la probabilidad
ya que sabemos que
por tanto, la expectativa condicional de X dado X + Y = m es
Ejemplo:
Encuentra la expectativa condicional
si la junta función de densidad de probabilidad de variables aleatorias continuas X e Y se dan como
solución:
Para calcular la expectativa condicional se requiere la función de densidad de probabilidad condicional, por lo que
ya que para la variable aleatoria continua la condicional la expectativa es
por lo tanto, para la función de densidad dada, la expectativa condicional sería
Expectativa por condicionamiento || Expectativa por expectativa condicional
Podemos calcular el expectativa matemática con la ayuda de la expectativa condicional de X dado Y como
para las variables aleatorias discretas esto será
que se puede obtener como
y para el azar continuo podemos mostrar de manera similar
Ejemplo:
Una persona queda atrapada en su edificio subterráneo ya que la entrada está bloqueada debido a una carga pesada, afortunadamente hay tres tuberías de las cuales puede salir la primera tubería lo saca de manera segura después de 3 horas, la segunda después de 5 horas y la tercera tubería después. 7 horas, si cualquiera de estos oleoductos elegidos con la misma probabilidad por él, entonces cuál sería el tiempo esperado en que saldrá a salvo.
Solución:
Sea X la variable aleatoria que denota el tiempo en horas hasta que la persona salió a salvo e Y denote la tubería que elige inicialmente, entonces
desde
Si la persona elige la segunda pipa, pasa 5 casas en esa pero sale con el tiempo esperado
entonces la expectativa será
Expectativa de la suma de un número aleatorio de variables aleatorias utilizando la expectativa condicional
Sea N el número aleatorio de variables aleatorias y la suma de variables aleatorias es entonces la expectativa
desde
as
así
Correlación de distribución bivariada
Si la función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria bivariada X e Y es
donde
entonces la correlación entre la variable aleatoria X e Y para la distribución bivariada con la función de densidad es
ya que la correlación se define como
ya que la expectativa que usa la expectativa condicional es
para la distribución normal, la distribución condicional X dada Y tiene media
ahora la expectativa de XY dado Y es
esto da
por lo tanto
Varianza de la distribución geométrica
En la distribución geométrica, realicemos ensayos sucesivamente independientes que resulten exitosos con probabilidad p. Si N representa el tiempo del primer éxito en esta sucesión, entonces la varianza de N, por definición, será
Deje que la variable aleatoria Y = 1 si el primer ensayo da como resultado un éxito y Y = 0 si el primer ensayo da como resultado un fracaso, ahora para encontrar la expectativa matemática aquí, aplicamos la expectativa condicional como
desde
si el éxito es en la primera prueba, entonces N = 1 y N2= 1 si ocurre el fracaso en la primera prueba, entonces para obtener el primer éxito, el número total de pruebas tendrá la misma distribución que 1, es decir, la primera prueba que da como resultado la falla más el número necesario de pruebas adicionales, es decir
Por lo tanto, la expectativa será
ya que la expectativa de distribución geométrica es so
por lo tanto
y
E
por lo que la varianza de la distribución geométrica será
Expectativa del mínimo de secuencia de variables aleatorias uniformes
La secuencia de variables aleatorias uniformes U1, ELLA ES2 … .. sobre el intervalo (0, 1) y N se define como
luego, para la expectativa de N, para cualquier x ∈ [0, 1] el valor de N
estableceremos la expectativa de N como
para encontrar la expectativa usamos la definición de expectativa condicional en variable aleatoria continua
ahora condicionando el primer término de la secuencia tenemos
aquí tenemos
el número restante de variable aleatoria uniforme es el mismo en el punto donde el primer valor uniforme es y, al inicio y luego se van a agregar variables aleatorias uniformes hasta que su suma supere x - y.
así que usando este valor de expectativa, el valor de la integral será
si diferenciamos esta ecuación
y
ahora integrando esto da
por lo tanto
el valor de k = 1 si x = 0, entonces
m
y m (1) = e, el número esperado de variables aleatorias uniformes en el intervalo (0, 1) que deben agregarse hasta que su suma supere 1, es igual a e
Probabilidad usando expectativa condicional || probabilidades usando condicionamiento
Podemos encontrar la probabilidad también usando la expectativa condicional como la expectativa que encontramos con la expectativa condicional, para obtener esto, considere un evento y una variable aleatoria X como
de la definición de esta variable aleatoria y la expectativa claramente
ahora por expectativa condicional en cualquier sentido tenemos
Ejemplo:
calcular el función de probabilidad de la variable aleatoria X , si U es la variable aleatoria uniforme en el intervalo (0,1), y considerar la distribución condicional de X dada U=p como binomial con parámetros n y p.
Solución:
Para el valor de U, la probabilidad por condicionamiento es
tenemos el resultado
así que conseguiremos
Ejemplo:
cuál es la probabilidad de X <Y, si X e Y son las variables aleatorias continuas con funciones de densidad de probabilidad fX yY respectivamente.
Solución:
Usando expectativa condicional y probabilidad condicional
as
Ejemplo:
Calcule la distribución de la suma de variables aleatorias independientes continuas X e Y.
Solución:
Para encontrar la distribución de X + Y tenemos que encontrar la probabilidad de la suma usando el condicionamiento de la siguiente manera
Conclusión:
La expectativa condicional para la variable aleatoria discreta y continua con diferentes ejemplos considerando algunos de los tipos de estas variables aleatorias discutidos usando la variable aleatoria independiente y la distribución conjunta en diferentes condiciones, también la expectativa y probabilidad de cómo encontrar usando la expectativa condicional se explica con ejemplos, si necesita más lectura, consulte los libros a continuación o para obtener más artículos sobre probabilidad, siga nuestras Páginas de matemáticas.
https://en.wikipedia.org/wiki/probability_distribution
Un primer curso de probabilidad de Sheldon Ross
Esquemas de probabilidad y estadística de Schaum
Una introducción a la probabilidad y la estadística por ROHATGI y SALEH
Soy DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. He completado mi doctorado. en Matemáticas y trabajando como profesor asistente en Matemáticas. Contando con 12 años de experiencia en la docencia. Teniendo amplios conocimientos en Matemática Pura, precisamente en Álgebra. Tener la inmensa capacidad de diseño y resolución de problemas. Capaz de motivar a los candidatos para mejorar su desempeño.
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