Características de los gráficos de funciones: 5 hechos importantes

Características de los gráficos de funciones

Características de los gráficos de funciones, este artículo discutirá el concepto de presentación gráfica de funciones además del valor de una variable presente en una función. Para que los lectores puedan comprender fácilmente la metodología.

¿Qué gráfica representa las funciones f (X) = | x-2 | - 1?

Una mirada a la expresión del lado derecho nos hace preguntarnos, ¿qué son esas dos barras alrededor de -2? Bueno, esas barras son la notación de una función muy especial en matemáticas, conocida como función de módulo o función de valor absoluto. Esta función es tan importante en teoría de funciones que vale la pena unas palabras sobre su origen.

Digamos que debemos decidir el tiempo necesario para ir de una ciudad a otra. En este caso, ¿no nos interesará solo la distancia entre las dos ciudades? ¿Será la dirección de alguna importancia? De manera similar, en el estudio del cálculo, a menudo se nos pide que analicemos la cercanía de dos números, que es el valor absoluto de su diferencia. No nos importa si la diferencia es positiva o negativa. El matemático alemán Karl Weierstrass fue quien se dio cuenta de la necesidad de una función que expresara el valor absoluto de un número. En el año 1841, Weierstrass definió la función Módulo y usó las dos barras como símbolo. 

f (x) = x para todo x> 0

= -x para todo x <0

= 0 para x = 0

Abreviado como f (x) = | x |

De la definición, está claro que esta función no tiene ningún efecto sobre un número positivo. Sin embargo, cambia un número negativo a un número positivo que tiene el mismo valor absoluto. Por lo tanto

| 5 | = 5

 7 2 5-=

| -5 | = 5

| 2-7 | = 5

Para dibujar la gráfica de | x |, debemos comenzar con la gráfica de f (x) = x que simplemente es una línea recta que pasa por el origen, inclinada 45 grados al lado positivo del eje X

Se puede decir que la mitad superior de esta gráfica será retenida por f (x) = | x | ya que esta función no cambia los números positivos. Sin embargo, la mitad inferior del gráfico tiene que cambiar de lado, porque | x | debe ser siempre positivo. Entonces, todos los puntos en la mitad inferior de f (x) = x ahora serán reemplazados en la mitad superior, manteniendo la misma distancia del eje X. En otras palabras, todo el MITAD IZQUIERDA DE f (x) = | x | ES REALMENTE LA REFLEXIÓN DE LA MITAD INFERIOR DE f (x) = x sobre el eje X.

En la figura anterior, la mitad derecha muestra los gráficos de | x | y x superpuesta, mientras que la mitad izquierda muestra una como el reflejo de otra. Es fundamental tener en cuenta que esta técnica se puede extender a cualquier función. En otras palabras, es fácil imaginar la gráfica de | f (x) | si ya conocemos la gráfica de f (x). Reemplazar la mitad inferior con su reflejo sobre el eje X es la clave.

Ahora sabemos cómo graficar |x|. Pero nuestro problema original exige la trama de |x-2|. Bueno, esto no es más que un cambio de origen de (0,0) a (2,0) ya que simplemente disminuye la lectura X de todos los puntos en 2 unidades, transformando así f(x) en f(x-2).

Ahora el -1 es lo único que queda por cuidar. Significa restar 1 de todos los puntos en | x-2 |. En otras palabras, significa tirar del gráfico verticalmente hacia abajo en 1 unidad. Entonces, el nuevo vértice sería (2, -1) en lugar de (2,0)

¿Qué gráfica representa las funciones f (X) = - | x-2 | - 1?

Bueno, eso debería ser bastante fácil después del análisis que acabamos de hacer. La única diferencia aquí es un signo menos antes de |x-2|. El signo menos simplemente invierte la gráfica de |x-2| con respecto al eje X. Entonces, podemos reiniciar el anterior. problema justo después del punto donde teníamos gráfica de |x-2|. Pero, esta vez antes de considerar el -1, invertiremos la gráfica.

Después de esto, lo arrastraremos hacia abajo una unidad para incorporar el -1. Y ya está.

La gráfica de una función debe ser lineal si tiene ¿qué característica?

¿Qué es una línea recta? Normalmente se define como la distancia mínima entre dos puntos en una superficie plana. Pero también se puede definir desde otro ángulo. Dado que el plano XY es una colección de puntos, podemos considerar que cualquier línea en este plano es el lugar geométrico o la traza de un punto en movimiento, o un punto cuyas coordenadas X, Y están cambiando.

Moverse a lo largo de una línea recta implica que el movimiento ocurre sin un cambio de dirección. En otras palabras, si un punto comienza a moverse desde un punto dado y se mueve solo en una dirección dada, entonces se dice que sigue una línea recta. Entonces, si vamos a expresar la gráfica lineal como una función, entonces debemos encontrar una ecuación para la condición de dirección constante.

Pero, ¿cómo expresar la dirección matemáticamente? Bueno, como ya tenemos dos ejes de referencia en el plano XY, la dirección de una línea puede expresarse por el ángulo que forma con cualquiera de los dos ejes. Entonces, supongamos que una línea recta está inclinada en un ángulo α. Pero eso significaría una familia de líneas paralelas y no solo una. Entonces, α no puede ser el único parámetro de una línea.

Tenga en cuenta que las líneas difieren solo en su intersección en Y. La intersección con Y es la distancia desde el origen del punto donde la línea se encuentra con el eje Y. Llamemos a este parámetro C. Entonces, tenemos dos parámetros, α y C. Ahora, intentemos derivar la ecuación de la línea.

De la figura debe quedar claro del triángulo rectángulo, que para cualquier punto (x, y) en la línea la condición gobernante tiene que ser                      

(yc) / x = tanα.

⟹ y = xtanα + c

⟹y = mx + c donde m = tanα

Por tanto, cualquier ecuación de la forma y = ax + b debe representar una línea recta. En otras palabras, f (x) = ax + b es la forma deseada de una función para que sea lineal.

Lo mismo puede derivarse también de la definición convencional de una línea recta que establece que una línea es el camino más corto entre dos puntos en una superficie plana. Entonces, sean (x1, y1) y (x2, y2) dos puntos en una línea recta.

Para cualquier otro punto de la línea, se puede derivar una condición al igualar las pendientes de los dos segmentos de línea formados por los tres puntos, ya que la línea debe mantener su pendiente en todos los segmentos. De ahí la ecuación                                 

                                                                   (yy₁) / (xx₁) = (y₂-y₁)/(X₂-x₁)

                                                            ⟹y (x₂-x₁) + x (y₁-y₂) + (x₁y₂-y₁x₂) = 0

Esta ecuación tiene la forma Ax + By + C = 0, que puede escribirse en la forma, y ​​= ax + b, que conocemos como la forma de una función lineal.

¿Qué gráfico se usa para mostrar el cambio en una variable proporcionada cuando se cambia una segunda variable?

Para dibujar una gráfica ideal de una función, necesitaríamos una expresión algebraica definida o un número infinito de puntos de datos. En la vida real, ambos no están disponibles la mayoría de las veces. Los datos que tenemos están dispersos. En otras palabras, podemos tener una lista de puntos (x, y) que se pueden trazar en el gráfico, pero es posible que los puntos no estén muy densamente ubicados. Pero tenemos que conectar esos puntos de todos modos, ya que no hay otra forma de ver el patrón o la tendencia de las variables. Un gráfico así obtenido se conoce como gráfico lineal.

Se llama así porque los puntos vecinos se unen con líneas rectas. Este gráfico es más adecuado para ilustrar una conexión entre dos variables en las que una depende de la otra y ambas están cambiando. Los gráficos de series de tiempo son ejemplos de gráficos de líneas donde el eje X representa el tiempo en unidades de horas / días / meses / años y el eje Y representa la variable cuyo valor cambia con el tiempo.

Función periódica

Cuando la variable dependiente repite su valor en un período o intervalo definido de la variable independiente, la función se llama periódica. El intervalo se denomina período o período fundamental, a veces también período básico o período principal. El criterio para que una función sea periódica es para alguna constante real T, f (x + T) = f (x). Lo que significa que f (x) repite su valor después de cada T unidades de x. Podemos anotar el valor de la función en cualquier punto, y encontraremos el mismo valor en T unidades a derecha e izquierda de ese punto. Esa es la característica de una función periódica.

La figura anterior muestra el comportamiento periódico de Sinx. Tomamos dos valores aleatorios de x, como x1 y x2 y dibujamos líneas paralelas al eje x desde sin (x1) y sin (x2). Observamos que ambas líneas vuelven a encontrarse con el gráfico a una distancia de exactamente 2π. Por tanto, el período de Sinx es 2π. Entonces podemos escribir sin (x + 2 π) = sinx para cualquier x. Las otras funciones trigonométricas también son periódicas. El coseno tiene el mismo período que Sin y también Cosec y Sec. Tan tiene un punto π y también Cot.

¿Qué término da el número de ciclos de una función periódica que ocurren en una unidad horizontal?

Un período completo se llama ciclo. Entonces, hay exactamente un ciclo en T unidades de x. Por tanto, hay ciclos 1 / T en una unidad de x. El número 1 / T es de particular importancia en el estudio de funciones periódicas ya que indica con qué frecuencia la función repite sus valores. Por lo tanto, el término "frecuencia" se asigna al número 1 / T. La frecuencia se denota por 'f', que no debe confundirse con la 'f' de la función. Cuanto mayor es la frecuencia, mayor número de ciclos hay por unidad. La frecuencia y el período son inversamente proporcionales entre sí, relacionados como f = 1 / T o T = 1 / f. Para Sin (X), el período es 2π, por lo que la frecuencia sería 1 / 2π.

Ejemplos:

1. Calcule el período y la frecuencia de Sin (3x)

Como Sin (x) tiene un ciclo en 2π, Sin (3x) tendrá 3 ciclos en 2π a medida que x progresa 3 veces más rápido en Sin (3x). Entonces, la frecuencia sería 3 veces la de Sin (x), es decir, 3 / 2π. Eso hace que el período 1 / (3 / 2π) = 2π / 3

2. Calcule el período de Sin2x + sin3x

Tenga en cuenta que cualquier múltiplo entero del período fundamental también es un período. En este problema, hay dos componentes de la función. Primero tiene un período de π y el segundo 2π / 3. Pero estos dos son diferentes, por lo que ninguno puede ser el período de la función compuesta. Pero cualquiera que sea el período de la composición, también debe ser un período de los componentes. Entonces, tiene que ser un múltiplo entero común para ambos. Pero podría haber infinitos de esos. Por tanto, el período fundamental sería el mínimo común múltiplo de los períodos de los componentes. En este problema que es Lcm (π, 2π / 3) = 2π 

3. Calcule el período de (Sin2x + Sin5x) / (Sin3x + Sin4x)

Es trivial pero bastante interesante observar que la regla que inventamos en el problema anterior, en realidad se aplica a cualquier composición de funciones periódicas. Entonces, en este caso también el período efectivo sería el LCM de los períodos de los componentes. Eso es LCM (π, 2π / 5,2π / 3, π / 2) = 2π

4. Calcular el período de Sinx + sin πx

Al principio, parece obvio que el período debería ser LCM (2π, 2), pero luego nos damos cuenta de que tal número no existe, ya que 2π es irracional, también lo son sus múltiplos y 2 es racional y también lo son sus múltiplos. Entonces, no podría haber un múltiplo entero común para estos dos números. Por tanto, esta función no es periódica.

La función de parte fraccionaria {x} es periódica.

f (x) = {x}

Esto se conoce como función de parte fraccionaria. Deja la mayor parte entera de un número real y solo deja fuera la parte fraccionaria. Entonces, su valor siempre está entre 0 y 1, pero nunca es igual a 1. Ese gráfico debe dejar en claro que tiene un período 1.

CONCLUSIÓN

Hasta ahora discutimos las características de las gráficas de funciones. Ahora deberíamos tener claras las características y los diferentes tipos de gráficos. También teníamos una idea de la interpretación gráfica de funciones. El próximo artículo cubrirá muchos más detalles sobre conceptos como rango y dominio, funciones inversas, varias funciones y sus gráficos, y muchos problemas resueltos. Para profundizar en el estudio, le recomendamos que lea a continuación.

Cálculo de Michael Spivak.

Álgebra de Michael Artin.

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