Distribución Condicional: 7 Datos Interesantes Para Saber

• Contenido
• Distribución condicional
• Distribución condicional discreta
• Ejemplo de distribución condicional discreta
• Distribución condicional continua
• Ejemplo de distribución condicional continua
• Distribución condicional de distribución normal bivariada
• Distribución de probabilidad conjunta de la función de variables aleatorias
• Ejemplos de distribución de probabilidad conjunta de función de variables aleatorias

Distribución condicional

   Es muy interesante discutir el caso de distribución condicional cuando dos variables aleatorias siguen la distribución satisfaciendo una dada a otra, primero vemos brevemente la distribución condicional tanto en el caso de variables aleatorias, discretas como continuas, luego después de estudiar algunos prerrequisitos nos enfocamos en expectativas condicionales.

Distribución condicional discreta

     Con la ayuda de la función de masa de probabilidad conjunta en la distribución conjunta, definimos la distribución condicional para las variables aleatorias discretas X e Y utilizando la probabilidad condicional para X dada Y como la distribución con la función de masa de probabilidad

siempre que la probabilidad del denominador sea mayor que cero, de manera similar, podemos escribir esto como

en la probabilidad conjunta si X e Y son variables aleatorias independientes, esto se convertirá en

por lo que la distribución condicional discreta o distribución condicional para las variables aleatorias discretas X dado Y es la variable aleatoria con la función de masa de probabilidad anterior de manera similar para Y dado X que podemos definir.

Ejemplo de distribución condicional discreta

1. Encuentra los función de masa de probabilidad de variable aleatoria X dado Y=1, si la función de masa de probabilidad conjunta para las variables aleatorias X e Y tiene algunos valores como

p (0,0) = 0.4, p (0,1) = 0.2, p (1,0) = 0.1, p (1,1) = 0.3

Ahora, en primer lugar, para el valor Y = 1 tenemos

así que usando la definición de función de masa de probabilidad

tenemos

y

• obtener la distribución condicional de X dado X + Y = n, donde X e Y son distribuciones de Poisson con los parámetros λ₁ y λ₂ y X e Y son variables aleatorias independientes

Dado que las variables aleatorias X e Y son independientes, la distribución condicional tendrá una función de masa de probabilidad como

dado que la suma de la variable aleatoria de Poisson es nuevamente Poisson, por lo que

por lo tanto, la distribución condicional con la función de masa de probabilidad anterior será una distribución condicional para tales distribuciones de Poisson. El caso anterior se puede generalizar para más de dos variables aleatorias.

Distribución condicional continua

   La distribución condicional continua de la variable aleatoria X dado y ya definido es la distribución continua con la función de densidad de probabilidad

La densidad del denominador es mayor que cero, que para la función de densidad continua es

por tanto, la probabilidad de tal función de densidad condicional es

De manera similar a discreto, si X e Y son independientes en continuo, entonces también

y por lo tanto

para que podamos escribirlo como

Ejemplo de distribución condicional continua

1. Calcule la función de densidad condicional de la variable aleatoria X dada Y si la función de densidad de probabilidad conjunta con el intervalo abierto (0,1) está dada por

Si para la variable aleatoria X dada Y dentro de (0,1), entonces al usar la función de densidad anterior tenemos

• Calcular la probabilidad condicional

si la función de densidad de probabilidad conjunta está dada por

Para encontrar la probabilidad condicional primero, requerimos la función de densidad condicional, por lo que según la definición sería

ahora usando esta función de densidad en la probabilidad de que la probabilidad condicional is

Distribución condicional de distribución normal bivariada

  Sabemos que la distribución normal bivariada de las variables aleatorias normales X e Y con las respectivas medias y varianzas como parámetros tiene la función de densidad de probabilidad conjunta

así que para encontrar la distribución condicional para tal distribución normal bivariada para X dado Y se define siguiendo la función de densidad condicional de la variable aleatoria continua y la función de densidad conjunta anterior tenemos

Al observar esto, podemos decir que se distribuye normalmente con la media

y varianza

De manera similar, la función de densidad condicional para Y dado X ya definido será simplemente intercambiando las posiciones de los parámetros de X con Y,

La función de densidad marginal para X la podemos obtener de la función de densidad condicional anterior usando el valor de la constante

sustituyamos en la integral

la función de densidad será ahora

ya que el valor total de

por la definición de la probabilidad, por lo que la función de densidad será ahora

que no es más que la función de densidad de la variable aleatoria X con la media y la varianza habituales como parámetros.

Distribución de probabilidad conjunta de la función de variables aleatorias

  Hasta ahora conocemos la distribución de probabilidad conjunta de dos variables aleatorias, ahora si tenemos funciones de tales variables aleatorias, ¿cuál sería la distribución de probabilidad conjunta de esas funciones, cómo calcular la función de densidad y distribución porque tenemos situaciones de la vida real en las que tienen funciones de las variables aleatorias,

Si y₁ y Y₂ son las funciones de las variables aleatorias X₁ y X₂ respectivamente que son conjuntamente continuas, entonces la función de densidad continua conjunta de estas dos funciones será

donde Jacobiano

y Y₁ =g₁ (X₁, X₂) y Y₂ =g₂ (X₁, X₂) para algunas funciones g₁ y g₂ . Aquí g₁ y g₂ satisface las condiciones del jacobiano como continuo y tiene derivadas parciales continuas.

Ahora la probabilidad de tales funciones de variables aleatorias será

Ejemplos de distribución de probabilidad conjunta de función de variables aleatorias

1. Encuentre la función de densidad conjunta de las variables aleatorias Y₁ =X₁ +X₂ y Y₂=X₁ -X₂ , donde X₁ y X₂ son la función de densidad de probabilidad conjunta continua con conjunta. también discutir la diferente naturaleza de la distribución.

Aquí primero comprobaremos el jacobiano.

desde g₁(x₁, X₂) = x₁ +x₂  y g₂(x₁, X₂) = x₁ - X₂ so

simplificando Y₁ =X₁ +X₂ y Y₂=X₁ -X₂ , por el valor de X₁ = 1/2 (Y₁ +Y₂ ) y X₂ = Y₁ -Y₂ ,

si estas variables aleatorias son variables aleatorias uniformes independientes

o si estas variables aleatorias son variables aleatorias exponenciales independientes con parámetros habituales

o si estas variables aleatorias son variables aleatorias normales independientes, entonces

• Si X e Y son las variables normales estándar independientes como se indica

calcular la distribución conjunta para las respectivas coordenadas polares.

Convertiremos por conversión habitual X e Y en r y θ como

por lo que las derivadas parciales de estas funciones serán

por lo que el jacobiano que usa estas funciones es

si ambas variables aleatorias X e Y son mayores que cero, entonces la función de densidad conjunta condicional es

ahora la conversión de la coordenada cartesiana a la coordenada polar usando

entonces la densidad de probabilidad función para los valores positivos será

para los diferentes combinaciones de X e Y las funciones de densidad de manera similar son

ahora, a partir del promedio de las densidades anteriores, podemos establecer la función de densidad como

y la función de densidad marginal de esta densidad conjunta de coordenadas polares en el intervalo (0, 2π)

• Encuentre la función de densidad conjunta para la función de variables aleatorias

U = X + Y y V = X / (X + Y)

donde X e Y son los distribución gamma con parámetros (α + λ) y (β + λ) respectivamente.

Usando la definición de distribución gamma y función de distribución conjunta, la función de densidad para la variable aleatoria X e Y será

considerar las funciones dadas como

g₁ (x, y) = x + y, g₂ (x, y) = x / (x + y),

por lo que la diferenciación de estas funciones es

ahora el jacobiano es

después de simplificar las ecuaciones dadas las variables x = uv y y = u (1-v) la función de densidad de probabilidad es

podemos usar la relación

• Calcule la función de densidad de probabilidad conjunta para

Y₁ =X₁ +X₂+ X₃ , Y₂ =X₁- X₂ , Y₃ =X₁ - X₃

donde las variables aleatorias X1, X2, X3 son el estándar variables aleatorias normales.

Ahora calculemos el jacobiano usando derivadas parciales de

Y₁ =X₁ +X₂+ X₃ , Y₂ =X₁- X₂ , Y₃ =X₁ - X₃

as

simplificando para las variables X₁ , X₂ y X₃

X₁ = (Y₁ +Y₂ +Y₃) / 3, X₂ = (Y₁ - 2 años₂ +Y₃) / 3, X₃ = (Y₁ +Y₂ -2 años₃) / 3

podemos generalizar la función de densidad conjunta como

entonces tenemos

para la variable normal, la función de densidad de probabilidad conjunta es

por lo tanto

donde está el índice

calcular la función de densidad conjunta de Y₁ …… Y_n y función de densidad marginal para Y_n donde

y X_i son variables aleatorias exponenciales independientes distribuidas de forma idéntica con el parámetro λ.

para las variables aleatorias de la forma

Y₁ =X₁ , Y₂ =X₁ + X₂ , ……, Y_n =X₁ + …… + X_n

el jacobiano será de la forma

y por lo tanto su valor es uno, y la función de densidad conjunta para la variable aleatoria exponencial

y los valores de la variable X_i será

por lo que la función de densidad conjunta es

Ahora para encontrar la función de densidad marginal de Y_n integraremos uno a uno como

y

igualmente

si continuamos con este proceso obtendremos

que es la función de densidad marginal.

Conclusión:

La distribución condicional para la variable aleatoria discreta y continua con diferentes ejemplos considerando algunos de los tipos de estas variables aleatorias discutidas, donde la variable aleatoria independiente juega un papel importante. Además la articulación distribución para la función de variables aleatorias continuas conjuntas También se explica con ejemplos adecuados, si necesita más información, consulte los enlaces a continuación.

Para obtener más publicaciones sobre matemáticas, consulte nuestro Página de matemáticas

Wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/joint_probability_distribution/” target=”_blank” rel=”noreferrer noopener” class=”rank-math-link”>Wikipedia.org

Un primer curso de probabilidad de Sheldon Ross

Esquemas de probabilidad y estadística de Schaum

Una introducción a la probabilidad y la estadística por ROHATGI y SALEH

DR. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Soy DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. He completado mi doctorado. en Matemáticas y trabajando como profesor asistente en Matemáticas. Contando con 12 años de experiencia en la docencia. Teniendo amplios conocimientos en Matemática Pura, precisamente en Álgebra. Tener la inmensa capacidad de diseño y resolución de problemas. Capaz de motivar a los candidatos para mejorar su desempeño.
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