En la teoría de la probabilidad el Desigualdad de Chebyshev El teorema del límite central se ocupa de las situaciones en las que queremos encontrar la distribución de probabilidad de la suma de un gran número de variables aleatorias en condiciones aproximadamente normales. Antes de mirar los teoremas del límite, vemos algunas de las desigualdades, que proporcionan los límites para las probabilidades si el se conoce la media y la varianza.
La desigualdad de Markov
La desigualdad de Markov para la variable aleatoria X que toma solo un valor positivo para a> 0 es
para probar esto para un> 0 considerar
Como
ahora teniendo la expectativa de esta desigualdad obtenemos
la razón es
que da la desigualdad de Markov para a> 0 como
La desigualdad de Chebyshev
por lo finito media y varianza de la variable aleatoria X la desigualdad de Chebyshev para k>0 es
donde sigma y mu representan la varianza y la media de la variable aleatoria, para probar esto usamos el La desigualdad de Markov como la variable aleatoria no negativa
para el valor de a como un cuadrado constante, por lo tanto
esta ecuación es equivalente a
tan claramente
Ejemplos de las desigualdades de Markov y Chebyshev:
- Si la producción de un artículo específico se toma como variable aleatoria para la semana con media 50, calcule la probabilidad de que la producción exceda 75 en una semana y cuál sería la probabilidad si la producción de una semana está entre 40 y 60 siempre que la varianza para ese semana es 25?
Solución: Considere la variable aleatoria X para la producción del artículo durante una semana y luego, para encontrar la probabilidad de producción superior a 75, usaremos La desigualdad de Markov as
Ahora, la probabilidad de producción entre 40 y 60 con varianza de 25 usaremos La desigualdad de Chebyshev as
so
esto muestra que la probabilidad de la semana si la producción está entre 40 y 60 es 3/4.
2. Demuestre que la desigualdad de chebyshev que proporciona el límite superior de la probabilidad no está particularmente más cerca del valor real de la probabilidad.
Solución:
Considere que la variable aleatoria X se distribuye uniformemente con media 5 y varianza 25/3 en el intervalo (0,1) y luego por el la desigualdad de chebyshev podemos escribir
pero la probabilidad real será
que está lejos de la probabilidad real de igual manera si tomamos la variable aleatoria X como distribuida normalmente con media y varianza, entonces La desigualdad de Chebyshev se mostrarán
pero la probabilidad real es
Ley débil de los números grandes
La ley débil para la secuencia de variables aleatorias será seguida por el resultado de que La desigualdad de Chebyshev se puede utilizar como herramienta para pruebas, por ejemplo, para demostrar
si la varianza es cero, las únicas variables aleatorias que tienen varianzas iguales a 0 son las que son constantes con probabilidad 1, así que por La desigualdad de Chebyshev para n mayor o igual a 1
as
por la continuidad de la probabilidad
que prueba el resultado.
Para probar esto, asumimos que la varianza también es finita para cada variable aleatoria en la secuencia, por lo que la expectativa y la varianza
ahora desde el La desigualdad de Chebyshev el límite superior de la probabilidad como
que para n tendiendo al infinito será
Teorema del límite central
La teorema del límite central es uno de los resultados importantes en la teoría de la probabilidad, ya que da la distribución a la suma de números grandes que es aproximadamente normal Además del método para encontrar las probabilidades aproximadas para sumas de variables aleatorias independientes, el teorema del límite central también muestra que las frecuencias empíricas de tantas poblaciones naturales exhiben curvas medias normales en forma de campana. Antes de dar la explicación detallada de este teorema, usamos el resultado.
"Si la secuencia de variables aleatorias Z1,Z2,…. tienen la función de distribución y la función generadora de momentos como FZn y Mzn luego
Teorema del límite central: Para la secuencia de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas X1,X2,……. cada uno de los cuales tiene la media μ y varianza σ2 entonces la distribución de la suma
tiende a la normal estándar ya que n tiende a infinito para que a sean valores reales
Prueba: Para probar el resultado, considere la media como cero y la varianza como uno, es decir. μ = 0 y σ2= 1 y el función generadora de momentos para Xi existe y tiene un valor finito, por lo que la función generadora de momentos para la variable aleatoria Xi/ √n será
hene la función generadora de momentos para la suma ΣXi/ √n será
Ahora tomemos L (t) = logM (t)
so
para mostrar la prueba que mostramos primero
mostrando su forma equivalente
desde
por lo tanto, esto muestra el resultado para la media cero y la varianza 1, y este mismo resultado se sigue para el caso general también tomando
y para cada uno tenemos
Ejemplo del teorema del límite central
Para calcular la distancia en años luz de una estrella desde el laboratorio de un astrónomo, está usando algunas técnicas de medición, pero debido al cambio en la atmósfera cada vez que la distancia medida no es exacta pero con algún error, para encontrar la distancia exacta que planea recorrer. observar continuamente en una secuencia y el promedio de estas distancias como la distancia estimada, Si considera los valores de medición distribuidos idénticamente y una variable aleatoria independiente con media dy varianza de 4 años luz, encuentre el número de medición a realizar para obtener el error 0.5 en el valor estimado y real?
Solución: Consideremos las medidas como las variables aleatorias independientes en la secuencia X1,X2,…….Xn así que por el Teorema del límite central podemos escribir
que es la aproximación al estándar distribución normal por lo que la probabilidad será
así que para obtener la precisión de la medición al 95 por ciento, el astrónomo debe medir n * distancias donde
entonces de la tabla de distribución normal podemos escribirlo como
que dice que la medición debe realizarse 62 veces, esto también se puede observar con la ayuda de La desigualdad de Chebyshev tomando
entonces la desigualdad resulta en
por lo tanto, para n = 16 / 0.05 = 320, lo que da certeza de que solo habrá un error de 5% en la medición de la distancia de la estrella desde el laboratorio de observaciones.
2. El número de estudiantes admitidos en el curso de ingeniería se distribuye en Poisson con una media de 100, se decidió que si los estudiantes admitidos son 120 o más la enseñanza será en dos secciones de lo contrario en una sola sección, cuál será la probabilidad de que haya ¿Serán dos secciones para el curso?
Solución: Siguiendo la distribución de Poisson, la solución exacta será
que obviamente no da el valor numérico particular, si consideramos la variable aleatoria X como los estudiantes admitieron entonces por el teorema del límite central
que puede ser
que es el valor numérico.
3. Calcule la probabilidad de que la suma de diez dados cuando se lance esté entre 30 y 40, incluidos 30 y 40.
Solución: aquí considerando el dado como Xi para diez valores de i. la media y la varianza serán
siguiendo así el teorema del límite central podemos escribir
que es la probabilidad requerida.
4. Para las variables aleatorias independientes uniformemente distribuidas Xi en el intervalo (0,1) cuál será la aproximación de la probabilidad
Solución: De la distribución Unifrom sabemos que la media y la varianza serán
Ahora usando el teorema del límite central podemos
por tanto, la suma de la variable aleatoria será del 14 por ciento.
5. Calcule que la probabilidad de que el evaluador del examen dé calificaciones será de 25 exámenes en 450 min iniciales si hay 50 exámenes cuyo tiempo de calificación es independiente con una media de 20 min y una desviación estándar de 4 min.
Solución: considere el tiempo necesario para calificar el examen con la variable aleatoria Xi por lo que la variable aleatoria X será
Dado que esta tarea para el examen 25 está dentro de 450 minutos,
aquí usando el teorema del límite central
que es la probabilidad requerida.
Teorema del límite central para variables aleatorias independientes
Para la secuencia que no tiene una distribución idéntica pero que tiene variables aleatorias independientes X1,X2, ……. cada uno de los cuales tiene la media μ y la varianza σ2 siempre que satisfaga
- cada Xi está uniformemente acotado
- suma de las varianzas es infinita, entonces
Ley fuerte de los números grandes
La Ley Fuerte de los Grandes Números es un concepto crucial de la teoría de probabilidad que dice que el promedio de la secuencia de variables aleatorias comúnmente distribuidas con probabilidad uno convergerá a la media de esa misma distribución
Posicionamiento: Para la secuencia de idénticamente distribuidos y variables aleatorias independientes X1,X2, ……. cada uno de los cuales tiene la media finita con probabilidad uno entonces
Prueba: Para probar esto, considere que la media de cada una de las variables aleatorias es cero y la serie
ahora para esto, considere el poder de esto como
después de tomar la expansión de los términos del lado derecho tenemos los términos de la forma
ya que estos son independientes, por lo que la media de estos será
con la ayuda de la combinación del par, la expansión de la serie ahora será
desde
so
obtenemos
esto sugiere la desigualdad
por lo tanto
Por la convergencia de la serie, ya que la probabilidad de cada variable aleatoria es uno, entonces
desde
si la media de cada variable aleatoria no es igual a cero, entonces con desviación y probabilidad uno podemos escribirlo como
or
que es el resultado requerido.
Desigualdad de Chebyshev unilateral
La desigualdad de Chebysheve unilateral para la variable aleatoria X con media cero y varianza finita si a> 0 es
para probar esto, considere para b> 0 sea la variable aleatoria X como
lo que da
así que usando el La desigualdad de Markov
lo que da la desigualdad requerida. para la media y la varianza podemos escribirlo como
Esto además se puede escribir como
Ejemplo:
Encuentre el límite superior de la probabilidad de que la producción de la empresa que se distribuye aleatoriamente sea de al menos 120, si la producción de esta determinada empresa tiene una media de 100 y una varianza de 400.
Solución:
Usando el unilateral desigualdad de chebyshev
entonces esto da la probabilidad de la producción dentro de una semana al menos 120 es 1/2, ahora el límite para esta probabilidad se obtendrá usando La desigualdad de Markov
que muestra el límite superior de la probabilidad.
Ejemplo:
Se toman cien pares de doscientas personas que tienen cien hombres y cien mujeres y se encuentra el límite superior de la probabilidad de que como máximo treinta pares estén formados por hombres y mujeres.
Solución:
Deje que la variable aleatoria Xi as
por lo que el par se puede expresar como
Dado que todos los hombres tienen la misma probabilidad de estar emparejados con las personas restantes en las que cien son mujeres, la media
de la misma manera si i y j no son iguales, entonces
as
por lo tanto tenemos
usando el desigualdad de chebyshev
que dice que la posibilidad de emparejar 30 hombres con mujeres es menos de seis, por lo que podemos mejorar el límite usando desigualdad chebyshev unilateral
Atado a Chernoff
Si la función generadora de momento ya se conoce entonces
as
de la misma manera podemos escribir para t <0 como
Por lo tanto, el límite de Chernoff se puede definir como
esta desigualdad representa todos los valores de t positivos o negativos.
Límites de Chernoff para la variable aleatoria normal estándar
Los límites de Chernoff para el estándar variable aleatoria normal cuya función generadora de momentos
is
así que minimizar esta desigualdad y los términos de potencia del lado derecho da para a> 0
y para un <0 es
Límites de Chernoff para la variable aleatoria de Poisson
Los límites de Chernoff para la variable aleatoria de Poisson cuya función generadora de momento
is
así que minimizar esta desigualdad y los términos de potencia del lado derecho da para a> 0
y seria
Ejemplo de Chernoff Bounds
En un juego, si un jugador tiene la misma probabilidad de ganar o perder el juego independientemente de cualquier puntaje pasado, encuentre el límite de chernoff para la probabilidad
Solución: Sea Xi denotar la victoria del jugador, entonces la probabilidad será
para la secuencia de n jugadas deja
por lo que la función generadora de momento será
aquí usando las expansiones de términos exponenciales
entonces tenemos
ahora aplicando la propiedad de la función generadora de momentos
Esto da la desigualdad
por lo tanto
Conclusión:
Se discutieron las desigualdades y el teorema del límite para los números grandes y también se tomaron los ejemplos justificables para los límites de las probabilidades para vislumbrar la idea. el concepto fácilmente, si necesita más lectura, consulte los libros a continuación o para obtener más artículos sobre probabilidad, siga nuestras Páginas de matemáticas.
Un primer curso de probabilidad de Sheldon Ross
Esquemas de probabilidad y estadística de Schaum
Una introducción a la probabilidad y la estadística por ROHATGI y SALEH
Soy DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. He completado mi doctorado. en Matemáticas y trabajando como profesor asistente en Matemáticas. Contando con 12 años de experiencia en la docencia. Teniendo amplios conocimientos en Matemática Pura, precisamente en Álgebra. Tener la inmensa capacidad de diseño y resolución de problemas. Capaz de motivar a los candidatos para mejorar su desempeño.
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