Variable aleatoria binomial | Sus propiedades importantes

Variable aleatoria binomial y de Poisson y sus propiedades

    Se sabía que la variable aleatoria que trata con el resultado de éxito y fracaso del experimento aleatorio para n repeticiones era Variable aleatoria binomial la definición de su función de masa de probabilidad se ocupa de la probabilidad de éxito py la probabilidad de fracaso q solamente, la definición con ejemplos ya hemos visto, ahora con el entendimiento vemos algunas de las propiedades de tal variable aleatoria discreta,

Expectativa y varianza de la variable aleatoria binomial

La expectativa y la varianza de la variable aleatoria binomial con n repetición yp como probabilidad de éxito son

E [X] = np

y Var (X) = np (1-p)

ahora considere para mostrar estos dos la expectativa de la variable aleatoria de potencia k siguiendo la definición de función de masa de probabilidad para la variable aleatoria binomial como,

E [X ^ {k}] = \ sum_ {i = 0} ^ {n} i ^ {k} \ binom {n} {i} p ^ {i} (1-p) ^ {ni}

E [X ^ {k}] = \ sum_ {i = 1} ^ {n} i ^ {k} \ binom {n} {i} p ^ {i} (1-p) ^ {ni}

i \ binom {n} {i} = n \ binom {n-1} {i-1}

Variable aleatoria binomial
Variable aleatoria binomial

donde Y es otra variable aleatoria binomial con n-1 ensayos yp como probabilidad de éxito, si tomamos el valor de k = 1, obtendremos

E [X] = np

y si sustituimos k = 2 obtendremos

EX2] = npE [Y + 1]

= np [(n-1) p + 1]

asi nos pondremos facilmente

Var (X) = E [X2] - (EX])2

= np [(n-1) p + 1] - (np)2

= np (1-p)

Ejemplo: Para una moneda insesgada, haga el experimento de lanzar 100 veces y para el número de colas que aparecen en este caso, encuentre la media, la varianza y la desviación estándar de dicho experimento.

La cola para un lanzamiento tiene la probabilidad de éxito p = 1/2 = 0.5

entonces la media de tal experimento es

E [X] = np

dado que el experimento es binomial ya que solo el éxito o el fracaso obtendremos para n número de repeticiones

así que μ = np

μ = 100x (0.5) = 50

De manera similar, la varianza y la desviación estándar serán

Var (X) = np (1-p)

\ sigma ^ {^ {2}} = np (1-p)

\ sigma = \ sqrt {np (1-p)}

El valor sería

σ2 = (100) (0.5) (0.5) = 25

Ejemplo:     Encuentre la desviación estándar y media para la probabilidad de 0.1 defectos en la empresa de fabricación de pernos del lote de 400 pernos.

aquí n = 400, p = 0.1, media = np = 400 × 0.1 = 40

desde

\ sigma ^ {2} = np (1-p)

\ sigma = \ sqrt {np (1-p)}

entonces la desviación estándar será

=\sqrt{(400)(0.1)(1-0.1)}=\sqrt{400*0.1*0.9}=20*0.3=6

Ejemplo: Encuentre la probabilidad de exactamente, menos y al menos 2 éxitos si la media y la desviación estándar de la variable aleatoria binomial es 4 y 2 respectivamente.

Dado que media = np = 4

y varianza = np (1-p) = 2,

so 4 (1-p) = 2

(1-p) = 1/2

p = 1- (1/2)

poniendo este valor en la media, obtenemos

np = 4

n (1/2) = 4

n = 8

probabilidad de exactamente 2 éxitos será

P(2)=\binom{8}{2}(\frac{1}{2})^{2}(\frac{1}{2})^{8-2}=\binom{8}{2}(\frac{1}{2})^{8}=(\frac{8<em>7}{2})</em>(\frac{1}{256})=\frac{7}{64}

la probabilidad de menos de 2 éxitos será

p (X <2)

= P (0) + P (1) = 8C0 p0q8 + 8C1 p1q7

= (1/256) +8 x (1/2) x (1/2)7 = 9 / 256

Probabilidad de al menos 2 éxitos

p (X> 2) = 1- p (X <2)

= 1-P (0) - P (1) = 1- [P (0) + P (1)] = 1- (9/256) = 247/256

Variable aleatoria de Poisson

    Se sabe que la variable aleatoria discreta X que toma los valores 0,1,2 …… .. es Variable aleatoria de Poisson siempre que para cualquier λ> 0 su función de masa de probabilidad debe ser

f (x) = P (X = x) = \ frac {\ lambda ^ {^ {x}} e ^ {^ {- \ lambda}}} {x!} \ espacio para \ \ all \ \ x = 0,1,2 , XNUMX ...

or

p (i) = P (X = i) = e ^ {- \ lambda} \ frac {\ lambda ^ {i}} {i!} \ \ for \ \ all \ \ x = 0,1,2 .. .

as

\ sum \ limits_ {i = 0} ^ \ infty P (i) = e ^ {- \ lambda} \ sum \ limits_ {i = 0} ^ \ infty \ frac {\ lambda ^ {i}} {i!} = e ^ {- \ lambda} e ^ {\ lambda} = 1

Cuando n es muy grande y la probabilidad de éxito p es muy pequeña, en tal caso, la variable aleatoria de Poisson con su función de masa de probabilidad se convirtió en la aproximación de la variable aleatoria binomial con la respectiva pmf porque la expectativa en este caso, que es np, será moderada y eso ser λ = np .

Ejemplo: Encuentre la probabilidad de que haya al menos un error de mecanografía en cada página del libro que tenga una distribución de Poisson con media 1/2 para una sola página.

Deje que la variable aleatoria discreta X denote los errores en la página. por lo que la variable aleatoria de Poisson tiene la función de masa de probabilidad como

f (x) = P (X = x) = \ frac {\ lambda ^ {^ {x}} e ^ {- \ lambda}} {x!} \ \ donde \ \ x = 0,1,2,…

\ lambda = \ frac {1} {2}

p(X\geqslant 0)=1-p(X=0)=1-\frac{\lambda ^{0}e^{-\lambda }}{0!}=1-e^-\frac{1}{2}=0.3934

p (X \ leq 1) = p (X = 0) + p (X = 1) = \ frac {\ lambda ^ {0} e ^ {- \ lambda}} {0!} + \ frac {\ lambda ^ {0} e ^ {- \ lambda}} {1!} = E ^ {^ {- 1}} + e ^ {^ {- 1}} = 0.7358

Ejemplo: Encuentre la probabilidad de que la muestra de 10 artículos producidos por una máquina con 0.1 posibilidades de producción defectuosa tenga como máximo un artículo defectuoso.

f (x) = P (X = x) = \ frac {\ lambda ^ {^ {x}} e ^ {- \ lambda}} {x!} \ \ donde \ \ x = 0,1,2….

Esto lo podemos resolver tanto por la función de masa de probabilidad binomial como por la función de masa de probabilidad de Poisson, por lo que lo resolvemos por Poisson

Expectativa y varianza de la variable aleatoria de Poisson

La expectativa y la varianza de la variable aleatoria de Poisson con n repeticiones yp como probabilidad de éxito son

E [X] = np = λ

y          

Var (X) = np = λ

Antes de mostrar el resultado, debemos tener en cuenta que la variable aleatoria de Poisson no es más que la aproximación de la variable aleatoria Binomial, por lo que np = λ ahora la expectativa mediante el uso de la función de masa de probabilidad será

E [X] = \ sum \ limits_ {i = 0} ^ \ infty i \ frac {e ^ {- \ lambda} \ lambda ^ {i}} {i!}

E [X] = \ lambda \ sum \ limits_ {i = 1} ^ \ infty i \ frac {e ^ {- \ lambda} \ lambda ^ {i-1}} {(i-1)!}

E [X] = \ lambda {e ^ {- \ lambda}} \ sum \ limits_ {j = 0} ^ \ infty i \ frac {\ lambda ^ {j}} {j!} \ \ By \ \ letting \ \ j = i-1

E [X] = \ lambda \ \ since \ \ \ sum \ limits_ {j = 0} ^ \ infty \ frac {\ lambda ^ {j}} {j!} = E ^ {\ lambda}

Esto significa que el valor matemático esperado de la variable aleatoria de Poisson es igual a su parámetro, de manera similar para calcular la varianza y la desviación estándar de la variable aleatoria de Poisson, necesitamos la expectativa del cuadrado de X, por lo que,

E [X ^ {2}] = \ sum \ limits_ {i = 0} ^ \ infty i ^ {2} \ frac {e ^ {- \ lambda} \ lambda ^ {i}} {i!}

E [X ^ {2}] = \ lambda \ sum \ limits_ {i = 1} ^ \ infty i \ frac {e ^ {- \ lambda} \ lambda ^ {i-1}} {(i-1)! }

E [X ^ {2}] = \ lambda \ sum \ limits_ {j = 0} ^ \ infty (j + 1) \ frac {e ^ {- \ lambda} \ lambda ^ {j}} {j!} \ \ por \ \ dejando \ \ j = i-1

E [X ^ {2}] = \ lambda [\ sum \ limits_ {j = 0} ^ \ infty (j) \ frac {e ^ {- \ lambda} \ lambda ^ {j}} {j!} + \ suma \ límites_ {j = 0} ^ \ infty \ frac {e ^ {- \ lambda} \ lambda ^ {j}} {j!}]

E [X ^ {2}] = \ lambda (\ lambda +1)

La suma anterior es obvia ya que dos de las sumas son la expectativa y la suma de las probabilidades.

Por tanto, el valor de la varianza que obtendremos es

Var (X) = E [X2] - (EX])2

= λ

por tanto, en el caso de la variable aleatoria de Poisson, la media y la varianza tienen el mismo valor, es decir, np como parámetro.

La Variable aleatoria de Poisson es la aproximación buena para el hallazgo de diversos procesos, por ejemplo, encontrar la ocurrencia de un número de terremotos dentro de una duración de tiempo específica, encontrar el número de electrones durante un tiempo fijo del cátodo calentado, encontrar el número posible de muertes durante un tiempo especificado, o número de guerras dentro de un año específico, etc.

Ejemplo : Calcule la probabilidad de que el número total de pasajeros en dos días sea menor que 2. Si el número de llegadas de pasajeros con media 5 sigue la variable aleatoria de Poisson. media = np = 5

P (r) = \ frac {e ^ {- 5} {(5) ^ {r}}} {r!}

Si consideramos el número de pasajeros en dos días menos de 2 sería

Primer díaSegundo díaEn total
000
011
101

por lo que la probabilidad será la combinación de estos dos días como

P(X< 2)= P(0)P(0)+P(0)P(1)+P(1)P(0)

=\frac{e^{-5}{5^{0}}}{{0!}}. \frac{e^{-5}{5^{0}}}{{0!}}+ \frac{e^{-5}{5^{0}}}{{0!}}. \frac{e^{-5}{5^{1}}}{{1!}} + \frac{e^{-5}{5^{1}}}{{1!}}. \frac{e^{-5}{5^{0}}}{{0!}}

= e ^ {- 5} .e ^ {- 5} + e ^ {- 5}. e ^ {- 5} .5+ e ^ {- 5} .5. e ^ {- 5}

= e ^ {- 10} [1 + 5 + 5]

= 11e ^ {- 10}

= 11 4.54 10 ^ {- 5}

= 4.994 * 10 ^ {- 4}

Ejemplo: Calcule la probabilidad de 4 o más condensadores defectuosos de un paquete de 100 condensadores siempre que el defecto de fabricación de los condensadores sea del 1%.

Aquí p = 1% = 0.01 yn = 100 * 0.01 = 1

entonces podemos usar la función de masa de probabilidad de variables aleatorias de Poisson PMF

media = np = 100 * 0.01 = 1

P (r) = \ frac {e ^ {- 1} (1) ^ {r}} {r!} = \ Frac {e ^ {- 1}} {r!}

por lo que la probabilidad de 4 o más condensadores defectuosos será

p (X \ geq 4) = 1-p (X <4)

=1-[P(0)+P(1)+P(2)+P(3)]

=1-[\frac{e^{-1}}{0!} + \frac{e^{-1}}{1!} + \frac{e^{-1}}{2!} + \frac{e^{-1}}{3!}] =1- e^{-1} [1+1+\frac{1}{2} + \frac{1}{6}]=1-\frac{8}{3e}=1-0.981=0.019

Ejemplo: Si hay 0.002 posibilidades de que un producto sea defectuoso durante la fabricación, para un paquete que contiene 10 de dichos productos, ¿cuál sería la probabilidad de que dicho paquete no tenga defectos, uno defectuoso y dos defectuosos del envío de 50000? paquetes del mismo producto.

Aquí para una probabilidad de defecto de un solo paquete, es decir p = 0.002, n = 10

entonces la media np = 0.002 * 10 = 0.020

f (x) = P (X = x) = \ frac {\ lambda ^ {^ {x}} e ^ {- \ lambda}} {x!} \ \ donde \ \ x = 0,1,2 ..

encontraremos para cada caso como

variable aleatoria binomial
Variable aleatoria binomial: ejemplo

Por lo tanto, de la tabla se desprende claramente que el número de blades defectuosos en los paquetes cero, uno y dos será 4900,980,10 respectivamente.

Conclusión:

   En este artículo discutimos algunas propiedades de uno de Variable aleatoria binomial, Variable aleatoria de Poisson y experimento aleatorio. También una variable aleatoria más discreta, es decir, la variable aleatoria de Poisson, discutida con las propiedades. La distribución para el ejemplo de la función de masa de probabilidad, la expectativa, la varianza y la desviación estándar también se tomó para una mejor comprensión.En los próximos artículos, tratamos de cubrir algunas variables aleatorias más discretas si desea leer más, luego consulte Página de matemáticas.

Esquemas de probabilidad y estadística de Schaum

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability

Acerca de DR. MOHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Yo soy DR. Mohammed Mazhar Ul Haque, profesor asistente de Matemáticas. Tener 12 años de experiencia en la docencia. Tener un vasto conocimiento en Matemática Pura, precisamente en Álgebra. Tener la inmensa capacidad de diseñar y resolver problemas. Capaz de motivar a los candidatos para mejorar su desempeño.
Me encanta contribuir a Lambdageeks para hacer que las matemáticas sean simples, interesantes y autoexplicativas tanto para principiantes como para expertos.
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